8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=5,AC=3,BC=4$. 将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$△ ADE$,点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$,则图中涂色部分的面积是 （ ）
A. $\dfrac{14}{3}π -6$
B. $\dfrac{25}{9}π$
C. $\dfrac{33}{8}π -3$
D. $\sqrt{33}+π$

B

9. (2023·启东二模)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,O,A,B,C,D是网格线的交点.若$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{AB}$都在以点O为圆心的圆上,则$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{AB}$的长度之比为______.

$\sqrt{2}:1$

10. (2024·西宁)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,$BC=12$,$D$是$BC$的中点,分别以点$B$,$C$为圆心,BD长为半径作弧,交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,则图中阴影部分的面积是$\underline{\hspace{5em}}$.

$11\pi$

11. (2024·江西)如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是弦 AC 延长线上一点，连接 BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°.
(1) 求证：BD 是半圆 O 的切线；
(2) 当 BC＝3 时，求$\overset{\frown}{AC}$的长.

第11题

（1）证明：$\because AB$是半圆$O$的直径，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}。$$\therefore\angle BAC+\angle ABC = 90^{\circ}。$$\because\angle D=\angle ABC，$$\therefore\angle D+\angle BAC = 90^{\circ}。$$\therefore\angle ABD = 90^{\circ}。$$\because AB$是半圆$O$的直径，$\therefore BD$是半圆$O$的切线。 （2）解：如图，连接$OC。$$\because\angle ABC = 60^{\circ}，$$\therefore\angle AOC = 2\angle ABC = 120^{\circ}。$$\because OC = OB，$$\therefore\triangle BOC$是等边三角形。$\therefore OC = BC = 3。$$\therefore\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{120\pi\times3}{180}=2\pi。$ ;

12. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠,使点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.

第12题

解：连接$OD。$根据折叠的性质，得$S_{\triangle BDC}=S_{\triangle BOC}，$$CD = OC，$$BD = BO，$$\angle DBC=\angle OBC。$$\therefore OB = OD = BD。$$\therefore\triangle OBD$是等边三角形。$\therefore\angle DBO = 60^{\circ}。$$\therefore\angle OBC=\frac{1}{2}\angle DBO = 30^{\circ}。$$\because\angle AOB = 90^{\circ}，$$\therefore BC = 2OC。$由勾股定理，得$OC^{2}+OB^{2}=BC^{2}。$$\therefore OC^{2}+6^{2}=4OC^{2}，$解得$OC = 2\sqrt{3}$（负值舍去）。$\therefore S_{\triangle BDC}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OB\cdot OC=\frac{1}{2}\times6\times2\sqrt{3}=6\sqrt{3}，$$S_{扇形OAB}=\frac{90\pi\times6^{2}}{360}=9\pi，$$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{90\pi\times6}{180}=3\pi。$$\therefore$整个阴影部分的周长为$AC + CD + BD+\overset{\frown}{AB}=AC + OC + BO+\overset{\frown}{AB}=OA + OB+\overset{\frown}{AB}=6 + 6+3\pi=12 + 3\pi，$整个阴影部分的面积为$S_{扇形OAB}-S_{\triangle BDC}-S_{\triangle BOC}=9\pi-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9\pi-12\sqrt{3}。$ ;

13. 如图，C 是半圆O上一点，过点C的半圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB.
（1）求证：$∠ ACO=∠ BCP$；
（2）若$∠ ABC=2∠ BCP$，求$∠ P$的度数；
（3）在（2）的条件下，若$AB=4$，求图中阴影部分的面积（结果保留$π$）.

（1）证明：$\because AB$是半圆$O$的直径，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}。$$\because CP$是半圆$O$的切线，$\therefore\angle OCP = 90^{\circ}。$$\therefore\angle ACB=\angle OCP。$$\therefore\angle ACB-\angle OCB=\angle OCP-\angle OCB。$$\therefore\angle ACO=\angle BCP。$ （2）解：由（1），知$\angle ACO=\angle BCP。$$\because\angle ABC = 2\angle BCP，$$\therefore\angle ABC = 2\angle ACO。$$\because OA = OC，$$\therefore\angle ACO=\angle BAC。$$\therefore\angle ABC = 2\angle BAC。$$\because\angle ABC+\angle BAC = 90^{\circ}，$$\therefore\angle BAC = 30^{\circ}，$$\angle ABC = 60^{\circ}。$$\therefore\angle ACO=\angle BCP = 30^{\circ}。$$\therefore\angle P=\angle ABC-\angle BCP = 60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}。$ （3）解：由（2），知$\angle BAC = 30^{\circ}。$$\because\angle ACB = 90^{\circ}，$$\therefore BC=\frac{1}{2}AB = 2，$则$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=2\sqrt{3}。$$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}=2\sqrt{3}。$$\therefore$阴影部分的面积是$\frac{1}{2}\pi\times(\frac{AB}{2})^{2}-2\sqrt{3}=2\pi-2\sqrt{3}。$