课前预习

外端 垂直

【分析】
本题考查切线判定定理的内容识记，解题时首先回忆切线判定需要满足的两个核心条件：第一，直线要经过半径在圆上的端点也就是半径的外端；第二，这条直线要和该半径互相垂直，两个条件同时满足才能判定直线是圆的切线，据此填写空缺内容即可。
【解析】
根据切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，因此两个空缺处依次填入外端、垂直。
【答案】
外端 垂直
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对切线判定定理内容的记忆，需注意判定切线的两个条件必须同时成立，缺少任意一个都无法判定直线是圆的切线。
【难度系数】
0.9

思考(1)证明一条直线是圆的切线，需要符合哪几个条件？
(2)证明直线和圆相切时有哪几条途径？

(1)第一个条件是经过半径的外端，第二个条件是垂直于半径。
(2)第一是根据切线的判定定理，第二是根据直线和圆的位置关系。

【分析】
对于问题(1)，我们需要回忆切线判定定理的核心内容，判定切线的两个条件是缺一不可的，要明确缺少任意一个条件都不能判定直线是圆的切线；对于问题(2)，我们可以从切线的两种判定逻辑出发思考：一种是已知直线与圆有公共点的场景，另一种是未明确直线与圆有公共点的场景，对应两种不同的证明途径。
【解析】
(1) 根据切线的判定定理，要判定一条直线是圆的切线，必须同时满足两个条件：①直线经过圆的半径的外端；②直线与这条半径互相垂直，两个条件缺一不可。
(2) 证明直线和圆相切有两类途径：
① 利用切线的判定定理：若已知直线与圆有公共点，可连接圆心与公共点得到半径，证明该半径与直线垂直，即可判定直线是圆的切线；
② 利用直线和圆的位置关系的数量特征：若未明确直线与圆有公共点，可过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径（即圆心到直线的距离d=半径r），即可判定直线和圆相切。
【答案】
(1)第一个条件是经过半径的外端，第二个条件是垂直于半径。
(2)第一是根据切线的判定定理，第二是根据直线和圆的位置关系。
【知识点】
1.切线的判定定理
2.直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对切线判定相关内容的理解与记忆，掌握好本题的知识点是后续解决圆的切线证明综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9

1. 判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线。（）
(2)与半径垂直的直线是圆的切线。（）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。（）

(1)× (2)× (3)×

【分析】
判断这类命题的核心是紧扣圆的切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件必须同时满足，缺一不可。我们逐个验证三个命题是否同时满足这两个条件即可：
1. 第一个命题仅提及过半径外端，未说明是否垂直于该半径，缺少必要条件；
2. 第二个命题仅提及与半径垂直，未说明是否经过半径外端，缺少必要条件；
3. 第三个命题的“半径的端点”包含圆心和半径外端两种情况，未明确是过半径外端，也不满足定理的完整要求。
【解析】
首先明确圆的切线判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个判定条件需同时成立。
(1) 该命题只满足“过半径外端”一个条件，缺少“垂直于这条半径”的要求，不符合切线判定规则，故错误；
(2) 该命题只满足“与半径垂直”一个条件，缺少“经过半径外端”的要求，例如圆内可作垂直于半径的直线，此时直线与圆相交，不属于切线，故错误；
(3) 半径有两个端点：圆心和半径外端，该命题未明确是过半径外端，若直线过圆心且与半径垂直，此时直线与圆有两个交点，属于割线，不满足切线要求，故错误。
【答案】
(1)× (2)× (3)×
【知识点】
圆的切线判定定理
【点评】
本题是对切线判定定理的基础考查，命题常通过遗漏判定条件、模糊关键概念来设置易错点，学习定理时要准确识记全部限定条件，避免因记忆不全出现判断错误。
【难度系数】
0.6

2. 如图所示，$△ POM$中，点M在$\odot O$上，点P在$\odot O$外，OP交$\odot O$于点N，以下条件不能判定PM是$\odot O$的切线的是()。

A.$∠ O + ∠ P = 90°$
B.$∠ O + ∠ P = ∠ OMP$
C.$OM^2 + PM^2 = OP^2$
D.点N是OP的中点

D

【分析】
要判定PM是⊙O的切线，已知点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，因此只需证明OM⊥PM（即∠OMP=90°）即可，我们可结合三角形内角和、勾股定理逆定理等知识，逐一分析各选项能否推出∠OMP=90°，进而选出符合要求的选项。
【解析】
已知M在⊙O上，因此OM是⊙O的半径，若PM是⊙O的切线，则需满足OM⊥PM，即∠OMP=90°。
选项A：在△OMP中，由三角形内角和为180°，得∠OMP=180°-(∠O+∠P)，若∠O+∠P=90°，则∠OMP=90°，可判定PM是⊙O的切线，不符合题意；
选项B：由三角形内角和为180°，得∠O+∠P+∠OMP=180°，若∠O+∠P=∠OMP，代入可得2∠OMP=180°，即∠OMP=90°，可判定PM是⊙O的切线，不符合题意；
选项C：若OM²+PM²=OP²，根据勾股定理的逆定理，可得△OMP是直角三角形，且直角为∠OMP，即OM⊥PM，可判定PM是⊙O的切线，不符合题意；
选项D：若点N是OP的中点，仅能得到OP=2ON=2OM（ON为⊙O半径），无法推出∠OMP=90°，因此不能判定PM是⊙O的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查切线的判定，解题关键是明确“已知直线与圆的公共点时，只需证明公共点与圆心的连线和直线垂直”的判定思路，需结合三角形的性质对各选项逐一验证，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7

3.如图，A是⊙O上一点，且PA＝12，PB＝8，OB＝5，则PA与⊙O的位置关系是。

相切

【分析】
要判断PA与⊙O的位置关系，可先连接半径OA，若能证明OA⊥PA，即可说明PA与⊙O相切。首先计算PO的长度，再结合PA、OA的长度，利用勾股定理的逆定理验证△PAO是否为直角三角形，即可得出结论。
【解析】
连接OA，
∵OA、OB均为⊙O的半径，OB=5，
∴OA=OB=5，
∵PB=8，
∴PO=PB+OB=8+5=13，
在△PAO中，PA=12，
∴PA² + OA² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169，
又
∵PO² = 13² = 169，
∴PA² + OA² = PO²，
由勾股定理的逆定理可得∠PAO=90°，即OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线，即PA与⊙O相切。
【答案】
相切
【知识点】
切线的判定，勾股定理的逆定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系判定的常规题，解题的核心是掌握切线的判定思路：连半径，证垂直。本题通过勾股定理的逆定理证明垂直，是判定切线的常用方法。
【难度系数】
0.7

4.如图,已知点A是$\odot O$上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,$AC=\frac{1}{2}OB$。则AB (填“是”或“不是”)$\odot O$的切线。

是

【分析】
要判断AB是否为$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA垂直于AB即可。首先由$OC=BC$可得C是OB的中点，再结合$AC=\frac{1}{2}OB$，利用“若三角形一边上的中线等于该边长度的一半，则这个三角形是直角三角形”的性质，可推出$∠ OAB=90°$，即可判定AB是否为切线。
【解析】
连接OA：
1. 因为$OC=BC$，所以点C是OB的中点，可得$OB=2OC$。
2. 由于OA、OC均为$\odot O$的半径，因此$OA=OC$。
3. 已知$AC=\frac{1}{2}OB$，代入$OB=2OC$可得$AC=OC$，即$AC=\frac{1}{2}OB$且C为OB中点，根据直角三角形的判定定理，可得$△ OAB$是直角三角形，$∠ OAB=90°$，即$OA⊥ AB$。
4. 又因为OA是$\odot O$的半径，根据切线的判定定理，可知AB是$\odot O$的切线。
【答案】
是
【知识点】
切线的判定；直角三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题核心考查切线的判定方法，解题的关键是结合已知条件推导得到半径与直线垂直的关系，熟练掌握相关几何定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7