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5.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余均相同.从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球.由此估计盒子中的白球有 （
A.10个
B.15个
C.18个
D.30个
B
）A.10个
B.15个
C.18个
D.30个
答案
5.B
解析
【分析】
这是利用频率估计概率的典型问题，解题思路如下：首先，大量重复试验下，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可以用试验得到的摸到白球的频率近似等于盒子中摸到白球的概率；其次，设白球个数为未知数，根据“摸到白球的概率=白球个数÷总球数”列出方程，求解未知数即可得到白球数量。也可以先通过黑球的频率算出总球数，再减去黑球数量得到白球数。
【解析】
解：设盒子中白球有$ x $个，总球数为$ (10+x) $个。
大量重复试验中，摸到白球的频率近似等于其概率，可列方程：
$ \frac{x}{10+x} = \frac{240}{400} $
化简得：$ \frac{x}{10+x} = \frac{3}{5} $
交叉相乘得：$ 5x = 3(10+x) $
展开整理得：$ 2x = 30 $
解得：$ x = 15 $
经检验，$ x=15 $是原方程的解，且符合实际意义，因此盒子中白球有15个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率计算公式，分式方程应用
【点评】
本题是概率实际应用的基础题，解题核心是理解“大量重复试验下频率可近似估计概率”的原理，结合概率公式建立等量关系求解即可，是概率章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
这是利用频率估计概率的典型问题，解题思路如下：首先，大量重复试验下，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可以用试验得到的摸到白球的频率近似等于盒子中摸到白球的概率；其次，设白球个数为未知数，根据“摸到白球的概率=白球个数÷总球数”列出方程，求解未知数即可得到白球数量。也可以先通过黑球的频率算出总球数，再减去黑球数量得到白球数。
【解析】
解：设盒子中白球有$ x $个，总球数为$ (10+x) $个。
大量重复试验中，摸到白球的频率近似等于其概率，可列方程：
$ \frac{x}{10+x} = \frac{240}{400} $
化简得：$ \frac{x}{10+x} = \frac{3}{5} $
交叉相乘得：$ 5x = 3(10+x) $
展开整理得：$ 2x = 30 $
解得：$ x = 15 $
经检验，$ x=15 $是原方程的解，且符合实际意义，因此盒子中白球有15个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率计算公式，分式方程应用
【点评】
本题是概率实际应用的基础题，解题核心是理解“大量重复试验下频率可近似估计概率”的原理，结合概率公式建立等量关系求解即可，是概率章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
6.(2025·宿迁泗洪县模拟)为了解泗洪湿地公园大白鹭的情况,从中捕捉50只大白鹭,戴上识别卡并放回,经过一段时间后发现,捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右,由此估计该湿地公园有
500
只大白鹭.答案
6.500
解析
【分析】
本题是用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：将50只带标记的大白鹭放回种群后，当重捕试验次数足够多时，带标记个体出现的频率会稳定在对应概率附近，本题中频率稳定在0.1，说明带标记的大白鹭数量约占总数量的10%。已知带标记的大白鹭共50只，用标记总数除以其占总数量的比例，即可估算出种群总数量。
【解析】
设该湿地公园共有$ x $只大白鹭。
根据“标记个体数÷总个体数=标记个体的频率”，可得：
$ \frac{50}{x}=0.1 $
解得：$ x = 50 ÷ 0.1 = 500 $
经检验，$ x=500 $符合实际意义。
【答案】
500
【知识点】
用频率估计概率、样本估计总体
【点评】
本题结合生态统计的实际场景，考查概率统计的基础应用，解题核心是理解大量重复试验下的频率可近似为对应概率，梳理清楚数量关系即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：将50只带标记的大白鹭放回种群后，当重捕试验次数足够多时，带标记个体出现的频率会稳定在对应概率附近，本题中频率稳定在0.1，说明带标记的大白鹭数量约占总数量的10%。已知带标记的大白鹭共50只，用标记总数除以其占总数量的比例，即可估算出种群总数量。
【解析】
设该湿地公园共有$ x $只大白鹭。
根据“标记个体数÷总个体数=标记个体的频率”，可得：
$ \frac{50}{x}=0.1 $
解得：$ x = 50 ÷ 0.1 = 500 $
经检验，$ x=500 $符合实际意义。
【答案】
500
【知识点】
用频率估计概率、样本估计总体
【点评】
本题结合生态统计的实际场景，考查概率统计的基础应用，解题核心是理解大量重复试验下的频率可近似为对应概率，梳理清楚数量关系即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7.(2025·宿迁沭阳县二模)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1，$\sqrt{3}$，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0,1,2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为(x,y).
(1)请用列表法或画树状图法求出点P所有可能的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，$\odot O$的圆心在原点，半径为2，求点P在$\odot O$内的概率.
(1)请用列表法或画树状图法求出点P所有可能的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，$\odot O$的圆心在原点，半径为2，求点P在$\odot O$内的概率.
答案
7.解:(1)如答图,点P所有可能的坐标有6个.
(2)由图可知共有6种等可能的结果,其中“点P在⊙O内”的结果有3种,
故P(点P在⊙O内)=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 本题为两步随机试验，第一步从甲袋取x有2种等可能结果，第二步从乙袋取y有3种等可能结果，可通过树状图或列表法依次组合x、y的取值，即可得到点P的所有可能坐标。(2) 首先明确点在圆内的判定条件：以原点为圆心、半径为2的圆内的点，到原点的距离小于2，即$x^2+y^2＜4$，再逐一验证所有点P的坐标是否符合该条件，统计符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
(1) 采用树状图列举所有结果：
第一步从甲袋取x，取值为1、$\sqrt{3}$，共2种等可能情况；
当x=1时，从乙袋取y的取值为0、1、2，对应坐标为$(1,0),(1,1),(1,2)$；
当x=$\sqrt{3}$时，从乙袋取y的取值为0、1、2，对应坐标为$(\sqrt{3},0),(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},2)$；
综上，点P共有6种等可能的坐标。
(2) 已知⊙O半径为2，若点P在⊙O内，则点到原点的距离小于2，即$\sqrt{x^2+y^2}＜2$，整理得$x^2+y^2＜4$。
逐个验证6个坐标：
$(1,0)$：$1^2+0^2=1＜4$，符合条件；
$(1,1)$：$1^2+1^2=2＜4$，符合条件；
$(1,2)$：$1^2+2^2=5＞4$，不符合条件；
$(\sqrt{3},0)$：$(\sqrt{3})^2+0^2=3＜4$，符合条件；
$(\sqrt{3},1)$：$(\sqrt{3})^2+1^2=4$，等于半径，点在圆上，不属于圆内，不符合条件；
$(\sqrt{3},2)$：$(\sqrt{3})^2+2^2=7＞4$，不符合条件。
符合要求的结果共3种，因此概率为：
$P(\mathrm{点P在}⊙O\mathrm{内})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)如答图,点P所有可能的坐标有6个.
(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法与树状图法；点与圆的位置关系；概率公式
【点评】
本题是概率与几何结合的典型基础题，将两步等可能事件的概率计算和点与圆的位置关系判定相结合，解题关键是准确列举所有等可能结果，再结合几何规则筛选符合要求的结果，考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为两步随机试验，第一步从甲袋取x有2种等可能结果，第二步从乙袋取y有3种等可能结果，可通过树状图或列表法依次组合x、y的取值，即可得到点P的所有可能坐标。(2) 首先明确点在圆内的判定条件：以原点为圆心、半径为2的圆内的点，到原点的距离小于2，即$x^2+y^2＜4$，再逐一验证所有点P的坐标是否符合该条件，统计符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
(1) 采用树状图列举所有结果：
第一步从甲袋取x，取值为1、$\sqrt{3}$，共2种等可能情况；
当x=1时，从乙袋取y的取值为0、1、2，对应坐标为$(1,0),(1,1),(1,2)$；
当x=$\sqrt{3}$时，从乙袋取y的取值为0、1、2，对应坐标为$(\sqrt{3},0),(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},2)$；
综上，点P共有6种等可能的坐标。
(2) 已知⊙O半径为2，若点P在⊙O内，则点到原点的距离小于2，即$\sqrt{x^2+y^2}＜2$，整理得$x^2+y^2＜4$。
逐个验证6个坐标：
$(1,0)$：$1^2+0^2=1＜4$，符合条件；
$(1,1)$：$1^2+1^2=2＜4$，符合条件；
$(1,2)$：$1^2+2^2=5＞4$，不符合条件；
$(\sqrt{3},0)$：$(\sqrt{3})^2+0^2=3＜4$，符合条件；
$(\sqrt{3},1)$：$(\sqrt{3})^2+1^2=4$，等于半径，点在圆上，不属于圆内，不符合条件；
$(\sqrt{3},2)$：$(\sqrt{3})^2+2^2=7＞4$，不符合条件。
符合要求的结果共3种，因此概率为：
$P(\mathrm{点P在}⊙O\mathrm{内})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)如答图,点P所有可能的坐标有6个.
(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法与树状图法；点与圆的位置关系；概率公式
【点评】
本题是概率与几何结合的典型基础题，将两步等可能事件的概率计算和点与圆的位置关系判定相结合，解题关键是准确列举所有等可能结果，再结合几何规则筛选符合要求的结果，考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 某批彩色球的质量检验结果如下：
(1)画出这批彩色球“优等品”频率的折线统计图.
(2)从这批彩色球中选出5个黄球，13个黑球，22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中.
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，问至少取出了多少个黑球？
(1)画出这批彩色球“优等品”频率的折线统计图.
(2)从这批彩色球中选出5个黄球，13个黑球，22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中.
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，问至少取出了多少个黑球？
答案
8.解:(1)如答图.
(2)①
∵袋中一共有球5+13+22=40(个),其中有5个黄球,
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$.
②设从袋中取出了x个黑球,
由题意,得$\frac{5+x}{40}≥\frac{1}{3}$,
解得$x≥8\frac{1}{3}$,故至少取出了9个黑球.
解析
【分析】
本题分为统计和概率两部分内容：
1. 绘制折线统计图：先确定横轴为抽取球数、纵轴为优等品频率，根据表格中的五组数据依次描点，再用线段顺次连接各点即可完成作图。
2. 概率与不等式应用部分：
① 求摸出黄球的概率，直接利用等可能事件概率公式：概率=所求情况数÷总情况数，先计算袋中球的总数量，再用黄球数量除以总数量即可。
② 设取出黑球的数量为x个，可知放入黄球的数量也为x个，此时黄球总数为(5+x)个，总球数不变，根据“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”列出不等式，解不等式后结合x为正整数的实际意义，取最小整数解即可。
【解析】
(1) 绘制折线统计图：以抽取球数为横轴，优等品频率为纵轴，依次描出点(200,0.940)、(500,0.942)、(1000,0.946)、(1500,0.951)、(2000,0.949)，再用线段顺次连接各点，得到折线统计图如答图。
(2) ① 先计算袋中球的总数量：$5+13+22=40$（个），其中黄球有5个，根据等可能事件概率公式，摸出一个球是黄球的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
② 设从袋中取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时袋中黄球的数量为$(5+x)$个，总球数仍为40个。
根据题意可列不等式：$\frac{5+x}{40}≥\frac{1}{3}$
解不等式：
两边同乘40得：$5+x≥\frac{40}{3}$
移项得：$x≥\frac{40}{3}-5=\frac{25}{3}\approx8.33$
因为$x$为正整数，所以$x$的最小正整数值为9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1) 如答图。
(2) ① $\frac{1}{8}$；② 至少取出了9个黑球。
【知识点】
频率折线统计图绘制，概率公式，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活实际，综合考察了统计图表绘制、简单概率计算和不等式的实际应用，解题时需注意第二问②中取出黑球和放入黄球数量相同，总球数不变，且最终结果要符合实际意义取正整数，避免因忽略取整要求出错。
【难度系数】
0.7
本题分为统计和概率两部分内容：
1. 绘制折线统计图：先确定横轴为抽取球数、纵轴为优等品频率，根据表格中的五组数据依次描点，再用线段顺次连接各点即可完成作图。
2. 概率与不等式应用部分：
① 求摸出黄球的概率，直接利用等可能事件概率公式：概率=所求情况数÷总情况数，先计算袋中球的总数量，再用黄球数量除以总数量即可。
② 设取出黑球的数量为x个，可知放入黄球的数量也为x个，此时黄球总数为(5+x)个，总球数不变，根据“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”列出不等式，解不等式后结合x为正整数的实际意义，取最小整数解即可。
【解析】
(1) 绘制折线统计图：以抽取球数为横轴，优等品频率为纵轴，依次描出点(200,0.940)、(500,0.942)、(1000,0.946)、(1500,0.951)、(2000,0.949)，再用线段顺次连接各点，得到折线统计图如答图。
(2) ① 先计算袋中球的总数量：$5+13+22=40$（个），其中黄球有5个，根据等可能事件概率公式，摸出一个球是黄球的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
② 设从袋中取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时袋中黄球的数量为$(5+x)$个，总球数仍为40个。
根据题意可列不等式：$\frac{5+x}{40}≥\frac{1}{3}$
解不等式：
两边同乘40得：$5+x≥\frac{40}{3}$
移项得：$x≥\frac{40}{3}-5=\frac{25}{3}\approx8.33$
因为$x$为正整数，所以$x$的最小正整数值为9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1) 如答图。
(2) ① $\frac{1}{8}$；② 至少取出了9个黑球。
【知识点】
频率折线统计图绘制，概率公式，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活实际，综合考察了统计图表绘制、简单概率计算和不等式的实际应用，解题时需注意第二问②中取出黑球和放入黄球数量相同，总球数不变，且最终结果要符合实际意义取正整数，避免因忽略取整要求出错。
【难度系数】
0.7
