8.如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，$D$为边$BC$上的一点，点$E$在边$AC$上，$∠ ADE = ∠ AED$.若$∠ BAD = 24°$，求$∠ CDE$的度数.

设∠B=∠C=x,∠CDE=y,
则∠ADE=∠AED=∠CDE+∠C=x+y.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴x+y+y=x+24°.
∴y=12°.
∴∠CDE=12°.

【分析】
要求∠CDE的度数，已知多组相等的角和∠BAD的度数，我们可以通过设参数表示相等的角，再结合三角形外角的性质找角的等量关系：∠ADC是△ABD的外角，等于∠B与∠BAD的和；∠AED是△CDE的外角，等于∠C与∠CDE的和；同时∠ADC也等于∠ADE与∠CDE的和，结合∠ADE=∠AED的条件，列等式消去公共参数即可求出∠CDE的度数。
【解析】
设∠B=∠C=x，∠CDE=y，
∵∠AED是△CDE的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠AED=∠C+∠CDE=x+y，
又
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=x+y，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=x+24°，
同时∠ADC=∠ADE+∠CDE=(x+y)+y=x+2y，
联立得：x+2y=x+24°，
化简得2y=24°，解得y=12°。
【答案】
12°
【知识点】
1.三角形外角定理
2.等角的性质
3.方程求角度
【点评】
本题考查三角形外角性质的灵活运用，通过设参数表示未知角，利用角的和差与外角性质建立等量关系，消去公共参数即可求出结果，解题关键是准确梳理角之间的数量关系，熟练掌握外角定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ BAC$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$.
(1)求证$∠ C=2∠ BAD$.
(2)$∠ DAC$的平分线$AE$交$BC$于点$E$,过点$E$作$EF⊥ AB$,垂足为$F$,请补全图形并求$∠ AEF$的度数.

依题意,设∠B=∠BAC=x,
在△ABC中,由三角形内角和定理可得,∠C=180°-2x.
(1)
∵AD⊥BC,在Rt△ABD中,同理可得∠BAD=90°-x,即∠C=2∠BAD.
(2)图形补全如下.
在△ADC中,由三角形内角和定理可得,∠DAC=90°-∠C=2x-90°.
∵AE平分∠DAC,
∴∠DAE=x-45°,∠EAF=∠DAE+∠BAD=x-45°+90°-x=45°.
∵EF⊥AB,
∴在Rt△AEF中,可得∠AEF=90°-45°=45°.

【分析】
(1) 要证明∠C=2∠BAD，我们可以通过设参数表示已知相等的∠B和∠BAC，先利用三角形内角和定理将∠C用参数表示；再结合AD⊥BC的条件，在直角三角形ABD中用参数表示出∠BAD，对比两个角的表达式即可证得结论。
(2) 首先按照题目描述补全图形：画出∠DAC的平分线AE交BC于E，再过E作EF⊥AB交AB于F即可。求∠AEF的度数时，先在直角三角形ADC中用参数表示出∠DAC，结合角平分线的定义得到∠DAE的度数，进而求出∠EAF的度数，最后在直角三角形AEF中利用直角三角形两锐角互余的性质即可算出∠AEF的度数。
【解析】
设∠B=∠BAC=x，
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-2x。
(1) 证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠B=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-x，
∴2∠BAD=2×(90°-x)=180°-2x，
又
∵∠C=180°-2x，
∴∠C=2∠BAD，得证。
(2) 补全图形如下：
求解∠AEF的度数：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-(180°-2x)=2x-90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=½∠DAC=½(2x-90°)=x-45°，
∴∠EAF=∠BAD+∠DAE=(90°-x)+(x-45°)=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AEF中，∠AEF+∠EAF=90°，
∴∠AEF=90°-45°=45°。
【答案】
(1) ∠C=2∠BAD，证明成立；
(2) 补全图形：，∠AEF=45°。
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查角度的推导与计算，通过设参数表示角度的方法能简化不同角之间数量关系的推导过程，解题时需要熟练运用直角三角形两锐角互余、角平分线的性质等基础知识点，逻辑清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$△ ABC$中,$D,E$为边$BC$上的两点,$∠ BAE=∠ BEA$,$∠ CAD=∠ CDA$.
(1)若$∠ B=40°$,$∠ C=60°$,直接写出$∠ DAE$的度数为°.
(2)若$∠ DAE=50°$,求$∠ BAC$的度数.
(3)若$∠ B=α$,$∠ C=β$,求$∠ DAE$的度数(用含$α$,$β$的式子表示).

(1)50
(2)依题意,设∠BAD=x,∠CAE=y,
则∠BAE=∠BEA=50°+x,∠CAD=∠CDA=50°+y,
在△ADE中,由三角形内角和定理可得,∠BEA+∠CDA+∠DAE=180°,
即50°+x+50°+y+50°=180°,x+y=30°,∠BAC=80°.
(3)在△ABE中,由三角形内角和定理可得,∠BAE=∠BEA=90°-$\frac{1}{2}α$,
同理∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}β$.
在△DAE中,由三角形内角和定理可得,
∠DAE=180°-$(90°-\frac{1}{2}α+90°-\frac{1}{2}β)=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β$.

【分析】
这道题围绕三角形内角和定理及等腰三角形的性质求解角度，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质分别求出∠BAE和∠CAD的度数，最后通过∠BAE+∠CAD-∠BAC即可得到∠DAE的度数。
2. 第(2)问：可设∠BAD=x、∠CAE=y，用含x、y的式子表示出△ADE的两个底角∠BEA、∠CDA，再根据△ADE内角和为180°求出x+y的值，最后结合∠BAC=x+y+∠DAE即可求解。
3. 第(3)问：将∠B、∠C替换为α、β，类比第(1)问的推导思路，直接用含α、β的式子表示出∠BEA、∠CDA，再结合△ADE内角和定理推导∠DAE的表达式即可。
【解析】
(1) 已知∠B=40°，∠C=60°，在△ABC中，∠BAC=180°-40°-60°=80°。
在△ABE中，∠BAE=∠BEA，所以∠BAE=(180°-∠B)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
在△ACD中，∠CAD=∠CDA，所以∠CAD=(180°-∠C)÷2=(180°-60°)÷2=60°。
则∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=70°+60°-80°=50°。
(2) 设∠BAD=x，∠CAE=y，
则∠BAE=∠BEA=∠DAE+x=50°+x，∠CAD=∠CDA=∠DAE+y=50°+y。
在△ADE中，由三角形内角和定理得：∠BEA+∠CDA+∠DAE=180°，
代入得：(50°+x)+(50°+y)+50°=180°，
解得x+y=30°，
所以∠BAC=x+y+∠DAE=30°+50°=80°。
(3) 在△ABE中，∠BAE=∠BEA，由三角形内角和得∠BEA=(180°-∠B)÷2=90°-$\frac{1}{2}α$，
同理，在△ACD中，∠CDA=(180°-∠C)÷2=90°-$\frac{1}{2}β$，
在△ADE中，∠DAE=180°-∠BEA-∠CDA，
代入得：∠DAE=180°-(90°-$\frac{1}{2}α$)-(90°-$\frac{1}{2}β$)=$\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$
(2) $\boxed{80°}$
(3) $\boxed{\frac{α+β}{2}}$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算类的典型题型，主要考察三角形内角和与等腰三角形性质的综合应用，解题时需要理清各角之间的和差关系，合理运用设未知数或整体代入的思想可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7