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1.如图，在$△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=90°$，$O$为$AB$的中点，点$D$，$E$分别在$AC$，$BC$上，且$OD⊥ OE$.求证$CE+CD=AC$. 
答案
连接OC.易证△ADO≌△CEO(ASA),故CE+CD=AD+CD=AC.
解析
【分析】
遇到等腰直角三角形斜边中点的问题，首先考虑连接斜边中线构造特殊边角关系：首先连接OC，利用等腰直角三角形的性质可得OA=OC，∠A=∠OCE=45°；再结合OD⊥OE的条件，可推出∠AOD和∠COE相等，即可证明△ADO与△CEO全等，得到AD=CE，最后通过线段等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：连接OC，
∵ 在$△ABC$中，$CA=CB$，$∠ACB=90°$，$O$为$AB$的中点，
∴ $∠A=45°$，$OC⊥AB$，$OC=OA$，$∠OCE=\frac{1}{2}∠ACB=45°$，
∴ $∠A=∠OCE$，$∠AOC=90°$，即$∠AOD+∠DOC=90°$，
∵ $OD⊥OE$，
∴ $∠DOE=90°$，即$∠COE+∠DOC=90°$，
∴ $∠AOD=∠COE$，
在$△ADO$和$△CEO$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠OCE \\OA=OC \\∠AOD=∠COE\end{array} $
∴ $△ADO≌△CEO$（ASA），
∴ $AD=CE$，
∴ $CE+CD=AD+CD=AC$。
【答案】
$CE+CD=AC$，得证。
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形对称性应用的典型题型，解题核心是通过连接等腰直角三角形斜边中线构造全等三角形，利用全等实现线段的等量代换，需要熟练掌握等腰直角三角形的特殊性质，快速定位全等条件。
【难度系数】
0.7
遇到等腰直角三角形斜边中点的问题，首先考虑连接斜边中线构造特殊边角关系：首先连接OC，利用等腰直角三角形的性质可得OA=OC，∠A=∠OCE=45°；再结合OD⊥OE的条件，可推出∠AOD和∠COE相等，即可证明△ADO与△CEO全等，得到AD=CE，最后通过线段等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：连接OC，
∵ 在$△ABC$中，$CA=CB$，$∠ACB=90°$，$O$为$AB$的中点，
∴ $∠A=45°$，$OC⊥AB$，$OC=OA$，$∠OCE=\frac{1}{2}∠ACB=45°$，
∴ $∠A=∠OCE$，$∠AOC=90°$，即$∠AOD+∠DOC=90°$，
∵ $OD⊥OE$，
∴ $∠DOE=90°$，即$∠COE+∠DOC=90°$，
∴ $∠AOD=∠COE$，
在$△ADO$和$△CEO$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠OCE \\OA=OC \\∠AOD=∠COE\end{array} $
∴ $△ADO≌△CEO$（ASA），
∴ $AD=CE$，
∴ $CE+CD=AD+CD=AC$。
【答案】
$CE+CD=AC$，得证。
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形对称性应用的典型题型，解题核心是通过连接等腰直角三角形斜边中线构造全等三角形，利用全等实现线段的等量代换，需要熟练掌握等腰直角三角形的特殊性质，快速定位全等条件。
【难度系数】
0.7
2.如图，$BC⊥ CD$，垂足为$C$，$∠1=∠2=∠3$，$∠4=60°$，$∠5=∠6$.
(1)$CO$是$△ BCD$的高吗？如果是，请说明理由.
(2)求$∠5$和$∠7$的度数.
(1)$CO$是$△ BCD$的高吗？如果是，请说明理由.
(2)求$∠5$和$∠7$的度数.
答案
(1)CO是△BCD的高.理由如下：
$\because BC⊥ CD,\therefore ∠ DCB=90^{\circ }.\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ 3=45^{\circ }.$
$\therefore △ DCB$是等腰直角三角形.$\therefore CO$是$∠ DCB$的平分线.
$\therefore CO⊥ BD$(等腰三角形三线合一).
(2)$\because$在$△ ACD$中,$∠ 1=∠ 3=45^{\circ },∠ 4=60^{\circ },\therefore ∠ 5=30^{\circ }.$
又$\because ∠ 5=∠ 6,\therefore ∠ 6=30^{\circ }.\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ 7=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$
$\because BC⊥ CD,\therefore ∠ DCB=90^{\circ }.\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ 3=45^{\circ }.$
$\therefore △ DCB$是等腰直角三角形.$\therefore CO$是$∠ DCB$的平分线.
$\therefore CO⊥ BD$(等腰三角形三线合一).
(2)$\because$在$△ ACD$中,$∠ 1=∠ 3=45^{\circ },∠ 4=60^{\circ },\therefore ∠ 5=30^{\circ }.$
又$\because ∠ 5=∠ 6,\therefore ∠ 6=30^{\circ }.\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ 7=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$
解析
【分析】
(1)要判断CO是否为△BCD的高，本质是要证明CO⊥BD。首先结合已知的BC⊥CD和∠1=∠2，可推出△BCD是等腰直角三角形，得到∠1、∠2的度数，再结合∠1=∠3可证CO平分∠BCD，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可证明CO⊥BD，得到结论。
(2)求∠5的度数时，可在△ACD中利用三角形内角和为180°，结合已知的∠1、∠3、∠4的度数计算；求∠7的度数时，先由∠5=∠6得到∠6的度数，再结合第一问得到的CO⊥BD的结论，在Rt△AOB中利用内角和计算即可。
【解析】
(1)CO是△BCD的高，理由如下：
$\because BC⊥ CD$，$\therefore ∠ DCB=90°$，
$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1=∠ 2=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
又$\because ∠ 1=∠ 3$，$\therefore ∠ 3=45°$，
$\therefore △ DCB$是等腰直角三角形，且CO是$∠ DCB$的平分线，
$\therefore CO⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即CO是△BCD的高。
(2)在$△ ACD$中，$∠ 1=45°$，$∠ 3=45°$，$∠ 4=60°$，
由三角形内角和为$180°$得：$∠ 5=180°-∠ 3-∠ 1-∠ 4=180°-45°-45°-60°=30°$，
$\because ∠ 5=∠ 6$，$\therefore ∠ 6=30°$，
由(1)知$CO⊥ BD$，即$∠ AOB=90°$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ 7=180°-90°-∠ 6=180°-90°-30°=60°$。
【答案】
(1)CO是$△ BCD$的高，理由见解析；
(2)$∠ 5=30°$，$∠ 7=60°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直的判定
【点评】
本题是等腰三角形性质与角度计算的综合题，解题时需要结合已知条件逐步推导，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要判断CO是否为△BCD的高，本质是要证明CO⊥BD。首先结合已知的BC⊥CD和∠1=∠2，可推出△BCD是等腰直角三角形，得到∠1、∠2的度数，再结合∠1=∠3可证CO平分∠BCD，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可证明CO⊥BD，得到结论。
(2)求∠5的度数时，可在△ACD中利用三角形内角和为180°，结合已知的∠1、∠3、∠4的度数计算；求∠7的度数时，先由∠5=∠6得到∠6的度数，再结合第一问得到的CO⊥BD的结论，在Rt△AOB中利用内角和计算即可。
【解析】
(1)CO是△BCD的高，理由如下：
$\because BC⊥ CD$，$\therefore ∠ DCB=90°$，
$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1=∠ 2=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
又$\because ∠ 1=∠ 3$，$\therefore ∠ 3=45°$，
$\therefore △ DCB$是等腰直角三角形，且CO是$∠ DCB$的平分线，
$\therefore CO⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即CO是△BCD的高。
(2)在$△ ACD$中，$∠ 1=45°$，$∠ 3=45°$，$∠ 4=60°$，
由三角形内角和为$180°$得：$∠ 5=180°-∠ 3-∠ 1-∠ 4=180°-45°-45°-60°=30°$，
$\because ∠ 5=∠ 6$，$\therefore ∠ 6=30°$，
由(1)知$CO⊥ BD$，即$∠ AOB=90°$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ 7=180°-90°-∠ 6=180°-90°-30°=60°$。
【答案】
(1)CO是$△ BCD$的高，理由见解析；
(2)$∠ 5=30°$，$∠ 7=60°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直的判定
【点评】
本题是等腰三角形性质与角度计算的综合题，解题时需要结合已知条件逐步推导，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
3.如图，$AC⊥CD$，$AC=CD$，点B在CD上，$DE⊥AB$交AB的延长线于点E，若$AB=2DE$，求$∠BAC$的度数。
答案
如图,延长DE,AC交于点M,连接AD.
$\because DE⊥ AB,AC⊥ CD,\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90^{\circ },∠ CDM+∠ DBE=90^{\circ }.$
$\because ∠ ABC=∠ DBE,\therefore ∠ BAC=∠ CDM.$
$\because CD=AC,∠ ACB=∠ DCM=90^{\circ },\therefore △ ACB≌ △ DCM,\therefore AB=DM.$
$\because AB=2DE,\therefore DM=2DE.\therefore DE=EM.$
$\because DE⊥ AE,\therefore AD=AM.\therefore ∠ BAC=\dfrac {1}{2}∠ DAC.$
$\because AC=CD,AC⊥ CD,\therefore ∠ DAC=45^{\circ }.\therefore ∠ BAC=\dfrac {1}{2}∠ DAC=22.5^{\circ }.$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从已知条件逐步推导解题路径：1.首先观察到∠BAC和∠CDM都是∠ABC的余角，结合对顶角相等可推出两角相等，为构造全等三角形创造条件；2.通过延长DE、AC交于点M，结合AC=CD、两个直角的条件，可证明△ACB和△DCM全等，将AB转化为与DE相关的线段DM；3.结合AB=2DE可推出E是DM中点，再由DE⊥AE可知AE是DM的垂直平分线，进而得到AD=AM，利用等腰三角形三线合一可得AE平分∠DAM；4.最后由△ACD是等腰直角三角形，∠DAC=45°，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：如图，延长DE，AC交于点M，连接AD。
$\because DE⊥AB,AC⊥CD$，
$\therefore ∠BAC+∠ABC=90°,∠CDM+∠DBE=90°$，
又$\because ∠ABC=∠DBE$（对顶角相等），
$\therefore ∠BAC=∠CDM$。
在$△ ACB$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠CDM \\AC=CD \\∠ACB=∠DCM=90°\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCM(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DM$。
$\because AB=2DE$，
$\therefore DM=2DE$，即$DE=EM$。
$\because DE⊥AE$，
$\therefore AE$是线段$DM$的垂直平分线，
$\therefore AD=AM$，根据等腰三角形三线合一可得$∠BAC=\frac{1}{2}∠DAC$。
又$\because AC=CD,AC⊥CD$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，$∠DAC=45°$，
$\therefore ∠BAC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
如图,延长DE,AC交于点M,连接AD.
$\because DE⊥ AB,AC⊥ CD,\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90^{\circ },∠ CDM+∠ DBE=90^{\circ }.$
$\because ∠ ABC=∠ DBE,\therefore ∠ BAC=∠ CDM.$
$\because CD=AC,∠ ACB=∠ DCM=90^{\circ },\therefore △ ACB≌ △ DCM,\therefore AB=DM.$
$\because AB=2DE,\therefore DM=2DE.\therefore DE=EM.$
$\because DE⊥ AE,\therefore AD=AM.\therefore ∠ BAC=\dfrac {1}{2}∠ DAC.$
$\because AC=CD,AC⊥ CD,\therefore ∠ DAC=45^{\circ }.\therefore ∠ BAC=\dfrac {1}{2}∠ DAC=22.5^{\circ }.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的线段、角度关系整合，再结合等腰三角形的对称性推导角的数量关系，对学生的辅助线构造能力和知识综合应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以从已知条件逐步推导解题路径：1.首先观察到∠BAC和∠CDM都是∠ABC的余角，结合对顶角相等可推出两角相等，为构造全等三角形创造条件；2.通过延长DE、AC交于点M，结合AC=CD、两个直角的条件，可证明△ACB和△DCM全等，将AB转化为与DE相关的线段DM；3.结合AB=2DE可推出E是DM中点，再由DE⊥AE可知AE是DM的垂直平分线，进而得到AD=AM，利用等腰三角形三线合一可得AE平分∠DAM；4.最后由△ACD是等腰直角三角形，∠DAC=45°，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：如图，延长DE，AC交于点M，连接AD。
$\because DE⊥AB,AC⊥CD$，
$\therefore ∠BAC+∠ABC=90°,∠CDM+∠DBE=90°$，
又$\because ∠ABC=∠DBE$（对顶角相等），
$\therefore ∠BAC=∠CDM$。
在$△ ACB$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠CDM \\AC=CD \\∠ACB=∠DCM=90°\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCM(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DM$。
$\because AB=2DE$，
$\therefore DM=2DE$，即$DE=EM$。
$\because DE⊥AE$，
$\therefore AE$是线段$DM$的垂直平分线，
$\therefore AD=AM$，根据等腰三角形三线合一可得$∠BAC=\frac{1}{2}∠DAC$。
又$\because AC=CD,AC⊥CD$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，$∠DAC=45°$，
$\therefore ∠BAC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
如图,延长DE,AC交于点M,连接AD.
$\because DE⊥ AB,AC⊥ CD,\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90^{\circ },∠ CDM+∠ DBE=90^{\circ }.$
$\because ∠ ABC=∠ DBE,\therefore ∠ BAC=∠ CDM.$
$\because CD=AC,∠ ACB=∠ DCM=90^{\circ },\therefore △ ACB≌ △ DCM,\therefore AB=DM.$
$\because AB=2DE,\therefore DM=2DE.\therefore DE=EM.$
$\because DE⊥ AE,\therefore AD=AM.\therefore ∠ BAC=\dfrac {1}{2}∠ DAC.$
$\because AC=CD,AC⊥ CD,\therefore ∠ DAC=45^{\circ }.\therefore ∠ BAC=\dfrac {1}{2}∠ DAC=22.5^{\circ }.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的线段、角度关系整合，再结合等腰三角形的对称性推导角的数量关系，对学生的辅助线构造能力和知识综合应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.6
4.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是边$AC$上一点，$AE⊥ BD$，垂足为$F$，$O$是边$BC$的中点，求$∠ BFO$的度数。
答案
连接AO,过点O作$OH⊥ OF$交BD于点H,由三线合一得,$AO⊥ BC$,$∠ BAO=∠ CAO=∠ ABC=∠ ACB=45^{\circ }$,
$\therefore △ ABO,△ ACO$都是等腰直角三角形.$\therefore AO=BO=CO.$
$\because AE⊥ BD,\therefore ∠ BFE=90^{\circ },∠ OAE+∠ AEB=∠ OBH+∠ AEB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ OAE=∠ OBH.$
$\because ∠ BOH+∠ AOH=∠ AOH+∠ AOF=90^{\circ },\therefore ∠ BOH=∠ AOF,$
$\therefore △ AOF≌ △ BOH.\therefore OH=OF.$
$\therefore △ OHF$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ BFO=45^{\circ }.$
$\therefore △ ABO,△ ACO$都是等腰直角三角形.$\therefore AO=BO=CO.$
$\because AE⊥ BD,\therefore ∠ BFE=90^{\circ },∠ OAE+∠ AEB=∠ OBH+∠ AEB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ OAE=∠ OBH.$
$\because ∠ BOH+∠ AOH=∠ AOH+∠ AOF=90^{\circ },\therefore ∠ BOH=∠ AOF,$
$\therefore △ AOF≌ △ BOH.\therefore OH=OF.$
$\therefore △ OHF$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ BFO=45^{\circ }.$
解析
【分析】
首先，题目给出等腰Rt△ABC，O是BC中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，连接AO可得到AO⊥BC、AO=BO、多个45°角这些有用条件。要求∠BFO的度数，观察图形推测它是特殊角，可通过构造全等三角形转化线段关系：过O作OH⊥OF交BD于点H，利用同角的余角相等找到两组等角，结合AO=BO证明△AOF≌△BOH，得到OF=OH，即可推出△OHF是等腰直角三角形，进而求出∠BFO的度数。
【解析】
解：连接AO，过点O作$OH⊥OF$交BD于点H。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，O是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一，得$AO⊥BC$，$∠BAO=∠CAO=∠ABC=∠ACB=45^{\circ }$，
∴$△ABO$、$△ACO$都是等腰直角三角形，$\therefore AO=BO=CO$。
∵$AE⊥BD$，$\therefore ∠BFE=90^{\circ }$，
∴$∠OAE+∠AEB=90^{\circ }$，$∠OBH+∠AEB=90^{\circ }$，
根据同角的余角相等，得$∠OAE=∠OBH$。
∵$OH⊥OF$，$\therefore ∠HOF=90^{\circ }$，
∴$∠BOH+∠AOH=90^{\circ }$，
又
∵$∠AOB=90^{\circ }$，即$∠AOF+∠AOH=90^{\circ }$，
$\therefore ∠BOH=∠AOF$。
在$△AOF$和$△BOH$中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OBH \\AO=BO \\∠AOF=∠BOH\end{array} $
$\therefore △AOF≌△BOH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OH=OF$，
∴$△OHF$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠BFO=45^{\circ }$。
【答案】
$45^{\circ }$
【知识点】
1.等腰三角形三线合一；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是合理构造辅助线创造全等三角形的证明条件，需要熟练运用等腰三角形的性质以及同角的余角相等找相等的角，对几何辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出等腰Rt△ABC，O是BC中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，连接AO可得到AO⊥BC、AO=BO、多个45°角这些有用条件。要求∠BFO的度数，观察图形推测它是特殊角，可通过构造全等三角形转化线段关系：过O作OH⊥OF交BD于点H，利用同角的余角相等找到两组等角，结合AO=BO证明△AOF≌△BOH，得到OF=OH，即可推出△OHF是等腰直角三角形，进而求出∠BFO的度数。
【解析】
解：连接AO，过点O作$OH⊥OF$交BD于点H。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，O是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一，得$AO⊥BC$，$∠BAO=∠CAO=∠ABC=∠ACB=45^{\circ }$，
∴$△ABO$、$△ACO$都是等腰直角三角形，$\therefore AO=BO=CO$。
∵$AE⊥BD$，$\therefore ∠BFE=90^{\circ }$，
∴$∠OAE+∠AEB=90^{\circ }$，$∠OBH+∠AEB=90^{\circ }$，
根据同角的余角相等，得$∠OAE=∠OBH$。
∵$OH⊥OF$，$\therefore ∠HOF=90^{\circ }$，
∴$∠BOH+∠AOH=90^{\circ }$，
又
∵$∠AOB=90^{\circ }$，即$∠AOF+∠AOH=90^{\circ }$，
$\therefore ∠BOH=∠AOF$。
在$△AOF$和$△BOH$中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OBH \\AO=BO \\∠AOF=∠BOH\end{array} $
$\therefore △AOF≌△BOH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OH=OF$，
∴$△OHF$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠BFO=45^{\circ }$。
【答案】
$45^{\circ }$
【知识点】
1.等腰三角形三线合一；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是合理构造辅助线创造全等三角形的证明条件，需要熟练运用等腰三角形的性质以及同角的余角相等找相等的角，对几何辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
