知识梳理
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
2.能够成为直角三角形三条边长的三个，称为勾股数.
常见的勾股数有:①3、4、5;②5、12、13;③7、24、25;④9、40、41;⑤11、60、61;⑥12、16、20;⑦13、84、85;⑧8、15、17;⑨12、35、37;等等.

1. $a^2+b^2=c^2$
2. 正整数

例1 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在$△ ABC$中，$∠ A=25°$，$∠ C=65°$.
(2)在$△ ABC$中，$AC=12$，$AB=20$，$BC=16$.
(3)一个三角形的三条边长$a$、$b$、$c$满足$a:b:c=3:4:5$.
答案:(1)在$△ ABC$中，$∠ A=25°$，$∠ B=65°$，
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B=90°$.
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)$\because 12^2+16^2=20^2$,
即$AC^2+BC^2=AB^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C$是直角.
(3)设$a=3x$,
则$b=4x$,$c=5x$.
$\because (3x)^2+(4x)^2=(5x)^2$,
即$a^2+b^2=c^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
方法点拨 本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理逆定理的知识解答.

解：
(1) 在$△ ABC$中，
$\because ∠ A=25°$，$∠ C=65°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-25°-65°=90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(2) 在$△ ABC$中，
$\because AC=12$，$BC=16$，$AB=20$，
$\therefore AC^2+BC^2=12^2+16^2=144+256=400$，
$AB^2=20^2=400$，
即$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C$是直角。
(3) 设$a=3x$（$x＞0$），则$b=4x$，$c=5x$，
$\because a^2+b^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2$，
$c^2=(5x)^2=25x^2$，
即$a^2+b^2=c^2$，
$\therefore$ 该三角形是直角三角形。

例2 下面四组数中是勾股数的一组是（）.
A. 6,7,8
B. $3^2,4^2,5^2$
C. 0.5,1.2,1.3
D. 12,16,20
答案:D
【解析】A. $6^2+7^2≠8^2$,不能构成勾股数,不符合题意;
B. $(3^2)^2+(4^2)^2≠(5^2)^2$,不能构成勾股数,不符合题意;
C. 0.5,1.2,1.3不是整数,不能构成勾股数,不符合题意;
D. $12^2+16^2=20^2$,能构成勾股数,符合题意.
故选 D.
方法点拨 本题考查勾股数,解答此题要深刻理解勾股数的定义.根据勾股数的定义:满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数,称为勾股数解答即可.

解：
根据勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数称为勾股数，逐一验证：
A. $6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$6^2+7^2≠8^2$，不能构成勾股数，不符合题意；
B. $3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，$(3^2)^2+(4^2)^2=9^2+16^2=337$，$(5^2)^2=25^2=625$，$(3^2)^2+(4^2)^2≠(5^2)^2$，不能构成勾股数，不符合题意；
C. 0.5，1.2，1.3都不是正整数，不满足勾股数的要求，不能构成勾股数，不符合题意；
D. $12^2+16^2=144+256=400$，$20^2=400$，$12^2+16^2=20^2$，且三个数都是正整数，能构成勾股数，符合题意。
故选D。