12. 如图,将长方形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点$C'$处,$BC'$交AD于点E,$△ BED$是何种三角形?请说明理由.

（第12题图）

△BED 是等腰三角形.
理由:由折叠知,∠EBD=∠CBD.
∵ 四边形 ABCD 是长方形,
∴ AD//BC.
∴ ∠EDB=∠CBD.
∴ ∠EDB=∠EBD.
∴ △BED 是等腰三角形.

13. 在边长为10的等边三角形ABC中，Q是BC边上任意一点，P是AB边上一动点，以每秒2个单位长度的速度从点A向点B移动，设运动时间为t s.
(1) 如图1，若CQ = 6，当t为何值时，PQ//AC.
(2) 如图2，若点P从点A向点B移动，同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B经点C向点A移动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

(1)
∵ △ABC 是等边三角形,PQ//AC,
∴ ∠BQP = ∠C = 60°, ∠BPQ = ∠A = 60°,∠B=60°,AB=BC.
∴ ∠B=∠BQP=∠BPQ=60°.
∴ △BPQ 是等边三角形.
∴ BP=BQ.
∴ AP=CQ.
由题意可知 AP=2t,则 2t=6.
∴ t=3.
∴ 当 t 的值为 3 时,PQ//AC.
(2)①如图1,当点 Q 在边 BC 上时,此时△APQ 不可能为等边三角形.
②如图2,当点 Q 在边 AC 上时,若△APQ 为等边三角形,则 AP=AQ.
根据题意可知,AP=2t,BC+CQ=3t.
∴ AQ = BC+AC-(BC+CQ) =10+10-3t=20-3t,
即 20-3t=2t.
解得 t=4.
∴ 当 t=4 时,△APQ 为等边三角形.

14.如图,C为线段AE上的点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.
求证:(1)$AD=BE$.
(2)$PQ// AE$.

(第14题图)

(1)
∵ C 为线段 AE 上的点,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,
∴ ∠ACB = ∠DCE = ∠BCD = 60°, AC = BC,DC=EC.
∴ ∠ACD=∠BCE=120°.
在△ACD 和△BCE 中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACD=∠BCE,\\DC=EC,\end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE(SAS).
∴ AD=BE.
(2)由(1)知△ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD=∠CBE,即∠CAP=∠CBQ.
在△ACP 和△BCQ 中,
$\begin{cases}∠ACP=∠BCQ,\\AC=BC,\\∠CAP=∠CBQ,\end{cases}$
∴ △ACP≌△BCQ(ASA).
∴ CP=CQ.
∵ CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴ △CPQ 是等边三角形.
∴ ∠CPQ=∠ACB=60°.
∴ PQ//AE.