登录
2. 下列每组中两数的和为定值，观察它们积的变化规律，回答下列问题.
①$30×30=900$，$35×25=875$，$43×17=731$，$52×8=416$；
②$50×50=2500$，$53×47=2491$，$74×26=1924$，$91×9=819$.
【发现规律】
(1)当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越
【解释规律】
(2)设两数分别为$a+b$和$a-b$，其中$a$为定值，$b≥0$，请你结合所学知识解释(1)中的规律；
【应用规律】
(3)代数式$(x+2)(6-x)$是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(4)用20 m长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少？
①$30×30=900$，$35×25=875$，$43×17=731$，$52×8=416$；
②$50×50=2500$，$53×47=2491$，$74×26=1924$，$91×9=819$.
【发现规律】
(1)当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越
大
；当且仅当两数差的绝对值为0(即两数相等)时，它们的积取最大
值；(填“大”或“小”)【解释规律】
(2)设两数分别为$a+b$和$a-b$，其中$a$为定值，$b≥0$，请你结合所学知识解释(1)中的规律；
【应用规律】
(3)代数式$(x+2)(6-x)$是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(4)用20 m长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少？
答案
(1)大 大
解：(2)$\because (a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$，a为定值，$\therefore (a+b)+(a-b)$为定值.$\because b≥0$，$\therefore |(a+b)-(a-b)| = |a+b-a+b| = |2b| = 2b$. $\therefore$当两数差的绝对值越小时，b越小.$\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2$，且a为定值，$b≥0$，$\therefore$当b越小时，$b^2$越小，$a^2-b^2$的值越大，即$(a+b)(a-b)$的值越大. 当且仅当$b=0$，即$a+b=a-b$时，$(a+b)(a-b)$取最大值$a^2$.
$\therefore$当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越大；当且仅当两数差的绝对值为0(即两数相等)时，它们的积取最大值.
(3)$\because (x+2)+(6-x)=x+2+6-x=8$，$\therefore$当$x+2=6-x$，即$x=2$时，$(x+2)(6-x)$存在最大值，最大值是$(2+2)×(6-2)=16$.
(4)设长方形的一边长为x m，邻边的长为y m. 根据题意，得$2(x+y)=20$，即$x+y=10$，$\therefore$当$x=y$时，长方形的面积$S=xy$最大. $\therefore$当$x=y=5$时，长方形的面积最大，最大面积是$S=5×5=25(\mathrm{m}^2)$. 答：当长方形的两条邻边长各为5 m时，长方形的面积最大，最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$.
解：(2)$\because (a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$，a为定值，$\therefore (a+b)+(a-b)$为定值.$\because b≥0$，$\therefore |(a+b)-(a-b)| = |a+b-a+b| = |2b| = 2b$. $\therefore$当两数差的绝对值越小时，b越小.$\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2$，且a为定值，$b≥0$，$\therefore$当b越小时，$b^2$越小，$a^2-b^2$的值越大，即$(a+b)(a-b)$的值越大. 当且仅当$b=0$，即$a+b=a-b$时，$(a+b)(a-b)$取最大值$a^2$.
$\therefore$当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越大；当且仅当两数差的绝对值为0(即两数相等)时，它们的积取最大值.
(3)$\because (x+2)+(6-x)=x+2+6-x=8$，$\therefore$当$x+2=6-x$，即$x=2$时，$(x+2)(6-x)$存在最大值，最大值是$(2+2)×(6-2)=16$.
(4)设长方形的一边长为x m，邻边的长为y m. 根据题意，得$2(x+y)=20$，即$x+y=10$，$\therefore$当$x=y$时，长方形的面积$S=xy$最大. $\therefore$当$x=y=5$时，长方形的面积最大，最大面积是$S=5×5=25(\mathrm{m}^2)$. 答：当长方形的两条邻边长各为5 m时，长方形的面积最大，最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
解答本题可按以下思路思考：1. 第(1)问先计算每组中两个数的和，确认和为定值后，对比两数差的绝对值和积的大小变化，直接归纳规律填空；2. 第(2)问先计算两个数的和确认是定值，再用平方差公式展开两数的乘积，分析b的大小对乘积的影响，即可证明规律；3. 第(3)问先计算两个因式的和，发现和为定值，直接套用(1)的规律，当两个因式相等时乘积最大，解方程求x后代入计算最大值；4. 第(4)问先根据周长求出邻边的和为定值，再套用规律，当邻边相等时面积最大，计算边长和最大面积即可。
【解析】
(1) 观察第①组：两数和均为$30+30=60$，两数差的绝对值分别是0、10、26、44，对应的积分别是900、875、731、416；第②组两数和均为100，差的绝对值越大，积越小，可得规律：当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越大；差的绝对值为0时积取最大值。
(2) $\because (a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$，a为定值，$\therefore (a+b)+(a-b)$为定值。
$\because b≥0$，$\therefore |(a+b)-(a-b)| = |a+b-a+b| = |2b| = 2b$，因此当两数差的绝对值越小时，b越小。
由平方差公式得：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，且a为定值，$b≥0$，$\therefore$当b越小时，$b^2$越小，$a^2-b^2$的值越大，即$(a+b)(a-b)$的值越大。当且仅当$b=0$，即$a+b=a-b$时，$(a+b)(a-b)$取最大值$a^2$。
综上，当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越大；当且仅当两数差的绝对值为0(即两数相等)时，它们的积取最大值。
(3) $\because (x+2)+(6-x)=x+2+6-x=8$，和为定值，根据上述规律，当$x+2=6-x$时，$(x+2)(6-x)$的积最大。
解方程$x+2=6-x$得$x=2$，代入得最大值为$(2+2)×(6-2)=16$。
(4) 设长方形的一边长为x m，邻边的长为y m。根据题意，得$2(x+y)=20$，即$x+y=10$，和为定值。根据规律，当$x=y$时，长方形的面积$S=xy$最大。
此时$x=y=5$，最大面积是$S=5×5=25(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) 大；大
(2) 规律解释见解析；
(3) 存在最大值，最大值为16；
(4) 当两条邻边长均为5 m时，长方形的面积最大，最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
平方差公式；代数式最值；矩形面积计算
【点评】
本题由观察归纳规律入手，再通过代数推导验证规律，最后将规律应用到代数式求值和实际问题中，层层递进，既考查了学生的归纳推理能力，也考查了知识迁移应用的能力，掌握“和定积最大”的规律后可快速求解相关最值问题。
【难度系数】
0.7
解答本题可按以下思路思考：1. 第(1)问先计算每组中两个数的和，确认和为定值后，对比两数差的绝对值和积的大小变化，直接归纳规律填空；2. 第(2)问先计算两个数的和确认是定值，再用平方差公式展开两数的乘积，分析b的大小对乘积的影响，即可证明规律；3. 第(3)问先计算两个因式的和，发现和为定值，直接套用(1)的规律，当两个因式相等时乘积最大，解方程求x后代入计算最大值；4. 第(4)问先根据周长求出邻边的和为定值，再套用规律，当邻边相等时面积最大，计算边长和最大面积即可。
【解析】
(1) 观察第①组：两数和均为$30+30=60$，两数差的绝对值分别是0、10、26、44，对应的积分别是900、875、731、416；第②组两数和均为100，差的绝对值越大，积越小，可得规律：当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越大；差的绝对值为0时积取最大值。
(2) $\because (a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$，a为定值，$\therefore (a+b)+(a-b)$为定值。
$\because b≥0$，$\therefore |(a+b)-(a-b)| = |a+b-a+b| = |2b| = 2b$，因此当两数差的绝对值越小时，b越小。
由平方差公式得：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，且a为定值，$b≥0$，$\therefore$当b越小时，$b^2$越小，$a^2-b^2$的值越大，即$(a+b)(a-b)$的值越大。当且仅当$b=0$，即$a+b=a-b$时，$(a+b)(a-b)$取最大值$a^2$。
综上，当两数的和一定时，两数差的绝对值越小，它们的积就越大；当且仅当两数差的绝对值为0(即两数相等)时，它们的积取最大值。
(3) $\because (x+2)+(6-x)=x+2+6-x=8$，和为定值，根据上述规律，当$x+2=6-x$时，$(x+2)(6-x)$的积最大。
解方程$x+2=6-x$得$x=2$，代入得最大值为$(2+2)×(6-2)=16$。
(4) 设长方形的一边长为x m，邻边的长为y m。根据题意，得$2(x+y)=20$，即$x+y=10$，和为定值。根据规律，当$x=y$时，长方形的面积$S=xy$最大。
此时$x=y=5$，最大面积是$S=5×5=25(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) 大；大
(2) 规律解释见解析；
(3) 存在最大值，最大值为16；
(4) 当两条邻边长均为5 m时，长方形的面积最大，最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
平方差公式；代数式最值；矩形面积计算
【点评】
本题由观察归纳规律入手，再通过代数推导验证规律，最后将规律应用到代数式求值和实际问题中，层层递进，既考查了学生的归纳推理能力，也考查了知识迁移应用的能力，掌握“和定积最大”的规律后可快速求解相关最值问题。
【难度系数】
0.7
