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9. 如图,$\angle DAE = \angle ADE = 15^{\circ}$,$DE// AB$,$DF\perp AB$,若$AE = 8$,则$DF$等于(
A.10
B.7
C.5
D.4
]
D
)A.10
B.7
C.5
D.4
]
答案
D
解析
在△ADE中，∠DAE=∠ADE=15°，∴DE=AE=8（等角对等边），∠AED=180°-15°-15°=150°.
∵DE//AB，∴∠BAD=∠ADE=15°（两直线平行，内错角相等）.
∵∠DAE=15°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAE=30°.
过E作EG⊥AB于G，∵DE//AB，∴DF=EG（平行线间距离相等）.
在Rt△AEG中，∠EAG=30°，AE=8，∴EG=AE/2=4（30°角所对直角边等于斜边一半）.
∴DF=4.
∵DE//AB，∴∠BAD=∠ADE=15°（两直线平行，内错角相等）.
∵∠DAE=15°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAE=30°.
过E作EG⊥AB于G，∵DE//AB，∴DF=EG（平行线间距离相等）.
在Rt△AEG中，∠EAG=30°，AE=8，∴EG=AE/2=4（30°角所对直角边等于斜边一半）.
∴DF=4.
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 45^{\circ}$,$\angle B = 120^{\circ}$,$BC的垂直平分线DE交BC于点D$,交$AC于点E$,$AB的垂直平分线FH交BA于点F$,交$AC于点H$,$CE = 4$,则$AH$的长度为(
A.4
B.6
C.7
D.8
]
D
)A.4
B.6
C.7
D.8
]
答案
D
解析
连接BE、BH。
∵DE垂直平分BC，∴EB=EC=4（垂直平分线性质），∠EBC=∠C=45°。
∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=120°-45°=75°。
∵FH垂直平分AB，∴AH=BH（垂直平分线性质），设AH=BH=x，∠HBA=∠A=15°（∠A=180°-120°-45°=15°）。
∴∠EBH=∠ABE-∠HBA=75°-15°=60°。
在△BEC中，∠BEC=180°-45°-45°=90°，∴∠AEB=180°-90°=90°。
在Rt△BEH中，∠EBH=60°，∠BEH=90°，∴∠BHE=30°，EB=4（30°角对直角边），∴BH=2EB=8（直角三角形中30°角对边是斜边一半）。
∵AH=BH，∴AH=8。
∵DE垂直平分BC，∴EB=EC=4（垂直平分线性质），∠EBC=∠C=45°。
∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=120°-45°=75°。
∵FH垂直平分AB，∴AH=BH（垂直平分线性质），设AH=BH=x，∠HBA=∠A=15°（∠A=180°-120°-45°=15°）。
∴∠EBH=∠ABE-∠HBA=75°-15°=60°。
在△BEC中，∠BEC=180°-45°-45°=90°，∴∠AEB=180°-90°=90°。
在Rt△BEH中，∠EBH=60°，∠BEH=90°，∴∠BHE=30°，EB=4（30°角对直角边），∴BH=2EB=8（直角三角形中30°角对边是斜边一半）。
∵AH=BH，∴AH=8。
11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 120^{\circ}$,点$D为线段BC$上一点,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,若$BC = 8$,则$DE + DF$的值为______.
]
]
4
答案
4
解析
在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF均为直角三角形。
在Rt△BDE中，∠B=30°，∴DE=BD·sin30°=BD/2；
在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD·sin30°=CD/2。
∴DE+DF=BD/2 + CD/2=(BD+CD)/2=BC/2。
∵BC=8，∴DE+DF=8/2=4。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF均为直角三角形。
在Rt△BDE中，∠B=30°，∴DE=BD·sin30°=BD/2；
在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD·sin30°=CD/2。
∴DE+DF=BD/2 + CD/2=(BD+CD)/2=BC/2。
∵BC=8，∴DE+DF=8/2=4。
12. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC\lt AC$.点$D$,$E分别在边AB$,$BC$上,连接$DE$,将$\triangle BDE沿DE$折叠,点$B的对应点为点B'$,若点$B'刚好落在边AC$上,$\angle CB'E = 30^{\circ}$,$CE = 3$,则$BC$的长为
]
9
.]
答案
9
解析
设$BC=x$，因为$E$在$BC$上，$CE=3$，所以$BE=BC - CE=x - 3$。
由折叠性质得$B'E=BE=x - 3$。
在$Rt\triangle B'CE$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle CB'E=30^{\circ}$，根据“30°角所对直角边是斜边一半”，$CE=\frac{1}{2}B'E$。
因为$CE=3$，所以$B'E=2CE=6$，即$x - 3=6$，解得$x=9$。
由折叠性质得$B'E=BE=x - 3$。
在$Rt\triangle B'CE$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle CB'E=30^{\circ}$，根据“30°角所对直角边是斜边一半”，$CE=\frac{1}{2}B'E$。
因为$CE=3$，所以$B'E=2CE=6$，即$x - 3=6$，解得$x=9$。
13. 已知在等边三角形$ABC$的三边上,分别取点$D$,$E$,$F$.
(1)如图1,若$AD = BE = CF$,求证$\triangle DEB\cong\triangle EFC$；
(2)如图2,若$ED\perp AB$,$DF\perp AC$,$FE\perp BC$,且$AB = 15$,求$CE$的长.
]
(1)如图1,若$AD = BE = CF$,求证$\triangle DEB\cong\triangle EFC$；
(2)如图2,若$ED\perp AB$,$DF\perp AC$,$FE\perp BC$,且$AB = 15$,求$CE$的长.
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答案
(1)证明见上；(2)5．
解析
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°．
∵AD=BE=CF，∴AB-AD=BC-BE，即DB=EC．
在△DEB和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=EC\\ ∠B=∠C\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△EFC(SAS)．
(2)设CE=x，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=15，∠B=∠C=∠A=60°，则BE=BC-CE=15-x．
在Rt△BED中，∠EDB=90°，∠B=60°，∴∠BED=30°，∴BD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{15-x}{2}$．
∴AD=AB-BD=15-$\frac{15-x}{2}$=$\frac{15+x}{2}$．
在Rt△AFD中，∠DFA=90°，∠A=60°，∴∠ADF=30°，∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{15+x}{4}$．
∴FC=AC-AF=15-$\frac{15+x}{4}$=$\frac{45-x}{4}$．
在Rt△FEC中，∠FEC=90°，∠C=60°，∴∠EFC=30°，∴FC=2CE=2x．
∴$\frac{45-x}{4}$=2x，解得x=5．
即CE=5．
∵AD=BE=CF，∴AB-AD=BC-BE，即DB=EC．
在△DEB和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=EC\\ ∠B=∠C\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△EFC(SAS)．
(2)设CE=x，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=15，∠B=∠C=∠A=60°，则BE=BC-CE=15-x．
在Rt△BED中，∠EDB=90°，∠B=60°，∴∠BED=30°，∴BD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{15-x}{2}$．
∴AD=AB-BD=15-$\frac{15-x}{2}$=$\frac{15+x}{2}$．
在Rt△AFD中，∠DFA=90°，∠A=60°，∴∠ADF=30°，∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{15+x}{4}$．
∴FC=AC-AF=15-$\frac{15+x}{4}$=$\frac{45-x}{4}$．
在Rt△FEC中，∠FEC=90°，∠C=60°，∴∠EFC=30°，∴FC=2CE=2x．
∴$\frac{45-x}{4}$=2x，解得x=5．
即CE=5．
