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1. 如图，AB是$\odot O$的直径，点P是$\odot O$外一点，PO交$\odot O$于点C，连接BC，PA。若$∠ P=40°$，当$∠ B$等于(
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
B
)时，PA与$\odot O$相切。A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质确定PA与$\odot O$相切的前提是$∠ PAO=90°$，先在$\mathrm{Rt}△ PAO$中根据已知的$∠ P$求出$∠ AOP$的度数；再利用同圆半径相等得到$△ OBC$是等腰三角形，结合三角形外角的性质即可找到$∠ AOP$与$∠ B$的数量关系，最终求出$∠ B$的度数。
【解析】
若PA与$\odot O$相切，根据切线的性质可得：$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，已知$∠ P=40°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ AOP=90°-∠ P=90°-40°=50°$。
$\because OB=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore △ OBC$为等腰三角形，$∠ B=∠ OCB$。
又$\because ∠ AOP$是$△ BOC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和可得：
$∠ AOP=∠ B+∠ OCB=2∠ B$，
$\therefore ∠ B=∠ AOP÷2=50°÷2=25°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质、等腰三角形性质及三角形外角性质，通过角度的传递关系求解未知角。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质确定PA与$\odot O$相切的前提是$∠ PAO=90°$，先在$\mathrm{Rt}△ PAO$中根据已知的$∠ P$求出$∠ AOP$的度数；再利用同圆半径相等得到$△ OBC$是等腰三角形，结合三角形外角的性质即可找到$∠ AOP$与$∠ B$的数量关系，最终求出$∠ B$的度数。
【解析】
若PA与$\odot O$相切，根据切线的性质可得：$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，已知$∠ P=40°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ AOP=90°-∠ P=90°-40°=50°$。
$\because OB=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore △ OBC$为等腰三角形，$∠ B=∠ OCB$。
又$\because ∠ AOP$是$△ BOC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和可得：
$∠ AOP=∠ B+∠ OCB=2∠ B$，
$\therefore ∠ B=∠ AOP÷2=50°÷2=25°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质、等腰三角形性质及三角形外角性质，通过角度的传递关系求解未知角。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$D$为$AB$的中点,以$D$为圆心,2为半径作$\odot D$,则下列说法不正确的是(
A.点A在圆外
B.点C在圆上
C.$\odot D$与直线AC相切
D.$\odot D$与直线BC相交
B
)。A.点A在圆外
B.点C在圆上
C.$\odot D$与直线AC相切
D.$\odot D$与直线BC相交
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要分别判断点与圆、直线与圆的位置关系：①点和圆的位置关系由点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断：d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内；②直线和圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先用勾股定理算出斜边AB的长，再结合直角三角形斜边中线的性质得到AD、BD、CD的长度，接着利用三角形中位线的性质算出圆心D到AC、BC的距离，最后逐一对比各选项判断正误即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵D是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=2.5$，已知$\odot D$的半径$r=2$。
逐一判断选项：
选项A：点A到圆心D的距离$AD=2.5＞2$，因此点A在圆外，说法正确，不符合题意；
选项B：点C到圆心D的距离$CD=2.5＞2$，因此点C在圆外，并非在圆上，说法错误，符合题意；
选项C：过D作$DE⊥AC$于点E，
∵$∠C=90°$，
∴$DE// BC$，又D是AB中点，
∴DE是$△ABC$的中位线，$DE=\frac{1}{2}BC=2$，即圆心D到直线AC的距离等于半径，因此$\odot D$与直线AC相切，说法正确，不符合题意；
选项D：过D作$DF⊥BC$于点F，同理DF是$△ABC$的中位线，$DF=\frac{1}{2}AC=1.5＜2$，即圆心D到直线BC的距离小于半径，因此$\odot D$与直线BC相交，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的位置关系判定题，核心是掌握点和圆、直线和圆位置关系的判定规则，准确计算对应距离再和半径比较大小即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要分别判断点与圆、直线与圆的位置关系：①点和圆的位置关系由点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断：d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内；②直线和圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先用勾股定理算出斜边AB的长，再结合直角三角形斜边中线的性质得到AD、BD、CD的长度，接着利用三角形中位线的性质算出圆心D到AC、BC的距离，最后逐一对比各选项判断正误即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵D是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=2.5$，已知$\odot D$的半径$r=2$。
逐一判断选项：
选项A：点A到圆心D的距离$AD=2.5＞2$，因此点A在圆外，说法正确，不符合题意；
选项B：点C到圆心D的距离$CD=2.5＞2$，因此点C在圆外，并非在圆上，说法错误，符合题意；
选项C：过D作$DE⊥AC$于点E，
∵$∠C=90°$，
∴$DE// BC$，又D是AB中点，
∴DE是$△ABC$的中位线，$DE=\frac{1}{2}BC=2$，即圆心D到直线AC的距离等于半径，因此$\odot D$与直线AC相切，说法正确，不符合题意；
选项D：过D作$DF⊥BC$于点F，同理DF是$△ABC$的中位线，$DF=\frac{1}{2}AC=1.5＜2$，即圆心D到直线BC的距离小于半径，因此$\odot D$与直线BC相交，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的位置关系判定题，核心是掌握点和圆、直线和圆位置关系的判定规则，准确计算对应距离再和半径比较大小即可。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=25°,∠C=90°,∠ADC=115°,O 为 AB 的中点,以点 O 为圆心、AO 长为半径作圆,恰好使得点 D 在⊙O 上,连接 OD,若∠EAD=25°,则下列说法中不正确的是(
A.D 是$\overset{\frown}{BE}$的中点
B.CD 是⊙O 的切线
C.AE//OD
D.∠OBC=120°
D
)。A.D 是$\overset{\frown}{BE}$的中点
B.CD 是⊙O 的切线
C.AE//OD
D.∠OBC=120°
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用圆的半径相等得到等腰△OAD，计算出相关角的度数，再结合圆周角定理、切线判定定理、平行线判定定理、四边形内角和公式，逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
解：
∵OA=OD（⊙O的半径相等），∠BAD=25°
∴∠OAD=∠ODA=25°，∠AOD=180°-25°×2=130°，∠DOB=180°-130°=50°
验证选项C：
∵∠EAD=25°=∠ODA，内错角相等，两直线平行，
∴AE//OD，C选项正确，不符合题意；
验证选项A：
∵∠EAD=∠DAB=25°，两个角为同圆中相等的圆周角，
∴其所对的弧$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DB}$，即D是$\overset{\frown}{BE}$的中点，A选项正确，不符合题意；
验证选项B：
∵∠ADC=115°，∠ODA=25°，
∴∠ODC=∠ADC - ∠ODA=115°-25°=90°，即OD⊥CD，又
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线，B选项正确，不符合题意；
验证选项D：四边形OBCD内角和为360°，已知∠C=90°，∠ODC=90°，∠DOB=50°，
∴∠OBC=360°-90°-90°-50°=130°≠120°，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题综合了圆、平行线、四边形内角和的相关知识点，难度适中，解题时要注意结合图形理清各角之间的位置关系，准确计算角度即可完成判断。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆的半径相等得到等腰△OAD，计算出相关角的度数，再结合圆周角定理、切线判定定理、平行线判定定理、四边形内角和公式，逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
解：
∵OA=OD（⊙O的半径相等），∠BAD=25°
∴∠OAD=∠ODA=25°，∠AOD=180°-25°×2=130°，∠DOB=180°-130°=50°
验证选项C：
∵∠EAD=25°=∠ODA，内错角相等，两直线平行，
∴AE//OD，C选项正确，不符合题意；
验证选项A：
∵∠EAD=∠DAB=25°，两个角为同圆中相等的圆周角，
∴其所对的弧$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DB}$，即D是$\overset{\frown}{BE}$的中点，A选项正确，不符合题意；
验证选项B：
∵∠ADC=115°，∠ODA=25°，
∴∠ODC=∠ADC - ∠ODA=115°-25°=90°，即OD⊥CD，又
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线，B选项正确，不符合题意；
验证选项D：四边形OBCD内角和为360°，已知∠C=90°，∠ODC=90°，∠DOB=50°，
∴∠OBC=360°-90°-90°-50°=130°≠120°，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题综合了圆、平行线、四边形内角和的相关知识点，难度适中，解题时要注意结合图形理清各角之间的位置关系，准确计算角度即可完成判断。
【难度系数】
0.7
4.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是
$8≤AB≤10$
。答案
$8≤AB≤10$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：大圆的弦AB与小圆有公共点，等价于圆心到弦AB的距离d不大于小圆的半径3（直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离≤圆的半径）。再结合弦长变化规律：对于大圆的弦，圆心到弦的距离d越小，弦长越长；d越大，弦长越短。我们只需找到d的最大、最小值对应的弦长，就能得到AB的取值范围。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆中最长的弦是直径，此时AB过圆心，$d=0$，AB最长为$2×5=10$，此时AB经过小圆，满足与小圆有公共点的条件。
2. 求AB的最小值：
当AB与小圆相切时，圆心到AB的距离d等于小圆半径3，此时AB最短。
根据垂径定理，结合勾股定理，弦长的一半为$\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$，因此最短弦长$AB=2×4=8$。
由于弦AB与小圆有公共点时$d≤3$，对应的弦长$AB≥8$，且弦长最长为10，因此AB的取值范围是$8≤AB≤10$。
【答案】
$8≤AB≤10$
【知识点】
直线与圆的位置关系，垂径定理，弦长计算
【点评】
本题是圆的性质的综合基础题，解题的关键是将“弦与小圆有公共点”的条件转化为圆心到弦的距离的取值范围，再结合垂径定理计算弦长的最值，注意不要忽略弦长最大值为大圆直径的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确：大圆的弦AB与小圆有公共点，等价于圆心到弦AB的距离d不大于小圆的半径3（直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离≤圆的半径）。再结合弦长变化规律：对于大圆的弦，圆心到弦的距离d越小，弦长越长；d越大，弦长越短。我们只需找到d的最大、最小值对应的弦长，就能得到AB的取值范围。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆中最长的弦是直径，此时AB过圆心，$d=0$，AB最长为$2×5=10$，此时AB经过小圆，满足与小圆有公共点的条件。
2. 求AB的最小值：
当AB与小圆相切时，圆心到AB的距离d等于小圆半径3，此时AB最短。
根据垂径定理，结合勾股定理，弦长的一半为$\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$，因此最短弦长$AB=2×4=8$。
由于弦AB与小圆有公共点时$d≤3$，对应的弦长$AB≥8$，且弦长最长为10，因此AB的取值范围是$8≤AB≤10$。
【答案】
$8≤AB≤10$
【知识点】
直线与圆的位置关系，垂径定理，弦长计算
【点评】
本题是圆的性质的综合基础题，解题的关键是将“弦与小圆有公共点”的条件转化为圆心到弦的距离的取值范围，再结合垂径定理计算弦长的最值，注意不要忽略弦长最大值为大圆直径的情况。
【难度系数】
0.7
5. 如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 恰好过BC 的中点D，过点D 作DE ⊥ AC 于点E，连接OD，则下列结论中：①OD//AC；②∠B = ∠C；③2OA =AC；④DE 是⊙O 的切线，正确的序号是
①②③④
。答案
①②③④
解析
【分析】
我们可结合已知条件逐步推导各结论：1. 利用中点性质判断OD是△ABC的中位线，可验证结论①和③；2. 连接AD，结合直径所对圆周角为直角的性质，可推出△ABC为等腰三角形，验证结论②；3. 结合OD与AC的平行关系和DE⊥AC的条件，根据切线判定定理验证结论④。
【解析】
1. 证明①③：
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，且OD=½AC；又
∵OD是⊙O的半径，即OD=OA，
∴OA=½AC，即2OA=AC，故①③正确。
2. 证明②：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；又
∵D是BC中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，故②正确。
3. 证明④：由①得OD//AC，又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，故④正确。
综上，四个结论均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，切线的判定
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，将圆的性质和三角形相关定理结合考查，理清各知识点的关联即可顺利推导。
【难度系数】
0.7
我们可结合已知条件逐步推导各结论：1. 利用中点性质判断OD是△ABC的中位线，可验证结论①和③；2. 连接AD，结合直径所对圆周角为直角的性质，可推出△ABC为等腰三角形，验证结论②；3. 结合OD与AC的平行关系和DE⊥AC的条件，根据切线判定定理验证结论④。
【解析】
1. 证明①③：
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，且OD=½AC；又
∵OD是⊙O的半径，即OD=OA，
∴OA=½AC，即2OA=AC，故①③正确。
2. 证明②：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；又
∵D是BC中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，故②正确。
3. 证明④：由①得OD//AC，又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，故④正确。
综上，四个结论均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，切线的判定
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，将圆的性质和三角形相关定理结合考查，理清各知识点的关联即可顺利推导。
【难度系数】
0.7
6.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB$的平分线交BC于点D，交$\odot O$于点E，作$EF // BC$，交AB的延长线于点F。
(1)求证:EF是$\odot O$的切线；
(2)若$BF=9$，$EF=12$，求$\odot O$的半径。
(1)求证:EF是$\odot O$的切线；
(2)若$BF=9$，$EF=12$，求$\odot O$的半径。
答案
(1)略
(2)$\odot O$的半径为$\frac{7}{2}$。
(2)$\odot O$的半径为$\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证EF是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OE，证明OE⊥EF即可。首先由AB是直径可得∠ACB=90°，AE平分∠CAB可推出弧BE与弧CE相等，结合垂径定理推论可得OE⊥BC，再结合EF//BC，即可推出OE⊥EF，完成切线证明。
(2) 求半径可设半径为r，用含r的式子表示Rt△OEF的各边长，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接OE
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠BAE
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$（相等的圆周角所对的弧相等）
∴OE⊥BC（平分弧的半径垂直于弧所对的弦）
∵$EF// BC$
∴OE⊥EF
又
∵OE是⊙O的半径
∴EF是⊙O的切线
(2) 解：设⊙O的半径为r，则$OE=OB=r$
∴$OF=OB+BF=r+9$
由(1)可知$∠ OEF=90°$，即△OEF是直角三角形
在$Rt△ OEF$中，由勾股定理得：
$OE^2+EF^2=OF^2$
代入$BF=9$，$EF=12$得：
$r^2+12^2=(r+9)^2$
展开得：$r^2+144=r^2+18r+81$
化简得：$18r=63$
解得：$r=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{7}{2}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定思路与方程思想求线段长度，解题关键是牢记切线证明的常用方法：连半径、证垂直，结合勾股定理建立方程即可快速求解，属于圆章节的常规典型考题。
【难度系数】
0.65
(1) 要证EF是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OE，证明OE⊥EF即可。首先由AB是直径可得∠ACB=90°，AE平分∠CAB可推出弧BE与弧CE相等，结合垂径定理推论可得OE⊥BC，再结合EF//BC，即可推出OE⊥EF，完成切线证明。
(2) 求半径可设半径为r，用含r的式子表示Rt△OEF的各边长，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接OE
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠BAE
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$（相等的圆周角所对的弧相等）
∴OE⊥BC（平分弧的半径垂直于弧所对的弦）
∵$EF// BC$
∴OE⊥EF
又
∵OE是⊙O的半径
∴EF是⊙O的切线
(2) 解：设⊙O的半径为r，则$OE=OB=r$
∴$OF=OB+BF=r+9$
由(1)可知$∠ OEF=90°$，即△OEF是直角三角形
在$Rt△ OEF$中，由勾股定理得：
$OE^2+EF^2=OF^2$
代入$BF=9$，$EF=12$得：
$r^2+12^2=(r+9)^2$
展开得：$r^2+144=r^2+18r+81$
化简得：$18r=63$
解得：$r=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{7}{2}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定思路与方程思想求线段长度，解题关键是牢记切线证明的常用方法：连半径、证垂直，结合勾股定理建立方程即可快速求解，属于圆章节的常规典型考题。
【难度系数】
0.65
7.如图，AB是$\odot O$的直径，$OA=2$，$∠ A=30°$，$AC$交$\odot O$于点$D$，$D$是$AC$的中点，$DE⊥ BC$于点$E$。
(1)求证：$DE$是$\odot O$的切线；
(2)求$AC$的长。
(1)求证：$DE$是$\odot O$的切线；
(2)求$AC$的长。
答案
(1)证明:如图，连接OD，则$OD=OB$，
所以$∠ODB=∠ABD$。
因为AB是$\odot O$的直径，
所以$∠ADB=90°$。
所以$BD⊥AC$。
因为D是AC的中点，
所以$AD=CD$。
所以BD垂直平分AC。
所以$AB=CB$。
所以$∠CBD=∠ABD$。
所以$∠ODB=∠CBD$。
所以$OD// BC$。
因为$DE⊥BC$于点E，
所以$∠ODE=∠CED=90°$。
因为OD是$\odot O$的半径，且$DE⊥OD$，
所以DE是$\odot O$的切线。
(2)解:因为$∠ADB=90°,OA=2,∠A=30°$，
所以$AB=2OA=4$。
所以$BD=\frac{1}{2}AB=2$。
所以$AD=CD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
所以$AC=2AD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
所以AC的长为$4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1)证明切线的常用方法是“连半径，证垂直”，因此先连接OD。首先由AB是直径可得∠ADB=90°，即BD⊥AC，结合D是AC中点可知BD垂直平分AC，推出AB=BC，进而得到∠CBD=∠ABD，结合OD=OB可推出OD//BC，再由DE⊥BC可得OD⊥DE，即可证得DE是⊙O的切线。
(2)先由OA=2得直径AB=4，在Rt△ADB中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出BD，再用勾股定理求出AD的长度，最后根据D是AC中点，即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明:如图，连接OD，则$OD=OB$，
所以$∠ODB=∠ABD$。
因为AB是$\odot O$的直径，
所以$∠ADB=90°$。
所以$BD⊥AC$。
因为D是AC的中点，
所以$AD=CD$。
所以BD垂直平分AC。
所以$AB=CB$。
所以$∠CBD=∠ABD$。
所以$∠ODB=∠CBD$。
所以$OD// BC$。
因为$DE⊥BC$于点E，
所以$∠ODE=∠CED=90°$。
因为OD是$\odot O$的半径，且$DE⊥OD$，
所以DE是$\odot O$的切线。
(2)解:因为$∠ADB=90°,OA=2,∠A=30°$，
所以$AB=2OA=4$。
所以$BD=\frac{1}{2}AB=2$。
所以$AD=CD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
所以$AC=2AD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1)DE是$\odot O$的切线，证明见解析，辅助线如图：
(2)$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规题型，重点考查切线的判定方法和圆相关的线段计算，解题的关键是正确添加辅助线，熟练运用圆周角定理、直角三角形性质及线段垂直平分线的性质解题。
【难度系数】
0.7
(1)证明切线的常用方法是“连半径，证垂直”，因此先连接OD。首先由AB是直径可得∠ADB=90°，即BD⊥AC，结合D是AC中点可知BD垂直平分AC，推出AB=BC，进而得到∠CBD=∠ABD，结合OD=OB可推出OD//BC，再由DE⊥BC可得OD⊥DE，即可证得DE是⊙O的切线。
(2)先由OA=2得直径AB=4，在Rt△ADB中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出BD，再用勾股定理求出AD的长度，最后根据D是AC中点，即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明:如图，连接OD，则$OD=OB$，
所以$∠ODB=∠ABD$。
因为AB是$\odot O$的直径，
所以$∠ADB=90°$。
所以$BD⊥AC$。
因为D是AC的中点，
所以$AD=CD$。
所以BD垂直平分AC。
所以$AB=CB$。
所以$∠CBD=∠ABD$。
所以$∠ODB=∠CBD$。
所以$OD// BC$。
因为$DE⊥BC$于点E，
所以$∠ODE=∠CED=90°$。
因为OD是$\odot O$的半径，且$DE⊥OD$，
所以DE是$\odot O$的切线。
(2)解:因为$∠ADB=90°,OA=2,∠A=30°$，
所以$AB=2OA=4$。
所以$BD=\frac{1}{2}AB=2$。
所以$AD=CD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
所以$AC=2AD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1)DE是$\odot O$的切线，证明见解析，辅助线如图：
(2)$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规题型，重点考查切线的判定方法和圆相关的线段计算，解题的关键是正确添加辅助线，熟练运用圆周角定理、直角三角形性质及线段垂直平分线的性质解题。
【难度系数】
0.7
