8. 命题“对于任意自然数$n$，$(2n-1)^2 + (2n+1)^2$一定是2的整数倍”是不是真命题？请说明理由。

真命题。理由如下:(2n-1)²+(2n+1)²=8n²+2=2(4n²+1),结论得证。

【分析】
要判断该命题是否为真命题，只需证明对任意自然数$n$，$(2n-1)^2 + (2n+1)^2$能被2整除即可。解题可按以下步骤思考：第一步利用完全平方公式将两个平方项展开，第二步合并同类项完成整式化简，第三步观察化简结果是否含有因数2，若剩余因式为整数，即可说明原式是2的整数倍。
【解析】
先利用完全平方公式展开两个平方项：
$(2n-1)^2=4n^2-4n+1$，
$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$，
将两式相加并合并同类项：
$\begin{aligned}(2n-1)^2+(2n+1)^2&=(4n^2-4n+1)+(4n^2+4n+1)\\&=8n^2+2\\&=2(4n^2+1)\end{aligned}$
因为$n$是自然数，所以$4n^2+1$是正整数，因此$2(4n^2+1)$是2的整数倍，原命题成立。
【答案】
真命题。理由如下:$(2n-1)^2+(2n+1)^2=8n^2+2=2(4n^2+1)$，结论得证。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，命题真假判断
【点评】
本题属于基础证明类题目，核心是通过整式运算化简待判断的式子来验证结论，熟练掌握完全平方公式和整式加减运算是解题的关键。
【难度系数】
0.8

9. 如图，将三角板 DEF 叠放在三角板 ABC 上，使顶点 A，F 重合，边 EF 落在∠BAC 内。已知∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=60°。
（1）若∠CAE=25°，求∠BAD 的度数。
（2）猜想∠CAE 与∠BAD 的数量关系，并给出证明。

（1）由∠BAC=60°,∠CAE=25°,得∠EAB=∠BAC-∠CAE=35°。因为∠DFE=90°,所以∠BAD=∠DFE-∠EAB=55°。
（2）猜想:∠BAD-∠CAE=30°。事实上,由∠BAC=60°,得∠EAB=∠BAC-∠CAE=60°-∠CAE。而∠DFE=90°,则∠BAD=∠DFE-∠EAB=90°-(60°-∠CAE)=30°+∠CAE,所以∠BAD-∠CAE=30°。

【分析】
本题是三角板叠放场景下的角度计算问题，解题思路如下：（1）第一问先利用∠BAC和∠CAE的差求出∠EAB的度数，再结合三角板DEF的直角特征，用90°减去∠EAB即可得到∠BAD的度数；（2）探究两角数量关系时，将具体度数替换为角的表达式，先表示出∠EAB和∠CAE的关系，再代入∠BAD和∠EAB的关系中整理，即可得到两角的数量关系。
【解析】
（1）已知∠BAC=60°，∠CAE=25°，
∴∠EAB=∠BAC-∠CAE=60°-25°=35°，
∵三角板DEF中∠DFE=90°，且F与A重合，即∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠DAE-∠EAB=90°-35°=55°。
（2）猜想：∠BAD-∠CAE=30°，证明如下：
∵∠BAC=60°，
∴∠EAB=∠BAC-∠CAE=60°-∠CAE，
又
∵∠DAE=∠DFE=90°，
∴∠BAD=∠DAE-∠EAB=90°-(60°-∠CAE)=30°+∠CAE，
移项可得∠BAD-∠CAE=30°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{55°}$；（2）$\boldsymbol{∠ BAD-∠ CAE=30°}$
【知识点】
角的和差计算，直角的性质
【点评】
本题以常见的三角板叠放为背景考查角度运算，解题核心是准确识别叠放后各角的位置关系，结合三角板的固定角度推导，主要训练学生的角度转换能力。
【难度系数】
0.75