8.如图，已知∠ABC=60°,DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE，有下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$.其中正确的结论是（填写序号）。

8.①③④

【分析】
解题时先从已知的垂直平分线入手，得到AD垂直BC、BD=DC、EB=EC的结论，再结合∠ABC=60°推出∠BAD=30°，之后利用角平分线的性质得到角的等量关系，逐一验证4个结论：①通过等角对等边判断；②通过直角三角形的边长关系对比判断；③利用直角三角形30°角对的直角边是斜边一半推导；④通过同高三角形的面积比等于底边长的比判断。
【解析】
解：
∵DA是BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°。
①
∵∠ABE=∠BAE=30°，
∴BE=AE，结论①正确；
②在Rt△BDE中，∠EBD=30°，
∴BE=2DE，BD=$\sqrt{3}$DE，
∵AE=BE=2DE，
∴BD=$\sqrt{3}$DE≠AE，结论②错误；
③由①得AE=BE，结合Rt△BDE中BE=2DE，可得AE=2DE，结论③正确；
④△ABE和△BDE同高（以B为顶点，底边均在AD上），面积比等于底的比，即$S_{△ABE}:S_{△BDE}=AE:DE=2:1$，故$S_{△ABE}=2S_{△BDE}$；
又BD=DC，△BDE和△CDE同高为DE，
∴$S_{△BDE}=S_{△CDE}$，则$S_{△CBE}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=2S_{△BDE}$，
因此$S_{△ABE}=S_{△CBE}$，结论④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握特殊线段的性质和三角形面积的比例关系，通过角度推导得到边、面积的等量关系，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.65

9.如图，P是等边三角形ABC的边AB上任意一点，AB＝2，PE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FM⊥AB，垂足为M，设BP＝x(x＞0)。
（1）用含x的式子表示AM。
（2）当x等于多少时，点M和点P重合？

9.(1)$AM=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}x$. (2)$x=\frac{4}{3}$.

【分析】
本题可利用等边三角形内角均为60°的性质，结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的规律，逐步推导各线段长度：
（1）先在Rt△BEP中用x表示出BE，再求出EC，接着在Rt△EFC中用EC求出FC，进而得到AF，最后在Rt△AFM中用AF表示出AM即可；
（2）当点M、P重合时，AM与BP的和等于AB的长度，代入AM的表达式列方程求解即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AB=BC=AC=2，∠A=∠B=∠C=60°。
（1）在Rt△BEP中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴$BE=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}x$，
∴$EC=BC-BE=2-\frac{1}{2}x$。
在Rt△EFC中，∠C=60°，
∴∠CEF=30°，
∴$FC=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}×(2-\frac{1}{2}x)=1-\frac{1}{4}x$，
∴$AF=AC-FC=2-(1-\frac{1}{4}x)=1+\frac{1}{4}x$。
在Rt△AFM中，∠A=60°，
∴∠AFM=30°，
∴$AM=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{4}x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}x$。
（2）当点M和点P重合时，$AM+BP=AB=2$，
将$AM=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}x$、$BP=x$代入得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{8}x+x=2$，
合并同类项得：$\frac{1}{2}+\frac{9x}{8}=2$，
移项得：$\frac{9x}{8}=\frac{3}{2}$，
解得：$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$AM=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}x$；(2)$x=\frac{4}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握特殊直角三角形的线段比例关系，按顺序推导各线段长度即可，第二问要准确找到点重合时的线段等量关系。
【难度系数】
0.7

10.如图,在等边三角形ABC中,DE//BC,EM=BC,CF⊥DE,垂足为F,求证DF=EF.

10.提示:连接$CD$.证明$△ CDB≌△ ECM$,则$CD=EC$.因为$CF⊥ ED$,所以$DF=EF$.

【分析】
要证明DF=EF，已知CF⊥DE，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△CDE为等腰三角形，即CE=CD即可。要证CE=CD，可通过证明对应三角形全等实现：先连接辅助线CD，结合等边△ABC的性质、DE//BC的平行关系和已知EM=BC，寻找全等条件证明△CDB≌△ECM，得到CE=CD后即可推导最终结论。
【解析】
证明：连接CD。
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°。
2.
∵DE//BC，
∴∠ADM=∠B=60°，∠AMD=∠ACB=60°，
又
∵∠CME=∠AMD（对顶角相等），
∴△ADM是等边三角形（三个角均为60°的三角形是等边三角形），且∠CME=∠B=60°，
∴AD=AM。
3.
∵AB-AD=AC-AM，
∴BD=CM。
4. 在△CDB和△ECM中：
$\{\begin{array}{l}BC=EM（已知）, \\∠B=∠EMC=60°（已证）, \\BD=CM（已证）,\end{array} $
∴△CDB≌△ECM（SAS），
∴CD=EC，即△CDE是等腰三角形。
5. 又
∵CF⊥DE，
根据等腰三角形三线合一的性质，F为DE的中点，
∴DF=EF。
【答案】
DF=EF，得证。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何综合证明题，解题核心是通过添加辅助线CD构造全等三角形，将待证的线段相等关系转化为等腰三角形的三线合一问题，需要学生熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的判定方法，熟练运用平行、对顶角等基础几何关系推导角、边相等。
【难度系数】
0.65

11.如图，$△ ABC$为等边三角形，经过点$C$的直线$a // AB$，$D$为直线$BC$上任一动点.将一$60°$角的顶点置于点$D$处，它的一边始终经过点$A$，另一边与直线$a$交于点$E$，与$AC$交于点$O$.
(1)如图①，若$D$恰好在$BC$的中点处，求证$△ ADE$是等边三角形.
(2)如图②，若$D$为直线$BC$上任一点，其他条件不变，上述(1)的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

11.(1)$\because a// AB$,且$△ ABC$为等边三角形,
$\therefore ∠ ACE=∠ BAC=∠ ABD=60°$,$AB=AC$.
$\because BD=CD$,$\therefore AD⊥ BC$.
$\because ∠ ADE=60°$,$\therefore ∠ EDC=30°$.
$\therefore ∠ DOC=180°-∠ EDC-∠ ACB=90°$.
$\therefore ∠ DEC=∠ DOC-∠ ACE=30°.\therefore ∠ EDC=∠ DEC$.
$\therefore EC=CD=DB$.
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AD=AE$.又$\because ∠ ADE=60°$,
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
(2)如图,在$AC$上取点$F$,使$CF=CD$,连接$DF$.

$\because ∠ ACB=60°$,$\therefore △ DCF$是等边三角形.
$\because ∠ ADF+∠ FDE=∠ EDC+∠ FDE=60°$,$\therefore ∠ ADF=∠ EDC$.
$\because ∠ DAF+∠ ADE=∠ DEC+∠ ACE$,
$\therefore ∠ DAF=∠ DEC$.
$\therefore △ ADF≌△ EDC(\mathrm{AAS}).\therefore AD=ED$.
又$\because ∠ ADE=60°$,$\therefore △ ADE$是等边三角形.

【分析】
(1) 要证明△ADE是等边三角形，已知∠ADE=60°，只需证明AD=AE即可。首先结合等边△ABC的性质与a//AB的平行线性质得到对应角相等、AB=AC；再利用D是BC中点的特殊性，由等边三角形三线合一得AD⊥BC，通过角度计算推出EC=BD，即可证明△ABD≌△ACE得到AD=AE，进而得证。
(2) 结论依然成立，核心思路仍是证明AD=DE。由于D是BC上任意点，无中点特殊条件，因此构造辅助线：在AC上取点F使CF=CD，先证△DCF是等边三角形，得到边相等、角相等的条件，再通过角度推导得到两组等角，证明△ADF≌△EDC得到AD=ED，结合∠ADE=60°即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $a // AB$，且$△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ ACE=∠ BAC=∠ ABD=60°$，$AB=AC$。
∵ $D$是$BC$中点，即$BD=CD$，
∴ $AD⊥ BC$（等边三角形三线合一）。
∵ $∠ ADE=60°$，
∴ $∠ EDC=90°-∠ ADE=30°$，
∴ $∠ DOC=180°-∠ EDC-∠ ACB=180°-30°-60°=90°$，
∴ $∠ DEC=∠ DOC-∠ ACE=90°-60°=30°$，
∴ $∠ EDC=∠ DEC$，
∴ $EC=CD=DB$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ ABD=∠ ACE \\BD=CE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=AE$，
又
∵ $∠ ADE=60°$，
∴ $△ ADE$是等边三角形。
(2) 结论成立，证明如下：
在$AC$上取点$F$，使$CF=CD$，连接$DF$。

∵ $∠ ACB=60°$，
∴ $△ DCF$是等边三角形。
∵ $∠ ADF+∠ FDE=∠ EDC+∠ FDE=60°$，
∴ $∠ ADF=∠ EDC$。
∵ $∠ DAF+∠ ADE+∠ AOD=∠ DEC+∠ ACE+∠ EOC=180°$，且$∠ ADE=∠ ACE=60°$，$∠ AOD=∠ EOC$（对顶角相等），
∴ $∠ DAF=∠ DEC$。
在$△ ADF$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ DAF=∠ DEC \\∠ AFD=∠ ECD=120° \\DF=DC\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ EDC(\mathrm{AAS})$，
∴ $AD=ED$，
又
∵ $∠ ADE=60°$，
∴ $△ ADE$是等边三角形。
【答案】
(1) 证明：$\because a// AB$,且$△ ABC$为等边三角形,
$\therefore ∠ ACE=∠ BAC=∠ ABD=60°$,$AB=AC$.
$\because BD=CD$,$\therefore AD⊥ BC$.
$\because ∠ ADE=60°$,$\therefore ∠ EDC=30°$.
$\therefore ∠ DOC=180°-∠ EDC-∠ ACB=90°$.
$\therefore ∠ DEC=∠ DOC-∠ ACE=30°$.$\therefore ∠ EDC=∠ DEC$.
$\therefore EC=CD=DB$.
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AD=AE$.又$\because ∠ ADE=60°$,
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
(2) 成立，证明：如图,在$AC$上取点$F$,使$CF=CD$,连接$DF$.

$\because ∠ ACB=60°$,$\therefore △ DCF$是等边三角形.
$\because ∠ ADF+∠ FDE=∠ EDC+∠ FDE=60°$,$\therefore ∠ ADF=∠ EDC$.
$\because ∠ DAF+∠ ADE=∠ DEC+∠ ACE$,
$\therefore ∠ DAF=∠ DEC$.
$\therefore △ ADF≌△ EDC(\mathrm{AAS})$.$\therefore AD=ED$.
又$\because ∠ ADE=60°$,$\therefore △ ADE$是等边三角形.
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题为三角形综合类题型，以等边三角形为背景，结合动点场景考查全等三角形的证明与等边三角形的判定。第一问可利用中点的特殊性质快速推导，第二问从特殊情况延伸到一般情况，需要通过构造辅助线得到全等的证明条件，能有效考查逻辑推理能力和辅助线构造能力，是三角形章节的典型习题。
【难度系数】
0.6