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1.如图，$△ ABC$是等边三角形，$AB=10$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，延长$BC$到点$E$，使$CE=AD$，则$BE$的长为(
A.13
B.14
C.15
D.16
C
).A.13
B.14
C.15
D.16
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形条件入手，首先回忆等边三角形三边相等、三线合一的性质：因为△ABC是等边三角形，所以三边长度均为10；BD是角平分线，根据三线合一可知BD同时是AC边上的中线，即可得到AD的长度；再结合CE=AD求出CE的长，最后根据BE是BC和CE的和计算结果即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=10
∴AB=BC=AC=10
∵BD是∠ABC的平分线，等边三角形三线合一
∴D是AC的中点，即$AD=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
又
∵CE=AD
∴CE=5
∴$BE=BC+CE=10+5=15$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形三线合一的性质应用，解题关键是通过角平分线推出D是AC中点，进而求出CE的长度，只要熟练掌握等边三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的等边三角形条件入手，首先回忆等边三角形三边相等、三线合一的性质：因为△ABC是等边三角形，所以三边长度均为10；BD是角平分线，根据三线合一可知BD同时是AC边上的中线，即可得到AD的长度；再结合CE=AD求出CE的长，最后根据BE是BC和CE的和计算结果即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=10
∴AB=BC=AC=10
∵BD是∠ABC的平分线，等边三角形三线合一
∴D是AC的中点，即$AD=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
又
∵CE=AD
∴CE=5
∴$BE=BC+CE=10+5=15$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形三线合一的性质应用，解题关键是通过角平分线推出D是AC中点，进而求出CE的长度，只要熟练掌握等边三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，$∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，$EF // OB$，$EC ⊥ OB$.若$EC=1$，则$EF$的长为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
D
）.A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：OE是∠AOB的角平分线，且EC垂直OB，可联想到角平分线的性质，因此先过点E作OA的垂线，得到EC的等长线段；再结合EF平行OB的条件，利用平行线性质推导角度关系，得到含30°角的直角三角形，最后根据30°角所对直角边是斜边一半的性质求解EF长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥OA于点G。
∵ ∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，
∴ OE平分∠AOB，根据角平分线的性质可得：EG=EC=1。
∵ EF//OB，
∴ ∠OEF=∠BOE=15°，
∴ ∠EFG=∠AOE + ∠OEF = 15°+15°=30°。
在Rt△EFG中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴ EF=2EG=2×1=2。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线、平行线与特殊直角三角形性质结合的典型习题，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，通过角度推导得到特殊角，进而求解线段长度，能较好地考察学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：OE是∠AOB的角平分线，且EC垂直OB，可联想到角平分线的性质，因此先过点E作OA的垂线，得到EC的等长线段；再结合EF平行OB的条件，利用平行线性质推导角度关系，得到含30°角的直角三角形，最后根据30°角所对直角边是斜边一半的性质求解EF长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥OA于点G。
∵ ∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，
∴ OE平分∠AOB，根据角平分线的性质可得：EG=EC=1。
∵ EF//OB，
∴ ∠OEF=∠BOE=15°，
∴ ∠EFG=∠AOE + ∠OEF = 15°+15°=30°。
在Rt△EFG中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴ EF=2EG=2×1=2。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线、平行线与特殊直角三角形性质结合的典型习题，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，通过角度推导得到特殊角，进而求解线段长度，能较好地考察学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$.若$BC=18\ \mathrm{cm}$，则点$D$到斜边$AB$的距离为
6
$\mathrm{cm}$.答案
3.6
解析
【分析】
要计算点D到斜边AB的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于CD的长度，只需算出CD即可。第一步先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，结合AD是角平分线得到∠BAD=∠CAD=30°；第二步由∠BAD=∠B=30°可判定△ABD为等腰三角形，得BD=AD；第三步在Rt△ACD中，利用30°角所对直角边是斜边的一半，得到AD=2CD，即BD=2CD；最后结合BC=BD+CD=18cm，即可求出CD的长度，也就是所求距离。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$
∴ $∠ BAC=180° - 90° - 30°=60°$
∵ AD平分$∠ BAC$，且$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$
∴ 根据角平分线的性质可得$DE=CD$，且$∠ BAD=∠ CAD=30°$
∵ $∠ BAD=∠ B=30°$
∴ $AD=BD$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$
∴ $CD=\frac{1}{2}AD$，即$AD=2CD$
∴ $BD=2CD$
又
∵ $BC=BD+CD=18\ \mathrm{cm}$
∴ $2CD+CD=18\ \mathrm{cm}$，解得$CD=6\ \mathrm{cm}$
∴ $DE=CD=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用角平分线的性质将所求的点到直线的距离转化为线段CD的长度，再结合直角三角形和等腰三角形的性质推导线段间的数量关系求解，解题时要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
要计算点D到斜边AB的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于CD的长度，只需算出CD即可。第一步先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，结合AD是角平分线得到∠BAD=∠CAD=30°；第二步由∠BAD=∠B=30°可判定△ABD为等腰三角形，得BD=AD；第三步在Rt△ACD中，利用30°角所对直角边是斜边的一半，得到AD=2CD，即BD=2CD；最后结合BC=BD+CD=18cm，即可求出CD的长度，也就是所求距离。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$
∴ $∠ BAC=180° - 90° - 30°=60°$
∵ AD平分$∠ BAC$，且$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$
∴ 根据角平分线的性质可得$DE=CD$，且$∠ BAD=∠ CAD=30°$
∵ $∠ BAD=∠ B=30°$
∴ $AD=BD$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$
∴ $CD=\frac{1}{2}AD$，即$AD=2CD$
∴ $BD=2CD$
又
∵ $BC=BD+CD=18\ \mathrm{cm}$
∴ $2CD+CD=18\ \mathrm{cm}$，解得$CD=6\ \mathrm{cm}$
∴ $DE=CD=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用角平分线的性质将所求的点到直线的距离转化为线段CD的长度，再结合直角三角形和等腰三角形的性质推导线段间的数量关系求解，解题时要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
4.如图，$∠ AOB=60°$，点$P$在边$OA$上，$OP=12$，点$M$，$N$在边$OB$上，$PM=PN$，若$MN=2$，则$OM=$
5
。答案
4.5
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：存在等腰$△ PMN$（$PM=PN$），$∠ AOB=60°$，已知$OP=12$、$MN=2$，要求$OM$的长度。首先回忆等腰三角形的性质，遇到等腰三角形可优先作底边上的高，利用“三线合一”得到$MN$一半的长度；再结合含$30°$角的直角三角形的性质，求出点$P$到$OB$的垂足与点$O$的距离，最后减去$MN$一半的长度即可得到$OM$的长。
【解析】
过点$P$作$PD⊥ OB$于点$D$。
1. 因为$PM=PN$，$PD⊥ MN$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$MD=ND=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$
2. 在$Rt△ OPD$中，$∠ ODP=90°$，$∠ AOB=60°$，因此$∠ OPD=30°$，根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×12=6$
3. 因此$OM=OD-MD=6-1=5$
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形$30°$角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造等腰三角形的高和含$30°$角的直角三角形，结合特殊三角形的性质即可快速求出线段长度，是等腰三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：存在等腰$△ PMN$（$PM=PN$），$∠ AOB=60°$，已知$OP=12$、$MN=2$，要求$OM$的长度。首先回忆等腰三角形的性质，遇到等腰三角形可优先作底边上的高，利用“三线合一”得到$MN$一半的长度；再结合含$30°$角的直角三角形的性质，求出点$P$到$OB$的垂足与点$O$的距离，最后减去$MN$一半的长度即可得到$OM$的长。
【解析】
过点$P$作$PD⊥ OB$于点$D$。
1. 因为$PM=PN$，$PD⊥ MN$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$MD=ND=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$
2. 在$Rt△ OPD$中，$∠ ODP=90°$，$∠ AOB=60°$，因此$∠ OPD=30°$，根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×12=6$
3. 因此$OM=OD-MD=6-1=5$
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形$30°$角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造等腰三角形的高和含$30°$角的直角三角形，结合特殊三角形的性质即可快速求出线段长度，是等腰三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$，$CE$分别是斜边$AB$上的高和中线。如果$∠ A=30°$，$BD=1\ \mathrm{cm}$，那么$∠ BEC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
5.$60°$ 3
解析
【分析】
本题需要分别求解角度和线段长度，解题思路如下：①先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，判定△BCE为等边三角形，即可得到∠BEC的度数；②先利用等边三角形三线合一的性质求出BE的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质得到AB的长度，最后用AB减去BD即可得到所求线段的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，
$\because CE$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore CE=BE=AE=\frac{1}{2}AB$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △BCE$是等边三角形，故$∠ BEC=60°$。
$\because CD$是斜边$AB$上的高，$△BCE$是等边三角形，
$\therefore CD$平分$BE$，即$BD=DE=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BD+DE=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=2BE=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=AB-BD=4-1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$60°$；$3$
【知识点】
直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将直角三角形和等边三角形的性质结合考查，解题的关键是找准边、角之间的关联，熟练掌握相关基础性质就能顺利推导求解。
【难度系数】
0.65
本题需要分别求解角度和线段长度，解题思路如下：①先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，判定△BCE为等边三角形，即可得到∠BEC的度数；②先利用等边三角形三线合一的性质求出BE的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质得到AB的长度，最后用AB减去BD即可得到所求线段的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，
$\because CE$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore CE=BE=AE=\frac{1}{2}AB$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △BCE$是等边三角形，故$∠ BEC=60°$。
$\because CD$是斜边$AB$上的高，$△BCE$是等边三角形，
$\therefore CD$平分$BE$，即$BD=DE=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BD+DE=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=2BE=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=AB-BD=4-1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$60°$；$3$
【知识点】
直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将直角三角形和等边三角形的性质结合考查，解题的关键是找准边、角之间的关联，熟练掌握相关基础性质就能顺利推导求解。
【难度系数】
0.65
6.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC＜AC.点 D,E 分别在边AB,BC 上,连接 DE,将△BDE 沿 DE 折叠,点 B 的对应点为点 B',若点 B'刚好落在边 AC 上,∠CB'E=30°,CE=3,则 BC 的长为
9
.答案
6.9
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到相等线段，再结合直角三角形的特殊角度性质计算线段长度：第一步，回忆折叠的特征，折叠前后对应边长度相等，因此可得BE=B'E；第二步，观察到△CB'E是直角三角形，已知∠CB'E=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，可求出B'E的长度；第三步，结合BC=CE+BE的线段和关系，代入数值即可算出BC的长。
【解析】
∵ 将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B'
∴ 由折叠的性质得：$BE = B'E$
在$Rt△ CB'E$中，$∠ C=90°$，$∠ CB'E=30°$，$CE=3$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE=\frac{1}{2}B'E$
∴ $B'E=2CE=2×3=6$
∴ $BE=B'E=6$
∴ $BC=CE+BE=3+6=9$
【答案】
9
【知识点】
折叠的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题重点考察折叠性质与特殊直角三角形的性质应用，解题核心是通过折叠得到相等的线段，再结合30°直角三角形的边角关系求解，属于常规基础题型，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到相等线段，再结合直角三角形的特殊角度性质计算线段长度：第一步，回忆折叠的特征，折叠前后对应边长度相等，因此可得BE=B'E；第二步，观察到△CB'E是直角三角形，已知∠CB'E=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，可求出B'E的长度；第三步，结合BC=CE+BE的线段和关系，代入数值即可算出BC的长。
【解析】
∵ 将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B'
∴ 由折叠的性质得：$BE = B'E$
在$Rt△ CB'E$中，$∠ C=90°$，$∠ CB'E=30°$，$CE=3$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE=\frac{1}{2}B'E$
∴ $B'E=2CE=2×3=6$
∴ $BE=B'E=6$
∴ $BC=CE+BE=3+6=9$
【答案】
9
【知识点】
折叠的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题重点考察折叠性质与特殊直角三角形的性质应用，解题核心是通过折叠得到相等的线段，再结合30°直角三角形的边角关系求解，属于常规基础题型，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
7.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC上的一点,且AE=CD,AD与BE相交于点P,且BQ⊥AD,垂足为Q.求证BP=2PQ.
答案
7.提示:易证$△ ABE≌△ CAD$,$\therefore ∠ EBA=∠ DAC$.
$\because ∠ DAC+∠ BAD=60°$,
$\therefore ∠ EBA+∠ BAD=60°.\therefore ∠ QPB=60°$.
$\because BQ⊥ AD$,$\therefore ∠ QBP=30°.\therefore BP=2PQ$.
$\because ∠ DAC+∠ BAD=60°$,
$\therefore ∠ EBA+∠ BAD=60°.\therefore ∠ QPB=60°$.
$\because BQ⊥ AD$,$\therefore ∠ QBP=30°.\therefore BP=2PQ$.
解析
【分析】
要证明BP=2PQ，首先观察到BQ⊥AD，△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，只需证明∠QBP=30°或∠BPQ=60°即可。接下来推导∠BPQ的度数：∠BPQ是△ABP的外角，等于∠ABE+∠BAD，已知△ABC是等边三角形，∠BAC=60°即∠BAD+∠DAC=60°，因此只需证明∠ABE=∠DAC，即可得到∠BPQ=60°。要证角相等，可通过证明三角形全等实现，结合已知AE=CD，等边三角形有AB=AC、∠BAE=∠C=60°，用SAS即可证△ABE≌△CAD，完成角的等量转换，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=∠BAC=60°，
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠C\\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
又
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
在Rt△BQP中，∠QBP=90°-∠BPQ=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BP=2PQ。
【答案】
BP=2PQ，得证。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过全等三角形完成角的等量转换，再结合三角形外角性质和直角三角形特殊边角关系求证，思路清晰，属于几何常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要证明BP=2PQ，首先观察到BQ⊥AD，△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，只需证明∠QBP=30°或∠BPQ=60°即可。接下来推导∠BPQ的度数：∠BPQ是△ABP的外角，等于∠ABE+∠BAD，已知△ABC是等边三角形，∠BAC=60°即∠BAD+∠DAC=60°，因此只需证明∠ABE=∠DAC，即可得到∠BPQ=60°。要证角相等，可通过证明三角形全等实现，结合已知AE=CD，等边三角形有AB=AC、∠BAE=∠C=60°，用SAS即可证△ABE≌△CAD，完成角的等量转换，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=∠BAC=60°，
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠C\\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
又
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
在Rt△BQP中，∠QBP=90°-∠BPQ=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BP=2PQ。
【答案】
BP=2PQ，得证。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过全等三角形完成角的等量转换，再结合三角形外角性质和直角三角形特殊边角关系求证，思路清晰，属于几何常考基础题型。
【难度系数】
0.7
