登录
1. 如图27－2－16，一次函数的图象与反比例函数 $y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$ 的图象相交于点A，与y轴、x轴分别相交于点B，C，且$C(2,0)$.当$x＜-1$时，一次函数的值大于反比例函数的值；当$-1＜x＜0$时，一次函数的值小于反比例函数的值.
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知函数 $y_2=\dfrac{a}{x}(x＞0)$ 的图象与 $y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$ 的图象关于y轴对称，在 $y_2=\dfrac{a}{x}(x＞0)$ 的图象上取一点P(P点的横坐标大于2)，过P点作$PQ⊥ x$轴，垂足是点Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知函数 $y_2=\dfrac{a}{x}(x＞0)$ 的图象与 $y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$ 的图象关于y轴对称，在 $y_2=\dfrac{a}{x}(x＞0)$ 的图象上取一点P(P点的横坐标大于2)，过P点作$PQ⊥ x$轴，垂足是点Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.
答案
1. 解:(1)$\because$ 当 $x＜-1$ 时,一次函数的值大于反比例函数的值;当 $-1＜x＜0$ 时,一次函数的值小于反比例函数的值,$\therefore A$ 点的横坐标是 $-1$,$\therefore A(-1,3)$.设一次函数的解析式为 $y=kx+b$,$\because$ 直线 $y=kx+b$ 过 A,C 两点,则$\begin{cases}-k+b=3,\\2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2.\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-x+2$.(2)$\because y_2=\frac{a}{x}(x＞0)$ 的图象与 $y_1=-\frac{3}{x}(x＜0)$ 的图象关于 y 轴对称,$\therefore y_2=\frac{3}{x}(x＞0)$.$\because B$ 点是直线 $y=-x+2$ 与 y 轴的交点,$\therefore B(0,2)$.设 $P(n,\frac{3}{n}),n＞2$,$\therefore S_{四边形BCQP}=S_{梯形BOQP}-S_{△ BOC}=2$,$\therefore \frac{1}{2}(2+\frac{3}{n})n-\frac{1}{2}×2×2=2$,解得 $n=\frac{5}{2}$,$\therefore P(\frac{5}{2},\frac{6}{5})$.
解析
【分析】
(1) 首先根据一次函数和反比例函数值的大小变化规律，确定两个函数交点A的横坐标为-1，代入反比例函数解析式求出A点坐标，再结合已知的C点坐标，用待定系数法即可求解一次函数解析式。
(2) 先根据关于y轴对称的函数性质推导$y_2$的解析式，再求出一次函数与y轴交点B的坐标，将不规则四边形BCQP的面积转化为梯形BOQP的面积减去$△ BOC$的面积，列方程求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 由题意可知，一次函数与反比例函数$y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$的交点A的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y_1=-\dfrac{3}{x}$，得$y_1=3$，即$A(-1,3)$。
设一次函数的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,3)$、$C(2,0)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=3\\2k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$
因此一次函数的解析式为$y=-x+2$。
(2) 因为$y_2=\dfrac{a}{x}(x＞0)$的图象与$y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$的图象关于y轴对称，对于$y_1$上的点$(x,y)$，其关于y轴对称的点为$(-x,y)$，代入可得$y_2=\dfrac{3}{x}(x＞0)$。
将$x=0$代入一次函数$y=-x+2$，得$y=2$，即B点坐标为$(0,2)$。
设$P(n,\dfrac{3}{n})(n＞2)$，则$Q(n,0)$，根据题意：
$S_{四边形BCQP}=S_{梯形BOQP}-S_{△ BOC}=2$
其中$S_{梯形BOQP}=\dfrac{1}{2}×(2+\dfrac{3}{n})× n$，$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2=2$，代入得：
$\dfrac{1}{2}(2+\dfrac{3}{n})n - 2 = 2$
化简解得$n=\dfrac{5}{2}$，代入$y_2=\dfrac{3}{x}$得$y=\dfrac{6}{5}$，即$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{6}{5})$。
【答案】
(1) $y=-x+2$
(2) $(\dfrac{5}{2},\dfrac{6}{5})$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的对称性
3. 坐标与图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，从函数值大小关系确定交点坐标是解题的突破口，第二问利用割补法计算不规则图形面积，考查了数形结合和转化的数学思想，是函数类的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 首先根据一次函数和反比例函数值的大小变化规律，确定两个函数交点A的横坐标为-1，代入反比例函数解析式求出A点坐标，再结合已知的C点坐标，用待定系数法即可求解一次函数解析式。
(2) 先根据关于y轴对称的函数性质推导$y_2$的解析式，再求出一次函数与y轴交点B的坐标，将不规则四边形BCQP的面积转化为梯形BOQP的面积减去$△ BOC$的面积，列方程求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 由题意可知，一次函数与反比例函数$y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$的交点A的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y_1=-\dfrac{3}{x}$，得$y_1=3$，即$A(-1,3)$。
设一次函数的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,3)$、$C(2,0)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=3\\2k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$
因此一次函数的解析式为$y=-x+2$。
(2) 因为$y_2=\dfrac{a}{x}(x＞0)$的图象与$y_1=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$的图象关于y轴对称，对于$y_1$上的点$(x,y)$，其关于y轴对称的点为$(-x,y)$，代入可得$y_2=\dfrac{3}{x}(x＞0)$。
将$x=0$代入一次函数$y=-x+2$，得$y=2$，即B点坐标为$(0,2)$。
设$P(n,\dfrac{3}{n})(n＞2)$，则$Q(n,0)$，根据题意：
$S_{四边形BCQP}=S_{梯形BOQP}-S_{△ BOC}=2$
其中$S_{梯形BOQP}=\dfrac{1}{2}×(2+\dfrac{3}{n})× n$，$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2=2$，代入得：
$\dfrac{1}{2}(2+\dfrac{3}{n})n - 2 = 2$
化简解得$n=\dfrac{5}{2}$，代入$y_2=\dfrac{3}{x}$得$y=\dfrac{6}{5}$，即$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{6}{5})$。
【答案】
(1) $y=-x+2$
(2) $(\dfrac{5}{2},\dfrac{6}{5})$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的对称性
3. 坐标与图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，从函数值大小关系确定交点坐标是解题的突破口，第二问利用割补法计算不规则图形面积，考查了数形结合和转化的数学思想，是函数类的常考题型。
【难度系数】
0.65
2. 如图27－2－17，四边形OABC是面积为4的正方形，函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B.
(1)求k的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形$MABC'$、正方形$NA'BC$.设线段$MC'$，$NA'$分别与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点E，F，求线段EF所在直线对应的函数解析式.
图27－2－17
(1)求k的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形$MABC'$、正方形$NA'BC$.设线段$MC'$，$NA'$分别与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点E，F，求线段EF所在直线对应的函数解析式.
图27－2－17
答案
2. 解:(1)$\because$ 四边形 OABC 是面积为 4 的正方形,$\therefore OA=OC=2$.$\therefore B$ 点坐标为 $(2,2)$.$\therefore k=xy=2×2=4$.(2)$\because$ 正方形 $MABC'$、正方形 $NA'BC$ 由正方形 OABC 翻折所得,$\therefore ON=OM=2OA=4$.$\because$ 点 E,F 在函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 当 $x=4$ 时,$y=1$,即 $E(4,1)$.当 $y=4$ 时,$x=1$,即 $F(1,4)$.设线段 EF 所在直线对应的函数解析式为 $y=mx+n$,将 E,F 两点坐标分别代入上式,得$\begin{cases}4m+n=1,\\m+n=4.\end{cases}$$\therefore \begin{cases}m=-1,\\n=5.\end{cases}$$\therefore$ 线段 EF 所在直线对应的函数解析式为 $y=-x+5$.
解析
【分析】
(1) 先根据正方形的面积求出正方形的边长，得到点B的坐标，再将B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值；(2) 先根据翻折的性质得出OM、ON的长度，从而确定点E的横坐标和点F的纵坐标，代入反比例函数解析式求出E、F两点的坐标，最后利用待定系数法即可求出线段EF所在直线的函数解析式。
【解析】
(1) $\because$ 四边形OABC是面积为4的正方形，
$\therefore$ 正方形的边长$OA=OC=\sqrt{4}=2$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(2,2)$，
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$中，得$k=xy=2×2=4$。
(2) $\because$ 正方形$MABC'$、正方形$NA'BC$由正方形OABC翻折所得，
$\therefore OM=2OA=4$，$ON=2OC=4$，
$\because$ 点E在$y=\frac{4}{x}$的图象上，且E点横坐标为4，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y=\frac{4}{4}=1$，即$E(4,1)$，
$\because$ 点F在$y=\frac{4}{x}$的图象上，且F点纵坐标为4，
$\therefore$ 当$y=4$时，$x=\frac{4}{4}=1$，即$F(1,4)$，
设线段EF所在直线对应的函数解析式为$y=mx+n$，
将$E(4,1)$、$F(1,4)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}4m+n=1\\m+n=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$
$\therefore$ 线段EF所在直线对应的函数解析式为$y=-x+5$。
【答案】
(1) $k=4$；(2) $y=-x+5$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，翻折变换的性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数与几何变换结合的基础综合题，解题时先结合正方形性质求出反比例函数解析式，再利用翻折性质确定E、F两点坐标，最后用待定系数法求解一次函数解析式即可，考查的都是核心基础知识，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据正方形的面积求出正方形的边长，得到点B的坐标，再将B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值；(2) 先根据翻折的性质得出OM、ON的长度，从而确定点E的横坐标和点F的纵坐标，代入反比例函数解析式求出E、F两点的坐标，最后利用待定系数法即可求出线段EF所在直线的函数解析式。
【解析】
(1) $\because$ 四边形OABC是面积为4的正方形，
$\therefore$ 正方形的边长$OA=OC=\sqrt{4}=2$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(2,2)$，
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$中，得$k=xy=2×2=4$。
(2) $\because$ 正方形$MABC'$、正方形$NA'BC$由正方形OABC翻折所得，
$\therefore OM=2OA=4$，$ON=2OC=4$，
$\because$ 点E在$y=\frac{4}{x}$的图象上，且E点横坐标为4，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y=\frac{4}{4}=1$，即$E(4,1)$，
$\because$ 点F在$y=\frac{4}{x}$的图象上，且F点纵坐标为4，
$\therefore$ 当$y=4$时，$x=\frac{4}{4}=1$，即$F(1,4)$，
设线段EF所在直线对应的函数解析式为$y=mx+n$，
将$E(4,1)$、$F(1,4)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}4m+n=1\\m+n=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$
$\therefore$ 线段EF所在直线对应的函数解析式为$y=-x+5$。
【答案】
(1) $k=4$；(2) $y=-x+5$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，翻折变换的性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数与几何变换结合的基础综合题，解题时先结合正方形性质求出反比例函数解析式，再利用翻折性质确定E、F两点坐标，最后用待定系数法求解一次函数解析式即可，考查的都是核心基础知识，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
