登录
10. 提升题 某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 $ a $ m，半圆形弯道的直径为 $ b $ m.
(1)用含 $ a,b $ 的代数式表示这条跑道的周长.
(2)当 $ a=67.4,b=52.6 $ 时,求这条跑道的周长($ π $ 取 3,结果取整数).
(1)用含 $ a,b $ 的代数式表示这条跑道的周长.
(2)当 $ a=67.4,b=52.6 $ 时,求这条跑道的周长($ π $ 取 3,结果取整数).
答案
解：
(1) 由题意可知，两段直道的总长度为$2a\ \mathrm{m}$，两段半圆形弯道的长度和等于直径为$b\ \mathrm{m}$的整圆的周长，即$π b\ \mathrm{m}$。
因此这条跑道的周长为 $(2a + π b)\ \mathrm{m}$。
(2) 把$a=67.4$，$b=52.6$，$π=3$代入$2a+π b$：
$\begin{aligned}2a + π b &= 2×67.4 + 3×52.6 \\&= 134.8 + 157.8 \\&= 292.6 \\&\approx 293\end{aligned}$
答：这条跑道的周长约为293 m。
(1) 由题意可知，两段直道的总长度为$2a\ \mathrm{m}$，两段半圆形弯道的长度和等于直径为$b\ \mathrm{m}$的整圆的周长，即$π b\ \mathrm{m}$。
因此这条跑道的周长为 $(2a + π b)\ \mathrm{m}$。
(2) 把$a=67.4$，$b=52.6$，$π=3$代入$2a+π b$：
$\begin{aligned}2a + π b &= 2×67.4 + 3×52.6 \\&= 134.8 + 157.8 \\&= 292.6 \\&\approx 293\end{aligned}$
答：这条跑道的周长约为293 m。
解析
【分析】
解题分两步思考：
1. 求跑道周长：先拆解跑道结构，跑道由2段直道、2段半圆形弯道组成。首先算直道总长度：每段直道长a，2段总长度为2a；再看弯道部分，两个直径为b的半圆刚好可拼成1个直径为b的整圆，因此弯道总长度就是该整圆的周长，即πb，将直道和弯道长度相加就是跑道总周长。
2. 代入求值：把题目给出的a、b、π的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算，最后按要求对结果取整数即可。
【解析】
(1) 两段直道的总长度：每段直道长a m，2段总长度为$2a\ \mathrm{m}$；
两段半圆形弯道可拼接为一个直径为$b\ \mathrm{m}$的整圆，根据圆周长公式，弯道总长度为$πb\ \mathrm{m}$；
因此跑道的周长为直道长度加弯道长度，即$(2a + πb)\ \mathrm{m}$。
(2) 把$a=67.4$，$b=52.6$，$π=3$代入$2a+πb$计算：
$\begin{aligned}2a + π b &= 2×67.4 + 3×52.6 \\&= 134.8 + 157.8 \\&= 292.6 \\&\approx 293\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2a + πb)\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{293\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中跑道的实际场景命题，解题关键是将两段半圆形弯道转化为完整的圆计算周长，既考察了图形拼接的空间思维，也考察了代数式的相关计算，计算时要注意运算顺序和近似值的取舍要求。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：
1. 求跑道周长：先拆解跑道结构，跑道由2段直道、2段半圆形弯道组成。首先算直道总长度：每段直道长a，2段总长度为2a；再看弯道部分，两个直径为b的半圆刚好可拼成1个直径为b的整圆，因此弯道总长度就是该整圆的周长，即πb，将直道和弯道长度相加就是跑道总周长。
2. 代入求值：把题目给出的a、b、π的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算，最后按要求对结果取整数即可。
【解析】
(1) 两段直道的总长度：每段直道长a m，2段总长度为$2a\ \mathrm{m}$；
两段半圆形弯道可拼接为一个直径为$b\ \mathrm{m}$的整圆，根据圆周长公式，弯道总长度为$πb\ \mathrm{m}$；
因此跑道的周长为直道长度加弯道长度，即$(2a + πb)\ \mathrm{m}$。
(2) 把$a=67.4$，$b=52.6$，$π=3$代入$2a+πb$计算：
$\begin{aligned}2a + π b &= 2×67.4 + 3×52.6 \\&= 134.8 + 157.8 \\&= 292.6 \\&\approx 293\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2a + πb)\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{293\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中跑道的实际场景命题，解题关键是将两段半圆形弯道转化为完整的圆计算周长，既考察了图形拼接的空间思维，也考察了代数式的相关计算，计算时要注意运算顺序和近似值的取舍要求。
【难度系数】
0.7
11.提升题＞综合与实践.
请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中的两个代数式及其相应的值,通过数学的思维进行思考,并用数学的语言解答下列问题.
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $3x-1$ | … | $-7$ |
| $-1$ | $2$ | $5$ | … |
| $-3x+2$ | … | $8$ | $5$ | $2$ | $-1$ | $n$ | … |
(1)【初步感知】根据表中信息可知 $m=$ ,$n=$ .
(2)【归纳规律】表中代数式$3x-1$的值的变化规律是$x$的值每增加1,代数式$3x-1$的值就增加3.类似地,代数式$-3x+2$的值的变化规律是什么?
(3)【拓展应用】当$x$的值每增加2时,猜想代数式$-5x-1$的值会怎样变化.请通过计算加以验证.
请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中的两个代数式及其相应的值,通过数学的思维进行思考,并用数学的语言解答下列问题.
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $3x-1$ | … | $-7$ |
| $-1$ | $2$ | $5$ | … || $-3x+2$ | … | $8$ | $5$ | $2$ | $-1$ | $n$ | … |
(1)【初步感知】根据表中信息可知 $m=$ ,$n=$ .
(2)【归纳规律】表中代数式$3x-1$的值的变化规律是$x$的值每增加1,代数式$3x-1$的值就增加3.类似地,代数式$-3x+2$的值的变化规律是什么?
(3)【拓展应用】当$x$的值每增加2时,猜想代数式$-5x-1$的值会怎样变化.请通过计算加以验证.
答案
解：
(1) 把$x=-1$代入$3x-1$，得$m=3×(-1)-1=-4$；
把$x=2$代入$-3x+2$，得$n=-3×2+2=-4$。
(2) 代数式$-3x+2$的值的变化规律是：$x$的值每增加1，代数式$-3x+2$的值就减少3。
(3) 猜想：当$x$的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
验证：设$x=a$时，代数式$-5x-1$的值为$-5a-1$，
当$x$增加2，即$x=a+2$时，代入代数式得：
$-5(a+2)-1=-5a-10-1=-5a-11$，
两个值的差为：$(-5a-11)-(-5a-1)=-10$，
因此当$x$的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
综上，(1) $\boldsymbol{m=-4}$，$\boldsymbol{n=-4}$。
(1) 把$x=-1$代入$3x-1$，得$m=3×(-1)-1=-4$；
把$x=2$代入$-3x+2$，得$n=-3×2+2=-4$。
(2) 代数式$-3x+2$的值的变化规律是：$x$的值每增加1，代数式$-3x+2$的值就减少3。
(3) 猜想：当$x$的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
验证：设$x=a$时，代数式$-5x-1$的值为$-5a-1$，
当$x$增加2，即$x=a+2$时，代入代数式得：
$-5(a+2)-1=-5a-10-1=-5a-11$，
两个值的差为：$(-5a-11)-(-5a-1)=-10$，
因此当$x$的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
综上，(1) $\boldsymbol{m=-4}$，$\boldsymbol{n=-4}$。
解析
【分析】
(1) 求m、n属于代数式求值问题，只需找到对应x的值分别代入代数式计算即可：求m时取x=-1代入3x-1，求n时取x=2代入-3x+2。
(2) 探究-3x+2的变化规律，可对比x每增加1时，代数式对应值的差，即可总结出变化规律。
(3) 探究x每增加2时-5x-1的变化，可先设x取任意值a时代数式的值，再计算x=a+2时代数式的值，通过求两个值的差验证猜想即可。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入$3x-1$，得$m=3×(-1)-1=-3-1=-4$；
把$x=2$代入$-3x+2$，得$n=-3×2+2=-6+2=-4$。
(2) 观察x相邻取值对应代数式的值：x=0时-3x+2的值为2，x=1时值为-1，x=2时值为-4，每一次x增加1，代数式的值比前一个值小3，因此规律为：x的值每增加1，代数式$-3x+2$的值就减少3。
(3) 猜想：当x的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
验证：设$x=a$时，代数式$-5x-1$的值为$-5a-1$；
当x增加2，即$x=a+2$时，代入代数式得：$-5(a+2)-1=-5a-10-1=-5a-11$；
两个值的差为：$(-5a-11)-(-5a-1)=-10$，说明x每增加2，代数式的值比原来小10，猜想成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-4}$，$\boldsymbol{n=-4}$；
(2) x的值每增加1，代数式$-3x+2$的值就减少3；
(3) 当x的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
【知识点】
代数式求值、整式的加减运算、规律探究
【点评】
本题难度梯度设置合理，从基础的代入求值到规律探究，既巩固了代数式运算的基础知识点，又能锻炼学生观察归纳、猜想验证的数学思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求m、n属于代数式求值问题，只需找到对应x的值分别代入代数式计算即可：求m时取x=-1代入3x-1，求n时取x=2代入-3x+2。
(2) 探究-3x+2的变化规律，可对比x每增加1时，代数式对应值的差，即可总结出变化规律。
(3) 探究x每增加2时-5x-1的变化，可先设x取任意值a时代数式的值，再计算x=a+2时代数式的值，通过求两个值的差验证猜想即可。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入$3x-1$，得$m=3×(-1)-1=-3-1=-4$；
把$x=2$代入$-3x+2$，得$n=-3×2+2=-6+2=-4$。
(2) 观察x相邻取值对应代数式的值：x=0时-3x+2的值为2，x=1时值为-1，x=2时值为-4，每一次x增加1，代数式的值比前一个值小3，因此规律为：x的值每增加1，代数式$-3x+2$的值就减少3。
(3) 猜想：当x的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
验证：设$x=a$时，代数式$-5x-1$的值为$-5a-1$；
当x增加2，即$x=a+2$时，代入代数式得：$-5(a+2)-1=-5a-10-1=-5a-11$；
两个值的差为：$(-5a-11)-(-5a-1)=-10$，说明x每增加2，代数式的值比原来小10，猜想成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-4}$，$\boldsymbol{n=-4}$；
(2) x的值每增加1，代数式$-3x+2$的值就减少3；
(3) 当x的值每增加2时，代数式$-5x-1$的值就减少10。
【知识点】
代数式求值、整式的加减运算、规律探究
【点评】
本题难度梯度设置合理，从基础的代入求值到规律探究，既巩固了代数式运算的基础知识点，又能锻炼学生观察归纳、猜想验证的数学思维能力。
【难度系数】
0.7
