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6. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图 1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图 2：$△ ABC$ 为等边三角形，$AD$、$BE$、$CF$ 围成的$△ DEF$ 也是等边三角形.已知 $D$、$E$、$F$ 分别是 $BE$、$CF$、$AD$ 的中点，若 $△ ABC$ 的面积为 14，则 $△ DEF$ 的面积是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
B
7. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成.若$a=4,b=5$，则该矩形的面积为 （ ）
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20
答案
B
8. 如图，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$.已知$S_1+S_2+S_3=10$，则$S_2$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$\frac{10}{3}$
9. 如图,在$△ ABD$中,$AC ⊥ BD$于点$C$,$E$为$AC$上一点,连接$BE$、$DE$,$DE$的延长线交$AB$于点$F$,已知$DE=AB$,$∠ CAD=45°$.
(1)求证:$DF ⊥ AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$.求证:$a^2+b^2=c^2$.
(1)求证:$DF ⊥ AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$.求证:$a^2+b^2=c^2$.
答案
(1)证明：
因为$AC\perp BD，$$\angle CAD = 45^{\circ}，$
所以$AC = DC，$$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ACB$和$Rt\triangle DCE$中，$\begin{cases}AC = DC\\AB = DE\end{cases}，$ 所以$Rt\triangle ACB\cong Rt\triangle DCE$（HL），所以$\angle BAC=\angle EDC。$ 因为$\angle DCE = 90^{\circ}，$所以$\angle EDC+\angle CED = 90^{\circ}。$ 又因为$\angle CED=\angle AEF，$所以$\angle BAC+\angle AEF = 90^{\circ}，$
所以$\angle AFE = 90^{\circ}，$即$DF\perp AB。$ (2)证明：
由
(1)知，$Rt\triangle ACB\cong Rt\triangle DCE，$
所以$EC = BC = a，$$DC = AC = b，$$DE = AB = c。$ 因为$S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}，$ 所以$\frac{1}{2}BC\cdot EC+\frac{1}{2}DC\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot DF-\frac{1}{2}AB\cdot EF，$ 即$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c\cdot DF-\frac{1}{2}c\cdot EF=\frac{1}{2}c\cdot(DF - EF)=\frac{1}{2}c\cdot DE=\frac{1}{2}c^{2}，$ 所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}。$
因为$AC\perp BD，$$\angle CAD = 45^{\circ}，$
所以$AC = DC，$$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ACB$和$Rt\triangle DCE$中，$\begin{cases}AC = DC\\AB = DE\end{cases}，$ 所以$Rt\triangle ACB\cong Rt\triangle DCE$（HL），所以$\angle BAC=\angle EDC。$ 因为$\angle DCE = 90^{\circ}，$所以$\angle EDC+\angle CED = 90^{\circ}。$ 又因为$\angle CED=\angle AEF，$所以$\angle BAC+\angle AEF = 90^{\circ}，$
所以$\angle AFE = 90^{\circ}，$即$DF\perp AB。$ (2)证明：
由
(1)知，$Rt\triangle ACB\cong Rt\triangle DCE，$
所以$EC = BC = a，$$DC = AC = b，$$DE = AB = c。$ 因为$S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}，$ 所以$\frac{1}{2}BC\cdot EC+\frac{1}{2}DC\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot DF-\frac{1}{2}AB\cdot EF，$ 即$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c\cdot DF-\frac{1}{2}c\cdot EF=\frac{1}{2}c\cdot(DF - EF)=\frac{1}{2}c\cdot DE=\frac{1}{2}c^{2}，$ 所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}。$
10. 如图，$AB ⊥ BC$，$DC ⊥ BC$，垂足分别为$B$、$C$，$DE$交$BC$于点$E$，$AB=EC$，$AC=DE$．
（1）求证：$AC ⊥ DE$．
（2）连接$AD$，若$AB=a$，$BC=b$，$AC=c$，通过用不同方法计算四边形$ABCD$的面积，验证勾股定理．
（1）求证：$AC ⊥ DE$．
（2）连接$AD$，若$AB=a$，$BC=b$，$AC=c$，通过用不同方法计算四边形$ABCD$的面积，验证勾股定理．
答案
(1)证明：
设$DE$与$AC$的交点为$F。$
因为$AB\perp BC，$$DC\perp BC，$所以$\angle ABC=\angle ECD = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ECD$中，$\begin{cases}AC = ED\\AB = EC\end{cases}，$ 所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ECD$（HL），所以$\angle DEC=\angle CAB。$ 又因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$\angle CAB+\angle BCA = 90^{\circ}，$
所以$\angle DEC+\angle BCA = 90^{\circ}，$
所以$\angle EFC = 90^{\circ}，$即$AC\perp DE。$ (2)证明：
连接$AE$、$AD。$ 由
(1)，得$\triangle ABC\cong\triangle ECD，$
所以$EC = AB = a，$$DC = BC = b，$$DE = AC = c，$
$BE = b - a。$ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AB + DC)\cdot BC=\frac{1}{2}(a + b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}。$ 又因为$AC\perp DE，$
所以$S_{四边形ABCD}=S_{四边形AECD}+S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AC\cdot DE+\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}。$ 所以$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}，$
化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}。$
