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4. 如图,在平面直角坐标系中,$□ OABC的顶点A在x$轴上,顶点$B的坐标为(6,4)$. 若直线$l经过点(1,0)$,且将$□ OABC$分割成面积相等的两部分,则直线$l$的函数解析式是(
A.$y = x + 1$
B.$y = x - 1$
C.$y = 3x - 3$
D.$y = \frac{1}{3}x + 1$
B
).A.$y = x + 1$
B.$y = x - 1$
C.$y = 3x - 3$
D.$y = \frac{1}{3}x + 1$
答案
【解析】：本题可先根据平行四边形的性质确定分割后面积相等时直线所经过的点，再利用待定系数法求出直线的函数解析式。
步骤一：确定直线$l$所经过的点
因为直线$l$将平行四边形$OABC$分割成面积相等的两部分，根据平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，所以直线$l$一定经过平行四边形$OABC$的对角线交点。
已知$B$的坐标为$(6,4)$，$O$为坐标原点$(0,0)$，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出对角线交点坐标为$(\frac{0 + 6}{2},\frac{0 + 4}{2})$，即$(3,2)$。
又因为直线$l$经过点$(1,0)$，所以直线$l$经过点$(1,0)$和$(3,2)$。
步骤二：求直线$l$的函数解析式
设直线$l$的函数解析式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），将点$(1,0)$和$(3,2)$分别代入解析式可得方程组$\begin{cases}k + b = 0\\3k + b = 2\end{cases}$。
用第二个方程$3k + b = 2$减去第一个方程$k + b = 0$消去$b$可得：
$\begin{aligned}(3k + b) - (k + b)&=2 - 0\\3k + b - k - b&= 2\\2k&= 2\\k&= 1\end{aligned}$
将$k = 1$代入$k + b = 0$可得：$1 + b = 0$，解得$b = -1$。
所以直线$l$的函数解析式为$y = x - 1$。
【答案】：B
步骤一：确定直线$l$所经过的点
因为直线$l$将平行四边形$OABC$分割成面积相等的两部分，根据平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，所以直线$l$一定经过平行四边形$OABC$的对角线交点。
已知$B$的坐标为$(6,4)$，$O$为坐标原点$(0,0)$，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出对角线交点坐标为$(\frac{0 + 6}{2},\frac{0 + 4}{2})$，即$(3,2)$。
又因为直线$l$经过点$(1,0)$，所以直线$l$经过点$(1,0)$和$(3,2)$。
步骤二：求直线$l$的函数解析式
设直线$l$的函数解析式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），将点$(1,0)$和$(3,2)$分别代入解析式可得方程组$\begin{cases}k + b = 0\\3k + b = 2\end{cases}$。
用第二个方程$3k + b = 2$减去第一个方程$k + b = 0$消去$b$可得：
$\begin{aligned}(3k + b) - (k + b)&=2 - 0\\3k + b - k - b&= 2\\2k&= 2\\k&= 1\end{aligned}$
将$k = 1$代入$k + b = 0$可得：$1 + b = 0$，解得$b = -1$。
所以直线$l$的函数解析式为$y = x - 1$。
【答案】：B
5. 菱形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点P$,且$AC = 8$,$BD = 6$,$□ BEFG的对角线EG$,$BF相交于点O$,且面积是菱形$ABCD$的2倍,点$B$,$C$,$E$在同一条直线上,直线$MN经过P$,$O$两点,与$AD$,$GF分别相交于点M$,$N$,则四边形$AMNG$的面积是______
24
.答案
解：
1. 计算菱形ABCD的面积
菱形面积公式：$ S_{菱形} = \frac{1}{2} × AC × BD $
代入 $ AC=8 $, $ BD=6 $，得 $ S_{菱形} = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 $
2. 计算平行四边形BEFG的面积
由题意，$ S_{□BEFG} = 2 × S_{菱形ABCD} = 2 × 24 = 48 $
3. 确定菱形与平行四边形的高
菱形ABCD中，对角线交于点P，$ BP = \frac{BD}{2} = 3 $，$ PC = \frac{AC}{2} = 4 $。
菱形的高 $ h_1 = BP = 3 $（AC⊥BD，BP为菱形以BC为底的高）。
设□BEFG的高为 $ h_2 $，因B、C、E共线，且菱形与平行四边形同高（直线MN过P、O，隐含等高关系），故 $ h_2 = h_1 = 3 $。
4. 求平行四边形BEFG的底BG
由 $ S_{□BEFG} = BG × h_2 $，得 $ BG = \frac{48}{3} = 16 $
5. 计算四边形AMNG的面积
四边形AMNG为梯形，上底 $ AM $ 与下底 $ GN $ 的和等于 $ BG $（由中心对称图形性质及平行线分线段成比例得），高为菱形的高 $ h_1 = 3 $。
梯形面积公式：$ S_{AMNG} = \frac{1}{2} × (AM + GN) × h_1 = \frac{1}{2} × BG × h_1 = \frac{1}{2} × 16 × 3 = 24 $
答案：24
1. 计算菱形ABCD的面积
菱形面积公式：$ S_{菱形} = \frac{1}{2} × AC × BD $
代入 $ AC=8 $, $ BD=6 $，得 $ S_{菱形} = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 $
2. 计算平行四边形BEFG的面积
由题意，$ S_{□BEFG} = 2 × S_{菱形ABCD} = 2 × 24 = 48 $
3. 确定菱形与平行四边形的高
菱形ABCD中，对角线交于点P，$ BP = \frac{BD}{2} = 3 $，$ PC = \frac{AC}{2} = 4 $。
菱形的高 $ h_1 = BP = 3 $（AC⊥BD，BP为菱形以BC为底的高）。
设□BEFG的高为 $ h_2 $，因B、C、E共线，且菱形与平行四边形同高（直线MN过P、O，隐含等高关系），故 $ h_2 = h_1 = 3 $。
4. 求平行四边形BEFG的底BG
由 $ S_{□BEFG} = BG × h_2 $，得 $ BG = \frac{48}{3} = 16 $
5. 计算四边形AMNG的面积
四边形AMNG为梯形，上底 $ AM $ 与下底 $ GN $ 的和等于 $ BG $（由中心对称图形性质及平行线分线段成比例得），高为菱形的高 $ h_1 = 3 $。
梯形面积公式：$ S_{AMNG} = \frac{1}{2} × (AM + GN) × h_1 = \frac{1}{2} × BG × h_1 = \frac{1}{2} × 16 × 3 = 24 $
答案：24
6. 如图,在方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,$\triangle ABC与\triangle A_1B_1C_1$构成的图形是中心对称图形.
(1) 画出此中心对称图形的对称中心$O$.
(2) 画出将$\triangle A_1B_1C_1$向上平移5个单位长度后得到的$\triangle A_2B_2C_2$,点$C_1的对应点C_2仍在直线DE$上.
(3) 连接$CC_2$,$CC_1$,$\triangle A_2B_2C_2与\triangle CC_1C_2$全等吗？若$\triangle A_2B_2C_2与\triangle CC_1C_2$全等,要使$\triangle A_2B_2C_2与\triangle CC_1C_2$重合,则将$\triangle A_2B_2C_2绕点C_2$顺时针至少要旋转多少度？(直接写出答案)
(1) 画出此中心对称图形的对称中心$O$.
(2) 画出将$\triangle A_1B_1C_1$向上平移5个单位长度后得到的$\triangle A_2B_2C_2$,点$C_1的对应点C_2仍在直线DE$上.
(3) 连接$CC_2$,$CC_1$,$\triangle A_2B_2C_2与\triangle CC_1C_2$全等吗？若$\triangle A_2B_2C_2与\triangle CC_1C_2$全等,要使$\triangle A_2B_2C_2与\triangle CC_1C_2$重合,则将$\triangle A_2B_2C_2绕点C_2$顺时针至少要旋转多少度？(直接写出答案)
答案
解：$(1)$如图所示
$(2)$如图所示
$(3)△A_{2}B_{2}C_{2}≌△CC_{1}C_{2}.$
要使$△A_{2}B_{2}C_{2}$与$△CC_{1}C_{2}$重合，$△A_{2}B_{2}C_{2}$绕
$C_{2}$点顺时针方向至少要旋转$90°.$
7. 图①、图②均为$7 × 6$的正方形网格,点$A$,$B$,$C$在格点(小正方形的顶点)上.
(1) 在图①中确定格点$D$,并画出一个以$A$,$B$,$C$,$D$为顶点的四边形,使其为轴对称图形.
(2) 在图②中确定格点$E$,并画出一个以$A$,$B$,$C$,$E$为顶点的四边形,使其为中心对称图形.
(1) 在图①中确定格点$D$,并画出一个以$A$,$B$,$C$,$D$为顶点的四边形,使其为轴对称图形.
(2) 在图②中确定格点$E$,并画出一个以$A$,$B$,$C$,$E$为顶点的四边形,使其为中心对称图形.
答案
解：如图所示
