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1. 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律. 2026年1月的月历如图所示，我们选择其中所示的虚线方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，即$6×12 -5×13=7$，$24×30 -23×31=7$，不难发现结果都是7.
(1)请你按上述方法在如图所示的月历中再框选4个数，并直接写出算式；
(2)按上面的规律归纳出一个一般性的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
(1)请你按上述方法在如图所示的月历中再框选4个数，并直接写出算式；
(2)按上面的规律归纳出一个一般性的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
答案
(1)答案不唯一，如：$3×9-2×10=7$.
(2)若方框部分中4个位置上的数最小的数为n，则结论为$(n+1)(n+7)-n(n+8)=7$.
(3)$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^2+8n+7-n^2-8n=7$.
(2)若方框部分中4个位置上的数最小的数为n，则结论为$(n+1)(n+7)-n(n+8)=7$.
(3)$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^2+8n+7-n^2-8n=7$.
解析
【分析】
(1) 第一问参考题中示例，只需框选任意2行2列的四个相邻数，按照“右上数字×左下数字 - 左上数字×右下数字”的规则列算式计算即可。
(2) 第二问先结合月历的数字特点：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。设四个数中最小的数为n，依次表示出其余三个数，再代入题目的运算规则，即可得到含n的一般性等式。
(3) 第三问利用整式乘法法则将等式左边的代数式展开，合并同类项后验证结果恒为7，即可证明结论成立。
【解析】
(1) 任选一组2×2方框的四个数，例如选2、3、9、10，列算式为：$3×9 - 2×10 = 27 - 20 =7$，符合要求即可。
(2) 设方框中最小的数为n（n为正整数），则其余三个数分别为：同一行右侧的$n+1$，下一行同一列的$n+7$，下一行右侧的$n+8$，代入运算规则得：
$(n+1)(n+7) - n(n+8) =7$
(3) 对等式左边化简验证：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+1)(n+7) - n(n+8)\\&=n^2+7n+n+7-(n^2+8n)\\&=n^2+8n+7-n^2-8n\\&=7=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此结论恒成立。
【答案】
(1) 示例：$3×9-2×10=7$（答案不唯一）
(2) $(n+1)(n+7)-n(n+8)=7$（n为正整数）
(3) 推理如上，结论成立。
【知识点】
月历数字规律，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题以生活中的月历为载体，考查规律探究与整式运算的综合应用，需要从特殊例子中归纳出一般规律，再通过代数运算验证规律，能有效锻炼归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问参考题中示例，只需框选任意2行2列的四个相邻数，按照“右上数字×左下数字 - 左上数字×右下数字”的规则列算式计算即可。
(2) 第二问先结合月历的数字特点：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。设四个数中最小的数为n，依次表示出其余三个数，再代入题目的运算规则，即可得到含n的一般性等式。
(3) 第三问利用整式乘法法则将等式左边的代数式展开，合并同类项后验证结果恒为7，即可证明结论成立。
【解析】
(1) 任选一组2×2方框的四个数，例如选2、3、9、10，列算式为：$3×9 - 2×10 = 27 - 20 =7$，符合要求即可。
(2) 设方框中最小的数为n（n为正整数），则其余三个数分别为：同一行右侧的$n+1$，下一行同一列的$n+7$，下一行右侧的$n+8$，代入运算规则得：
$(n+1)(n+7) - n(n+8) =7$
(3) 对等式左边化简验证：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+1)(n+7) - n(n+8)\\&=n^2+7n+n+7-(n^2+8n)\\&=n^2+8n+7-n^2-8n\\&=7=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此结论恒成立。
【答案】
(1) 示例：$3×9-2×10=7$（答案不唯一）
(2) $(n+1)(n+7)-n(n+8)=7$（n为正整数）
(3) 推理如上，结论成立。
【知识点】
月历数字规律，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题以生活中的月历为载体，考查规律探究与整式运算的综合应用，需要从特殊例子中归纳出一般规律，再通过代数运算验证规律，能有效锻炼归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
