8.(2024·苏州期末)某地一旅游风景区,有关收费信息公告如下表:

某校八年级(1)班组织学生到该风景区开展研学活动,一共支付了2800元.该班参加这次研学活动的学生有多少人?

解：设该班参加这次研学活动的学生有$x$人， $∵30×80 = 2400<2800，$$∴x>30。$ 根据题意，得$x[80-(x - 30)] = 2800，$ 展开括号得$x(80 - x + 30)=2800，$ 即$x(110 - x)=2800，$ 进一步得到$110x - x^{2}=2800，$ 整理，得$x^{2}-110x + 2800 = 0，$ 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 1，$$b=-110，$$c = 2800$）， 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$ $∆=b^{2}-4ac=(-110)^{2}-4×1×2800=12100 - 11200 = 900，$ $x=\frac{110\pm\sqrt{900}}{2}=\frac{110\pm30}{2}，$ 解得$x_{1}=\frac{110 + 30}{2}=70，$$x_{2}=\frac{110 - 30}{2}=40。$ 当$x = 70$时，$80-(x - 30)=80 - 40 = 40<60，$不符合题意，舍去。 答：该班参加这次研学活动的学生有​$40$​人。

9.国庆假期期间，某地旅游业非常火爆.某宾馆客房部有60个房间供旅客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满.当每个房间每天的定价每提高10元，就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加$ x $元.
(1)每天入住________间;(用含$ x $的代数式表示)
(2)该宾馆每天的房间所收费用为________元;(用含$ x $的代数式表示)
(3)若该宾馆客房部希望每天的利润为14000元，则每个房间的定价应为多少元？(为了吸引游客，每个房间的定价不会高于500元)

$(60-\frac{x}{10})$ ; $(-\frac{1}{10}x^{2}+40x + 12000)$ ; 解：(3)根据题意，得$(200 + x)(60-\frac{x}{10})-20×(60-\frac{x}{10})=14000，$ 展开括号得$12000-20x+60x-\frac{x^{2}}{10}-1200 + 2x = 14000，$ 移项合并同类项得$-\frac{x^{2}}{10}+42x+12000 - 1200 - 14000 = 0，$ 两边同时乘以$-10$得$x^{2}-420x + 32000 = 0，$ 因式分解得$(x - 320)(x - 100)=0，$ 解得$x = 320$或$x = 100。$ 当$x = 320$时，$200 + x = 520$(不合题意，舍去)； 当$x = 100$时，$200 + x = 300。$ 答：每个房间的定价应为​$300$​元。

10.某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元/个，乙的成本为7元/个.甲现在的售价为10元/个，每天卖出30个；每个售价每提高1元，每天少卖出2个.乙现在的售价为14元/个，每天卖出6个；每个售价每降低1元，每天多卖出4个.假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变(和为36个)，且售价均为整数.
(1)当甲每个的售价提高$ x $元时，乙的售价为______元/个；(用含$ x $的代数式表示)
(2)当甲每个的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元?

$(14-\frac{x}{2})$ ; 解：(2)设甲每个的售价提高$x$元时，销售这两种商品当天的总利润是268元，根据题意，得 $(5 + x)(30 - 2x)+(6 + 2x)(14-\frac{x}{2}-7)=268，$ 展开括号得$150-10x+30x-2x^{2}+(6 + 2x)(7-\frac{x}{2})=268，$ $150 + 20x-2x^{2}+42 - 3x+14x - x^{2}=268，$ 移项合并同类项得$-3x^{2}+31x+192 - 268 = 0，$ 即$3x^{2}-31x + 76 = 0，$ 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 3，$$b=-31，$$c = 76$）， $∆=b^{2}-4ac=(-31)^{2}-4×3×76=961 - 912 = 49，$ $x=\frac{31\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{31\pm7}{6}，$ 解得$x_{1}=\frac{31 + 7}{6}=4，$$x_{2}=\frac{31 - 7}{6}=\frac{19}{3}。$ $∵$售价均为整数，$∴x = 4。$ 答：当甲每个的售价提高​$4$​元时，销售这两种商品当天的总利润是​$268$​元。