取点D,使$AD=CD$,过点B作$BE// CD$,交AC的延长线于点E.
(1)求证:$AB=BE$.
(2)若CD平分$∠ ACB$,求$∠ ABE$的度数.

(第8题图)

(1)如图,
∵ AD=CD,
∴ ∠A=∠1.
又
∵ CD//BE,
∴ ∠1=∠E.
∴ ∠A=∠E.
∴ AB=BE.
(2)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,则∠A+∠ACB=90°.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠1=∠2.
又由(1)知,∠A=∠1,
∴ ∠A+∠1+∠2=3∠A=90°.
∴ ∠A=30°.
由(1)知,∠A=∠E=30°.
∴ ∠ABE=180°-2∠A=120°.

9. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE//BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

(第9题图)

(1)
∵ BD 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠CBD=∠EBD.
∵ DE//BC,
∴ ∠CBD=∠EDB.
∴ ∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.
理由:
∵ AB=AC,
∴ ∠C=∠ABC.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ AD=AE.
∴ CD=BE.
由(1),得∠EBD=∠EDB,
∴ BE=DE.
∴ CD=ED.

10. 如图,点D在等边三角形ABC的外部,连结AD、CD,且AD=CD,过点D作DE//BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断△AEF的形状,并说明理由.
(2)若∠ADC=140°,求∠ADE的度数.

(第10题图)

(1)△AEF 是等边三角形.
理由:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC=∠ACB=60°.
∵ DE//CB,
∴ ∠AFE=∠ACB=60°.
∴ ∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°.
∴ △AEF 是等边三角形.
(2)
∵ DA=DC,∠ADC=140°,
∴ ∠DAC=∠DCA=20°.
∵ ∠ACB=60°,
∴ ∠DCB=∠DCA+∠ACB=80°.
∵ DE//CB,
∴ ∠EDC=180°-∠DCB=100°.
∴ ∠ADE = ∠ADC-∠EDC =140°-100°=40°.

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD ⊥ BC$,垂足为点$G$,且$AD=AB$,$∠ EDF=60°$,其两边分别交边$AB$、$AC$于点$E$、$F$.
(1)求证:$△ ABD$是等边三角形.
(2)求证:$BE=AF$.

(第11题图)

(1)
∵ AB=AC,AD⊥BC,
∴ ∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵ ∠BAC=120°,
∴ ∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∵ AD=AB,
∴ △ABD 是等边三角形.
(2)
∵ △ABD 是等边三角形,
∴ ∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠ADB=∠EDF.
∴ ∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE.
∴ ∠BDE=∠ADF.
在△BDE 和△ADF 中,
$\begin{cases}∠DBE=∠DAF=60°,\\BD=AD,\\∠BDE=∠ADF,\end{cases}$
∴ △BDE≌△ADF(ASA).
∴ BE=AF.