6.如图，$△ ABC$是等边三角形，$CD⊥ BC$，且$CD=BC$，求$∠ DAC$，$∠ ADB$的度数.

6.$∠ DAC=15°$,$∠ ADB=30°$.提示:$∠ ADC=∠ DAC=(180°-60°-90°)÷2=15°$.

【分析】
解题时先从已知条件出发梳理边和角的关系：1. 由等边△ABC的性质可得BC=AC，∠ACB=60°；2. 结合CD⊥BC且CD=BC，可推出CD=AC，∠BCD=90°，先求出等腰△ACD的顶角∠ACD的度数，即可利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和算出底角∠DAC、∠ADC的度数。求∠ADB时，先根据△BCD是等腰直角三角形得到∠BDC=45°，再通过角的和差关系用∠BDC减去∠ADC即可得到结果。
【解析】
解：
∵ △ABC是等边三角形
∴ BC=AC，∠ACB=60°
∵ CD⊥BC，CD=BC
∴ CD=AC，∠BCD=90°，△BCD为等腰直角三角形
∴ ∠ACD=∠ACB + ∠BCD = 60°+90°=150°，∠BDC=45°
在△ACD中，AC=CD，∠ACD=150°
根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等可得：
∠DAC=∠ADC=(180° - ∠ACD)÷2 = (180°-150°)÷2=15°
∴ ∠ADB=∠BDC - ∠ADC = 45° - 15° = 30°
【答案】
∠DAC=15°，∠ADB=30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于特殊三角形性质的综合应用题，解题核心是通过已知条件推导得到相等的边，判定出等腰三角形，再结合三角形内角和定理计算角度，解题时需注意理清图中各角之间的和差关系，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7

7.如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证AE//BC.

7.$\because △ ABC$和$△ EDC$是等边三角形,
$\therefore BC=AC$,$DC=EC$,$∠ BCA=∠ DCE=60°$.
$\therefore ∠ BCA-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$,
即$∠ BCD=∠ ACE$.
在$△ DBC$和$△ EAC$中,
$\because BC=AC$,$∠ BCD=∠ ACE$,$DC=EC$,
$\therefore △ DBC≌△ EAC.\therefore ∠ B=∠ EAC$.
又$\because ∠ B=∠ BCA=60°$,
$\therefore ∠ BCA=∠ EAC.\therefore AE// BC$.

【分析】
要证明AE//BC，可通过证明内错角∠EAC=∠ACB实现。结合已知的两个等边三角形，先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，得到相等的边BC=AC、DC=EC，以及相等的角∠BCA=∠DCE=60°，通过减去公共角∠ACD得到∠BCD=∠ACE，即可用SAS判定△DBC≌△EAC，再由全等三角形对应角相等得到∠EAC=∠B，结合∠B=∠ACB=60°，就能得到内错角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
∵△ABC和△EDC是等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中：
$\{\begin{array}{l} BC=AC\\ ∠ BCD=∠ ACE\\ DC=EC\end{array} $
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠B=∠EAC，
又
∵∠B=∠BCA=60°，
∴∠BCA=∠EAC，
∴AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
AE//BC
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是通过等边三角形的性质构造全等三角形，将角的关系进行转化，从而利用平行线的判定定理完成证明，需要熟练掌握全等三角形的判定方法及等边三角形的特性。
【难度系数】
0.75

8.如图，在等边三角形ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP=。

8.6

【分析】
解题时首先结合已知条件提取有效信息：等边三角形ABC内角均为60°，旋转可得OP=OD、∠POD=60°；接下来通过角度的和差关系推导角相等，进而证明△AOP与△CDO全等，最后利用全等三角形对应边相等即可求出AP的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵AC=9，AO=3，
∴OC=AC-AO=9-3=6，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴∠AOP+∠COD=180°-∠POD=180°-60°=120°，
在△AOP中，∠AOP+∠APO=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠COD=∠APO，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C\\ ∠ APO=∠ COD\\ OP=OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6。
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于旋转背景下的几何计算题，解题的关键是利用角度等量代换找到全等三角形，将未知边转化为已知边求解，是等腰三角形章节的经典题型。
【难度系数】
0.6

9.如图,在$△ MPN$中,$∠ P=60°$,$MN=NP$,$MQ⊥ PN$,垂足为$Q$,延长$MN$到点$G$,使得$NG=NQ$.若$△ MNP$的周长为$12$,$MQ=a$,求$△ MGQ$的周长(用含$a$的式子表示).

9.$6+2a$.提示:$MN=4$,$NG=NQ=2$,$GQ=QM=a$.

【分析】
解题时首先根据已知条件“MN=NP，∠P=60°”判定△MNP是等边三角形，结合周长求出各边的长度；再利用等边三角形三线合一的性质得到NQ的长度和∠QMN的度数；接着根据NG=NQ判定△QNG是等腰三角形，推导得出∠G的度数，进而得到QG=MQ的等量关系；最后将△MGQ的三边相加即可求出周长。
【解析】
解：1. 判定等边三角形并求边长
∵ 在△MPN中，$MN=NP$，$∠ P=60°$
∴ △MNP是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ $MN=NP=MP$，$∠ PMN=∠ PNM=60°$
∵ △MNP的周长为12
∴ $MN=NP=MP=12÷3=4$
2. 利用三线合一求NQ和角度
∵ $MQ⊥ PN$，△MNP是等边三角形
∴ MQ平分$∠ PMN$，Q为PN中点（等边三角形三线合一）
∴ $∠ QMN=\frac{1}{2}∠ PMN=30°$，$NQ=\frac{1}{2}NP=\frac{1}{2}×4=2$
3. 推导∠G的度数，得到QG=MQ
∵ $NG=NQ$，
∴ $NG=2$
∵ $∠ PNM=60°$，
∴ $∠ QNG=180°-∠ PNM=120°$
在等腰△QNG中，$∠ G=(180°-∠ QNG)÷2=(180°-120°)÷2=30°$
∴ $∠ G=∠ QMN=30°$
∴ $QG=MQ=a$（等角对等边）
4. 计算△MGQ的周长
$MG=MN+NG=4+2=6$
∴ △MGQ的周长$=MQ+QG+MG=a+a+6=6+2a$
【答案】
$6+2a$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题核心是先通过等边三角形的判定得到各边长度和角度关系，再结合等腰三角形的性质推导边的等量关系，需要学生熟练掌握特殊三角形的性质并灵活运用角度计算得到边的关系。
【难度系数】
0.7

10.已知 D，E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC，AB 上的点，$∠ ADE = 60°$.
（1）如图①，点 M 在 AC 上，满足$∠ ADM = 60°$，求证$BE = CM$.
（2）如图②，作$CF // AB$交 ED 的延长线于点 F，探究线段 BE，CF，CD 之间的数量关系，并给出证明.

10.(1)提示:过点$A$作$DM$,$DE$的垂线,垂足分别是$H$,$G$,证明$△ ADG≌△ ADH$,再证$△ AEG≌△ AMH$.
(2)延长$CF$至点$N$,使$FN=BE$,连接$BN$,$EN$.
$\because CF// BE$,$\therefore ∠ BEN=∠ ENF$.
又$\because EN=NE$,$\therefore △ BEN≌△ FNE$.
$\therefore ∠ BNE=∠ FEN.\therefore EF// BN$.
$\therefore ∠ CDF=∠ CBN$.
又$\because ∠ ADE+∠ ADC+∠ CDF=180°$,$∠ ACD+∠ ADC+∠ CAD=180°$,$∠ ADE=∠ ACB=60°$,
$\therefore ∠ CDF=∠ CAD$.
又$\because ∠ CDF=∠ CBN$,$\therefore ∠ CAD=∠ CBN$.
又$\because CA=CB$,$∠ BCF=∠ ACB=60°$,
$\therefore △ ACD≌△ BCN.\therefore CD=CN=CF+BE$.

【分析】
（1）要证$BE=CM$，已知$△ ABC$是等边三角形，可得$AB=AC$，因此只需推导$AE=AM$即可。已知$∠ ADE=∠ ADM=60°$，即$AD$平分$∠ EDM$，可过点$A$作$DE$、$DM$的垂线，利用角平分线的性质得到两条垂线段相等，再通过角度推导得到对应角相等，证明直角三角形全等得到$AE=AM$，即可推出$BE=CM$。
（2）探究三条线段的数量关系，可采用截长补短法构造等量关系。已知$CF// AB$，延长$CF$至点$N$使$FN=BE$，先通过全等证明$EF// BN$，得到角的等量关系，再结合等边三角形的性质证明$△ ACD≌△ BCN$，得到$CD=CN$，即可推导出三条线段的数量关系。
【解析】
（1）证明：过点$A$作$AG⊥ DE$于点$G$，$AH⊥ DM$于点$H$。
$\because ∠ ADE=∠ ADM=60°$，即$AD$平分$∠ EDM$，且$AG⊥ DE$，$AH⊥ DM$，
$\therefore AG=AH$，$∠ AGE=∠ AHM=90°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=60°$，$AB=AC$。
在四边形$AEDM$中，$∠ EAM+∠ AED+∠ EDM+∠ AMD=360°$，其中$∠ EAM=60°$，$∠ EDM=∠ ADE+∠ ADM=120°$，
$\therefore ∠ AED+∠ AMD=180°$。
又$\because ∠ AMD+∠ AMH=180°$，
$\therefore ∠ AED=∠ AMH$。
在$△ AEG$和$△ AMH$中：
$\begin{cases}∠ AGE=∠ AHM \\∠ AEG=∠ AMH \\AG=AH\end{cases}$
$\therefore △ AEG≌△ AMH(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AM$。
$\because AB=AC$，
$\therefore AB-AE=AC-AM$，即$BE=CM$。
（2）线段数量关系为$CD=BE+CF$，证明如下：
延长$CF$至点$N$，使$FN=BE$，连接$BN$，$EN$。
$\because CF// AB$，
$\therefore ∠ BEN=∠ ENF$。
在$△ BEN$和$△ FNE$中：
$\begin{cases}BE=FN \\∠ BEN=∠ FNE \\EN=NE\end{cases}$
$\therefore △ BEN≌△ FNE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BNE=∠ FEN$，
$\therefore EF// BN$，
$\therefore ∠ CDF=∠ CBN$。
$\because ∠ ADE=60°$，$∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB$。
$\because ∠ ADE+∠ ADC+∠ CDF=180°$，$∠ ACD+∠ ADC+∠ CAD=180°$，
$\therefore ∠ CDF=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBN$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore CA=CB$，$∠ ACB=60°$。
$\because CF// AB$，
$\therefore ∠ BCN=∠ ABC=60°$，即$∠ ACD=∠ BCN$。
在$△ ACD$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}∠ CAD=∠ CBN \\CA=CB \\∠ ACD=∠ BCN\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCN(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD=CN$。
$\because CN=CF+FN=CF+BE$，
$\therefore CD=BE+CF$。
【答案】
（1）$BE=CM$，证明成立；
（2）$\boldsymbol{CD=BE+CF}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题以等边三角形为几何背景，核心考查全等三角形的构造与证明，解题的关键是合理构造辅助线（作角平分线的垂线、截长补短构造等长线段）创造全等条件，结合角度的等量代换推导对应角相等，进而通过全等得到线段的等量关系，对几何逻辑推导能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6