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1.在$△ ABC$中，$∠ A=2∠ C$，$∠ B=5∠ C$，则$∠ A$的度数为________°.
答案
45
解析
【分析】
解题首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。本题中已知∠A、∠B都与∠C存在倍数关系，因此可以采用设未知数列方程的方法求解：先设∠C的度数为x，用含x的式子分别表示∠A和∠B的度数，再根据三个内角和为180°列出方程，解出x的值后即可计算∠A的度数。
【解析】
设∠C的度数为$x°$，则$∠ A=2x°$，$∠ B=5x°$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，可得：
$x + 2x + 5x = 180$
合并同类项得：$8x = 180$
解得：$x = 22.5$
所以$∠ A = 2x = 2×22.5 = 45°$
【答案】
45
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形内角和建立等量关系，通过设未知数将角度关系转化为方程求解，掌握基本定理和方程思想即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。本题中已知∠A、∠B都与∠C存在倍数关系，因此可以采用设未知数列方程的方法求解：先设∠C的度数为x，用含x的式子分别表示∠A和∠B的度数，再根据三个内角和为180°列出方程，解出x的值后即可计算∠A的度数。
【解析】
设∠C的度数为$x°$，则$∠ A=2x°$，$∠ B=5x°$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，可得：
$x + 2x + 5x = 180$
合并同类项得：$8x = 180$
解得：$x = 22.5$
所以$∠ A = 2x = 2×22.5 = 45°$
【答案】
45
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形内角和建立等量关系，通过设未知数将角度关系转化为方程求解，掌握基本定理和方程思想即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.在$△ ABC$中，$∠ A - ∠ B = 30°$，$∠ C = 4∠ B$，则$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数分别是
55°,25°,100°
.答案
55°,25°,100°
解析
【分析】
本题可利用三角形内角和定理结合方程思想求解。首先回忆三角形三个内角的和为180°，题目中给出了∠A与∠B的差、∠C与∠B的倍数关系，三个角均可用∠B的度数表示，因此我们可以设∠B的度数为未知数，将三个角的度数用含未知数的式子表达后，代入内角和公式列方程，即可求出各角度数。
【解析】
设∠B的度数为$x°$，根据题意可得：
$∠A = ∠B + 30° = (x + 30)°$，$∠C = 4∠B = 4x°$
根据三角形内角和为180°，列方程：
$(x + 30) + x + 4x = 180$
合并同类项得：$6x + 30 = 180$
移项计算得：$6x = 150$，解得$x = 25$
因此：
$∠B = 25°$
$∠A = 25° + 30° = 55°$
$∠C = 4 × 25° = 100°$
验证：$55°+25°+100°=180°$，符合三角形内角和定理。
【答案】
55°,25°,100°
【知识点】
三角形内角和定理；方程思想求角度
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是找准各角度之间的数量关系，结合三角形内角和定理建立方程求解，掌握该方法可以解决大部分三角形内角计算的基础问题。
【难度系数】
0.8
本题可利用三角形内角和定理结合方程思想求解。首先回忆三角形三个内角的和为180°，题目中给出了∠A与∠B的差、∠C与∠B的倍数关系，三个角均可用∠B的度数表示，因此我们可以设∠B的度数为未知数，将三个角的度数用含未知数的式子表达后，代入内角和公式列方程，即可求出各角度数。
【解析】
设∠B的度数为$x°$，根据题意可得：
$∠A = ∠B + 30° = (x + 30)°$，$∠C = 4∠B = 4x°$
根据三角形内角和为180°，列方程：
$(x + 30) + x + 4x = 180$
合并同类项得：$6x + 30 = 180$
移项计算得：$6x = 150$，解得$x = 25$
因此：
$∠B = 25°$
$∠A = 25° + 30° = 55°$
$∠C = 4 × 25° = 100°$
验证：$55°+25°+100°=180°$，符合三角形内角和定理。
【答案】
55°,25°,100°
【知识点】
三角形内角和定理；方程思想求角度
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是找准各角度之间的数量关系，结合三角形内角和定理建立方程求解，掌握该方法可以解决大部分三角形内角计算的基础问题。
【难度系数】
0.8
3.如图，B处在A处的南偏东$x°$方向，C处在A处的南偏西$3x°$方向，B处在C处的北偏东$(6x-20)°$方向，若$∠ ABC=60°$，则x的值为
20
。答案
20
解析
【分析】
解题时先结合方向角的定义确定△ABC中各内角与x的关系：首先根据B、C相对于A的方向角求出∠BAC的度数；再根据两条南北方向线互相平行，利用平行线内错角相等的性质求出∠ACB的表达式；最后结合三角形内角和为180°列一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
因为B处在A处的南偏东$x°$方向，C处在A处的南偏西$3x°$方向，所以$∠ BAC = x° + 3x° = 4x°$。
2. 求∠ACB的度数：
由于所有南北方向的直线都互相平行，因此A处的正南方向线与C处的正北方向线平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得C点处正北方向与AC的夹角等于$3x°$。
又因为B处在C处的北偏东$(6x-20)°$方向，因此$∠ ACB = (6x-20)° - 3x° = (3x - 20)°$。
3. 列方程求解：
根据三角形内角和定理，$△ ABC$中三个内角和为$180°$，已知$∠ ABC=60°$，因此：
$4x + (3x - 20) + 60 = 180$
化简得：$7x + 40 = 180$
解得：$7x = 140$，即$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
方向角的定义；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形角度计算结合的典型题型，解题的核心是准确把方向角的关系转化为三角形内角的数量关系，再通过列方程求解，这类题型侧重考查对几何概念的理解和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合方向角的定义确定△ABC中各内角与x的关系：首先根据B、C相对于A的方向角求出∠BAC的度数；再根据两条南北方向线互相平行，利用平行线内错角相等的性质求出∠ACB的表达式；最后结合三角形内角和为180°列一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
因为B处在A处的南偏东$x°$方向，C处在A处的南偏西$3x°$方向，所以$∠ BAC = x° + 3x° = 4x°$。
2. 求∠ACB的度数：
由于所有南北方向的直线都互相平行，因此A处的正南方向线与C处的正北方向线平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得C点处正北方向与AC的夹角等于$3x°$。
又因为B处在C处的北偏东$(6x-20)°$方向，因此$∠ ACB = (6x-20)° - 3x° = (3x - 20)°$。
3. 列方程求解：
根据三角形内角和定理，$△ ABC$中三个内角和为$180°$，已知$∠ ABC=60°$，因此：
$4x + (3x - 20) + 60 = 180$
化简得：$7x + 40 = 180$
解得：$7x = 140$，即$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
方向角的定义；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形角度计算结合的典型题型，解题的核心是准确把方向角的关系转化为三角形内角的数量关系，再通过列方程求解，这类题型侧重考查对几何概念的理解和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
4.如图,将三角形纸片△ABC按如图方式剪去一个角(虚线部分),若剪下的角∠B=50°,在剩下的四边形ADEC中,∠1+∠2的度数为
230
°.答案
230
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，我们可以结合三角形、四边形的内角和定理推导。首先利用三角形内角和求出△ABC中∠A与∠C的和，再根据四边形内角和为360°，用四边形内角和减去∠A与∠C的和，就能得到∠1+∠2的度数。也可以通过邻补角性质，结合剪下的△BDE的内角和计算，思路一致。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ B=50°$，代入得：
$∠ A + ∠ C = 180° - 50° = 130°$。
2. 四边形ADEC的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ C = 360°$，
将$∠ A + ∠ C=130°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 130° = 230°$。
【答案】
230
【知识点】
三角形内角和定理；多边形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，重点考查内角和定理的灵活应用，解题时只需把握所求角度与已知角度的整体数量关系，无需单独求出每个角的度数，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要计算∠1+∠2的度数，我们可以结合三角形、四边形的内角和定理推导。首先利用三角形内角和求出△ABC中∠A与∠C的和，再根据四边形内角和为360°，用四边形内角和减去∠A与∠C的和，就能得到∠1+∠2的度数。也可以通过邻补角性质，结合剪下的△BDE的内角和计算，思路一致。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ B=50°$，代入得：
$∠ A + ∠ C = 180° - 50° = 130°$。
2. 四边形ADEC的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ C = 360°$，
将$∠ A + ∠ C=130°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 130° = 230°$。
【答案】
230
【知识点】
三角形内角和定理；多边形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，重点考查内角和定理的灵活应用，解题时只需把握所求角度与已知角度的整体数量关系，无需单独求出每个角的度数，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5.如图,将三角形纸片$ABC$的一角折叠,点$A$落在点$A'$处,则图中$∠1,∠2,∠3$之间的数量关系正确的是(
A.$∠1+∠2=∠3$
B.$∠1+2∠2+∠3=180°$
C.$∠1+2∠2=∠3$
D.$2∠1+∠2=∠3$
C
).A.$∠1+∠2=∠3$
B.$∠1+2∠2+∠3=180°$
C.$∠1+2∠2=∠3$
D.$2∠1+∠2=∠3$
答案
C
解析
【分析】
这是三角形折叠类的角度关系题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形外角定理推导关系。首先明确折叠后$∠ A'=∠ A=∠ 2$，再找到$∠1$、$∠2$、$∠3$所在的三角形外角关系，通过等量代换即可得出三者的数量关系。
【解析】
设$A'E$与$AC$交于点$F$：
1. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得$∠ A' = ∠ A = ∠ 2$；
2. 由三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在$△ A'EF$中，$∠ AFD$是外角，因此$∠ AFD = ∠1 + ∠ A'$；
在$△ ADF$中，$∠3$是外角，因此$∠3 = ∠ A + ∠ AFD$；
3. 把$∠ AFD = ∠1 + ∠ A'$、$∠ A=∠ A'=∠2$代入$∠3 = ∠ A + ∠ AFD$，可得：
$∠3 = ∠2 + ∠1 + ∠2$，整理得$∠1 + 2∠2 = ∠3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，三角形外角定理
【点评】
本题是角度计算的常见题型，重点考查折叠变换的性质和三角形外角定理的应用，解题关键是找到角之间的外角关系，结合折叠的等角性质代换求解，熟练掌握外角定理可简化推导过程。
【难度系数】
0.7
这是三角形折叠类的角度关系题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形外角定理推导关系。首先明确折叠后$∠ A'=∠ A=∠ 2$，再找到$∠1$、$∠2$、$∠3$所在的三角形外角关系，通过等量代换即可得出三者的数量关系。
【解析】
设$A'E$与$AC$交于点$F$：
1. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得$∠ A' = ∠ A = ∠ 2$；
2. 由三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在$△ A'EF$中，$∠ AFD$是外角，因此$∠ AFD = ∠1 + ∠ A'$；
在$△ ADF$中，$∠3$是外角，因此$∠3 = ∠ A + ∠ AFD$；
3. 把$∠ AFD = ∠1 + ∠ A'$、$∠ A=∠ A'=∠2$代入$∠3 = ∠ A + ∠ AFD$，可得：
$∠3 = ∠2 + ∠1 + ∠2$，整理得$∠1 + 2∠2 = ∠3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，三角形外角定理
【点评】
本题是角度计算的常见题型，重点考查折叠变换的性质和三角形外角定理的应用，解题关键是找到角之间的外角关系，结合折叠的等角性质代换求解，熟练掌握外角定理可简化推导过程。
【难度系数】
0.7
6.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,∠1=∠A,∠2=∠C,求∠A的度数.
答案
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBC.
∵∠1=∠A,
设∠A=x,则∠ABC=2x,∠2=∠C=∠1+∠A=2x.
在△ABC中,x+2x+2x=180°,x=36°,
∴∠A=36°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①BD平分∠ABC，可推出∠1=∠DBC；②结合∠1=∠A，可将∠ABC用∠A表示；③∠2是△ABD的外角，根据外角性质可得∠2=∠1+∠A，再结合∠2=∠C，可将∠C也用∠A表示；最后利用三角形内角和为180°，设∠A为未知数列方程求解即可。
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBC。
∵∠1=∠A，
设∠A=x，则∠1=∠DBC=x，
∴∠ABC=∠1+∠DBC=2x，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠1+∠A=x+x=2x，
又
∵∠2=∠C，
∴∠C=2x，
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠A=36°。
【答案】
36°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题关键是利用角的等量关系和外角性质，将三角形三个内角用同一个未知数表示，再结合内角和定理列方程求解，这类设未知数列方程求角度的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①BD平分∠ABC，可推出∠1=∠DBC；②结合∠1=∠A，可将∠ABC用∠A表示；③∠2是△ABD的外角，根据外角性质可得∠2=∠1+∠A，再结合∠2=∠C，可将∠C也用∠A表示；最后利用三角形内角和为180°，设∠A为未知数列方程求解即可。
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBC。
∵∠1=∠A，
设∠A=x，则∠1=∠DBC=x，
∴∠ABC=∠1+∠DBC=2x，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠1+∠A=x+x=2x，
又
∵∠2=∠C，
∴∠C=2x，
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠A=36°。
【答案】
36°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题关键是利用角的等量关系和外角性质，将三角形三个内角用同一个未知数表示，再结合内角和定理列方程求解，这类设未知数列方程求角度的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
7.如图,在△ABC中,BD是△ABC的高,CE是△ABC的角平分线,∠CBD=4∠ABD,∠AEC=75°,求∠A的度数.
答案
依题意,设∠ABD=x,则∠CBD=4x,
∠BCE=∠ECA=45°-2x,则∠AEC=5x+45°-2x=75°,x=10°.
∴在Rt△ABD中,∠A=80°.
∠BCE=∠ECA=45°-2x,则∠AEC=5x+45°-2x=75°,x=10°.
∴在Rt△ABD中,∠A=80°.
解析
【分析】
本题存在角度的倍数关系，且给出了三角形的高、角平分线条件，适合采用方程思想求解。第一步可设较小的∠ABD为x，用x表示出其余相关角的度数；第二步结合高的性质得到直角三角形两锐角互余的关系，再结合角平分线的定义得到相等的角；第三步利用三角形外角的性质找到等量关系列方程求出x的值；最后在直角三角形中计算∠A的度数即可。
【解析】
设∠ABD=x，则根据题意∠CBD=4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=x+4x=5x，
∵BD是△ABC的高，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，∠ACB=90°-∠CBD=90°-4x，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(90°-4x)=45°-2x，
∵∠AEC是△BEC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AEC=∠ABC + ∠BCE，
代入已知∠AEC=75°，得：
75°=5x + (45°-2x)，
化简得3x=30°，解得x=10°，
在Rt△ABD中，∠A=90°-∠ABD=90°-10°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考查方程思想在角度计算中的应用，解题的核心是合理设未知数，结合三角形的相关性质找到角度间的等量关系，能够很好地检验学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题存在角度的倍数关系，且给出了三角形的高、角平分线条件，适合采用方程思想求解。第一步可设较小的∠ABD为x，用x表示出其余相关角的度数；第二步结合高的性质得到直角三角形两锐角互余的关系，再结合角平分线的定义得到相等的角；第三步利用三角形外角的性质找到等量关系列方程求出x的值；最后在直角三角形中计算∠A的度数即可。
【解析】
设∠ABD=x，则根据题意∠CBD=4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=x+4x=5x，
∵BD是△ABC的高，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，∠ACB=90°-∠CBD=90°-4x，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(90°-4x)=45°-2x，
∵∠AEC是△BEC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AEC=∠ABC + ∠BCE，
代入已知∠AEC=75°，得：
75°=5x + (45°-2x)，
化简得3x=30°，解得x=10°，
在Rt△ABD中，∠A=90°-∠ABD=90°-10°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考查方程思想在角度计算中的应用，解题的核心是合理设未知数，结合三角形的相关性质找到角度间的等量关系，能够很好地检验学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
