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5. 已知:如图,点 D 在$△ ABC$的边 BA 的延长线上,$AE// BC$,AE 平分$∠ CAD$。求证:$∠ B=∠ C$。
答案
因为AE平分∠CAD,所以∠DAE=∠CAE。因为AE//BC,所以∠DAE=∠B,∠CAE=∠C,所以∠B=∠C。
解析
【分析】
要证明∠B=∠C，可通过角度的等量代换推导：首先由已知AE平分∠CAD，根据角平分线的定义可得∠DAE=∠CAE；再结合AE//BC的条件，根据平行线的性质，可得同位角∠DAE=∠B，内错角∠CAE=∠C；最后将上述相等关系代换，即可得到∠B=∠C的结论。
【解析】
证明：
∵ AE平分∠CAD（已知），
∴ ∠DAE=∠CAE（角平分线的定义）。
∵ AE//BC（已知），
∴ ∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠B=∠C（等量代换）。
【答案】
∠B=∠C
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础的几何证明题型，核心考察对基础几何性质的理解与应用，解题时只需从已知条件出发，逐步梳理角度之间的等量关系即可得出结论，是培养几何证明逻辑书写能力的典型习题。
【难度系数】
0.8
要证明∠B=∠C，可通过角度的等量代换推导：首先由已知AE平分∠CAD，根据角平分线的定义可得∠DAE=∠CAE；再结合AE//BC的条件，根据平行线的性质，可得同位角∠DAE=∠B，内错角∠CAE=∠C；最后将上述相等关系代换，即可得到∠B=∠C的结论。
【解析】
证明：
∵ AE平分∠CAD（已知），
∴ ∠DAE=∠CAE（角平分线的定义）。
∵ AE//BC（已知），
∴ ∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠B=∠C（等量代换）。
【答案】
∠B=∠C
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础的几何证明题型，核心考察对基础几何性质的理解与应用，解题时只需从已知条件出发，逐步梳理角度之间的等量关系即可得出结论，是培养几何证明逻辑书写能力的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. 已知:如图,点O在直线AB上,OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC。
求证:$∠ DOE=90°$。
甲、乙、丙三位同学的证明方法如下。
甲:测量$∠ DOE$；
乙:假设$∠ AOC=110°,∠ BOC=70°$,则$∠ DOE=55°+35°=90°$；
丙:设$∠ AOC=x°$,则$∠ BOC=(180-x)°$,所以$∠ DOE=\frac{1}{2}x°+\frac{1}{2}(180-x)°=90°$。
证明方法正确的是
求证:$∠ DOE=90°$。
甲、乙、丙三位同学的证明方法如下。
甲:测量$∠ DOE$；
乙:假设$∠ AOC=110°,∠ BOC=70°$,则$∠ DOE=55°+35°=90°$；
丙:设$∠ AOC=x°$,则$∠ BOC=(180-x)°$,所以$∠ DOE=\frac{1}{2}x°+\frac{1}{2}(180-x)°=90°$。
证明方法正确的是
丙
(填“甲”“乙”或“丙”)。答案
丙
解析
【分析】
要判断三种证明方法是否正确，需明确数学证明的核心要求：结论必须对所有符合题设条件的情况都成立，不能仅依赖特殊情况验证或实验操作。首先分析甲的方法：测量属于实际操作，存在误差，且只能得到当前图形下∠DOE的度数，无法证明所有情况下该角都是90°，不具备严谨性。其次分析乙的方法：选取特定的∠AOC度数计算，仅能验证这一种特殊情况的结论，不能推广到任意∠AOC的情况，也不符合证明要求。最后分析丙的方法：用字母表示∠AOC的度数，代表所有可能的情况，结合平角定义和角平分线的性质推导，得出的结论具有普遍性，是严谨的证明。
【解析】
1. 分析甲的方法：测量法存在操作误差，且只能验证当前图形的结论，不能证明所有符合条件的情况均成立，因此甲的方法错误。
2. 分析乙的方法：假设∠AOC=110°是特殊值，仅能说明该角度下结论成立，无法证明对任意大小的∠AOC结论都成立，因此乙的方法错误。
3. 分析丙的方法：设∠AOC=x°，
∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，即∠BOC=(180-x)°。
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=½∠AOC=½x°；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=½∠BOC=½(180-x)°；
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=½x°+½(180-x)°=90°。
该推导对任意x均成立，结论具有普遍性，因此丙的方法正确。
【答案】
丙
【知识点】
证明的严谨性、角平分线的定义、平角的性质
【点评】
本题侧重考查对证明严谨性的理解，特殊值验证、测量操作都不能代替严谨的逻辑推导，只有通过对一般情况的推理得到的结论才具备普适性，符合数学证明的要求。
【难度系数】
0.7
要判断三种证明方法是否正确，需明确数学证明的核心要求：结论必须对所有符合题设条件的情况都成立，不能仅依赖特殊情况验证或实验操作。首先分析甲的方法：测量属于实际操作，存在误差，且只能得到当前图形下∠DOE的度数，无法证明所有情况下该角都是90°，不具备严谨性。其次分析乙的方法：选取特定的∠AOC度数计算，仅能验证这一种特殊情况的结论，不能推广到任意∠AOC的情况，也不符合证明要求。最后分析丙的方法：用字母表示∠AOC的度数，代表所有可能的情况，结合平角定义和角平分线的性质推导，得出的结论具有普遍性，是严谨的证明。
【解析】
1. 分析甲的方法：测量法存在操作误差，且只能验证当前图形的结论，不能证明所有符合条件的情况均成立，因此甲的方法错误。
2. 分析乙的方法：假设∠AOC=110°是特殊值，仅能说明该角度下结论成立，无法证明对任意大小的∠AOC结论都成立，因此乙的方法错误。
3. 分析丙的方法：设∠AOC=x°，
∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，即∠BOC=(180-x)°。
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=½∠AOC=½x°；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=½∠BOC=½(180-x)°；
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=½x°+½(180-x)°=90°。
该推导对任意x均成立，结论具有普遍性，因此丙的方法正确。
【答案】
丙
【知识点】
证明的严谨性、角平分线的定义、平角的性质
【点评】
本题侧重考查对证明严谨性的理解，特殊值验证、测量操作都不能代替严谨的逻辑推导，只有通过对一般情况的推理得到的结论才具备普适性，符合数学证明的要求。
【难度系数】
0.7
7. 已知:如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,点D在边AC上。将△ABC沿着直线BD折叠,点C落在线段AD上的点E处。求证:∠A=2∠DBE。
答案
因为∠ABC=∠C,所以∠A=180°-2∠C。因为∠BEC是∠C经过折叠所得的角,所以∠BEC=∠C,所以∠CBE=180°-2∠C=∠A。又因为∠DBE是∠CBD经过折叠所得的角,所以∠CBE=2∠DBE,所以∠A=2∠DBE。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，第一步：利用△ABC中∠ABC=∠C的等腰三角形性质，结合三角形内角和定理，先将∠A用∠C表示出来；第二步：根据折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，即∠BEC=∠C、∠DBE=∠CBD，再在△BEC中利用三角形内角和定理表示出∠CBE，可得到∠CBE和∠A相等；第三步：结合∠CBE=∠DBE+∠CBD=2∠DBE，通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
1. 在△ABC中，∠ABC=∠C，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 2∠ C$
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$∠ BEC=∠ C$，$∠ DBE=∠ CBD$。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CBE = 180° - ∠ BEC - ∠ C = 180° - 2∠ C$
因此$∠ CBE = ∠ A$
3. 因为$∠ CBE = ∠ DBE + ∠ CBD$，且$∠ DBE=∠ CBD$，所以：
$∠ CBE = 2∠ DBE$
结合上述$∠ CBE=∠ A$，等量代换可得：$∠ A=2∠ DBE$
【答案】
因为$∠ ABC=∠ C$，所以$∠ A=180°-2∠ C$。因为$∠ BEC$是$∠ C$经过折叠所得的角，所以$∠ BEC=∠ C$，所以$∠ CBE=180°-2∠ C=∠ A$。又因为$∠ DBE$是$∠ CBD$经过折叠所得的角，所以$∠ CBE=2∠ DBE$，所以$∠ A=2∠ DBE$。
【知识点】
三角形内角和定理、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查角的等量代换能力，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、等腰三角形的角的关系推导，熟练掌握这类角的转换方法是解决更复杂几何证明题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发，第一步：利用△ABC中∠ABC=∠C的等腰三角形性质，结合三角形内角和定理，先将∠A用∠C表示出来；第二步：根据折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，即∠BEC=∠C、∠DBE=∠CBD，再在△BEC中利用三角形内角和定理表示出∠CBE，可得到∠CBE和∠A相等；第三步：结合∠CBE=∠DBE+∠CBD=2∠DBE，通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
1. 在△ABC中，∠ABC=∠C，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 2∠ C$
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$∠ BEC=∠ C$，$∠ DBE=∠ CBD$。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CBE = 180° - ∠ BEC - ∠ C = 180° - 2∠ C$
因此$∠ CBE = ∠ A$
3. 因为$∠ CBE = ∠ DBE + ∠ CBD$，且$∠ DBE=∠ CBD$，所以：
$∠ CBE = 2∠ DBE$
结合上述$∠ CBE=∠ A$，等量代换可得：$∠ A=2∠ DBE$
【答案】
因为$∠ ABC=∠ C$，所以$∠ A=180°-2∠ C$。因为$∠ BEC$是$∠ C$经过折叠所得的角，所以$∠ BEC=∠ C$，所以$∠ CBE=180°-2∠ C=∠ A$。又因为$∠ DBE$是$∠ CBD$经过折叠所得的角，所以$∠ CBE=2∠ DBE$，所以$∠ A=2∠ DBE$。
【知识点】
三角形内角和定理、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查角的等量代换能力，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、等腰三角形的角的关系推导，熟练掌握这类角的转换方法是解决更复杂几何证明题的基础。
【难度系数】
0.7
