登录
1. 如图,直线 $ l $ 是一条河,$ P $,$ Q $ 是两个村庄,欲在 $ l $ 上的某处修建一个水泵站,向 $ P $,$ Q $ 两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是(
B
)答案
B
解析
根据最短路径问题中“两点之间，线段最短”及“轴对称的性质”，作点 P 关于直线 l 的对称点 P'，连接 P'Q 交直线 l 于点 M，则 PM + QM 最短。观察各选项，选项 B 符合此作图方法。
2. 如图,直线 $ l $ 外有不重合的两点 $ A $,$ B $,在直线 $ l $ 上求一点 $ C $,使得 $ AC + BC $ 的长度最短,作法为：①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；②连接 $ AB' $ 交直线 $ l $ 于点 $ C $,则点 $ C $ 即为所求. 在解决这个问题时,没有用到的知识点是(
A.线段的垂直平分线性质
B.两点之间线段最短
C.三角形两边之和大于第三边
D.角平分线的性质
D
)A.线段的垂直平分线性质
B.两点之间线段最短
C.三角形两边之和大于第三边
D.角平分线的性质
答案
D
解析
本题可根据所给解题方法，分析每一步所运用的知识点，进而判断没有用到的知识点。
分析选项A：
因为点$B$与点$B'$关于直线$l$对称，所以直线$l$是线段$BB'$的垂直平分线。根据线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$CB = CB'$，该知识点在解题过程中用到了。
分析选项B：
由$CB = CB'$，那么$AC + BC = AC + CB'$，而$A$、$C$、$B'$三点共线时，$AC + CB'$的值最小，此时$AC + BC$的长度最短，这是根据“两点之间线段最短”得到的，该知识点在解题过程中用到了。
分析选项C：
“三角形两边之和大于第三边”，在判断$A$、$C$、$B'$三点共线时$AC + CB'$最短，利用了该性质，即当$A$、$C$、$B'$不共线时，$AC + CB'\gt AB'$，当$A$、$C$、$B'$共线时，$AC + CB' = AB'$，所以该知识点在解题过程中用到了。
分析选项D：
在整个解题过程中，并没有涉及到角平分线的相关性质，所以该知识点没有用到。
分析选项A：
因为点$B$与点$B'$关于直线$l$对称，所以直线$l$是线段$BB'$的垂直平分线。根据线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$CB = CB'$，该知识点在解题过程中用到了。
分析选项B：
由$CB = CB'$，那么$AC + BC = AC + CB'$，而$A$、$C$、$B'$三点共线时，$AC + CB'$的值最小，此时$AC + BC$的长度最短，这是根据“两点之间线段最短”得到的，该知识点在解题过程中用到了。
分析选项C：
“三角形两边之和大于第三边”，在判断$A$、$C$、$B'$三点共线时$AC + CB'$最短，利用了该性质，即当$A$、$C$、$B'$不共线时，$AC + CB'\gt AB'$，当$A$、$C$、$B'$共线时，$AC + CB' = AB'$，所以该知识点在解题过程中用到了。
分析选项D：
在整个解题过程中，并没有涉及到角平分线的相关性质，所以该知识点没有用到。
3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 3 $,$ AC = 4 $,$ BC = 5 $,$ EF $ 是 $ BC $ 的垂直平分线,$ P $ 是直线 $ EF $ 上的任意一点,则 $ PA + PB $ 的最小值是(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
已知$EF$是$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$PB = PC$。
则$PA + PB=PA + PC$。
根据两点之间线段最短可知，当$A$，$P$，$C$在同一条直线上时，$PA + PC$的值最小，即$PA + PB$的最小值为$AC$的长度。
因为$AC = 4$，所以$PA + PB$的最小值是$4$。
则$PA + PB=PA + PC$。
根据两点之间线段最短可知，当$A$，$P$，$C$在同一条直线上时，$PA + PC$的值最小，即$PA + PB$的最小值为$AC$的长度。
因为$AC = 4$，所以$PA + PB$的最小值是$4$。
4. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 70^\circ $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ P $ 为线段 $ BD $ 上一动点,$ Q $ 为边 $ AB $ 上一动点,当 $ AP + PQ $ 的值最小时,$ \angle APB $ 的度数是(
A.$ 120^\circ $
B.$ 125^\circ $
C.$ 130^\circ $
D.$ 135^\circ $
B
)A.$ 120^\circ $
B.$ 125^\circ $
C.$ 130^\circ $
D.$ 135^\circ $
答案
B
解析
作点A关于BD的对称点A'，由BD平分∠ABC（∠ABC=70°），得∠ABD=∠CBD=35°，对称后A'在BC上，且AP=A'P。要使AP+PQ最小，即A'P+PQ最小，需过A'作A'Q⊥AB于Q，交BD于P（垂线段最短）。在△A'QB中，∠A'QB=90°，∠ABQ=70°，则∠BA'Q=20°。由对称知BA=BA'，△ABA'为等腰三角形，∠BA'A=(180°-70°)/2=55°，故∠PA'A=∠BA'A - ∠BA'Q=35°。在Rt△AOP（O为AA'与BD交点）中，∠APO=90°-35°=55°，则∠APB=180°-55°=125°。
5. 如图,$ A $,$ B $ 两地分别在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 $ MN $,图中使从 $ A $ 到 $ B $ 的路径 $ AMNB $ 最短的是(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)(
(BM \perp 直线 a)
(AM 与 BN 不平行)
(AN \perp 直线 b)
(AM // BN)
AM // BN
)(BM \perp 直线 a)
(AM 与 BN 不平行)
(AN \perp 直线 b)
(AM // BN)
答案
要使路径$AMNB$最短，因桥$MN$垂直于河岸（长度固定为河宽），需$AM + NB$最短。将点$A$沿垂直河岸方向平移河宽至$A'$，则$AM = A'N$，$AM + NB = A'N + NB$。由“两点之间线段最短”，连接$A'B$交河岸于$N$，过$N$作垂线得$M$。此时$AM // BN$（平移性质）。
(AM // BN)
(AM // BN)
