1.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为10％.他明天将参加一场比赛，下列说法正确的是 （）

A.小亮明天的进球率为10％
B.小亮明天每射球10次必进球1次
C.小亮明天有可能进球
D.小亮明天肯定进球

1.C

【分析】
解题时首先要明确概率的核心含义：概率是对大量重复试验中事件发生频率的稳定值的描述，反映的是事件发生的可能性大小，不代表单次或少量试验中事件一定会发生。我们可以结合这个概念逐一分析四个选项：
1. 分析A选项：以往的10%进球率是大量比赛统计得到的结果，单场比赛的进球率受临场状态、对手强度等多种因素影响，不一定恰好是10%，因此A错误；
2. 分析B选项：10%是概率，仅代表大量射门时平均每10次约进球1次，不代表每射10次就必然进球1次，每次射门的结果都是独立随机的，因此B错误；
3. 分析C选项：小亮进球的概率不为0，说明进球这个事件是有可能发生的，因此C正确；
4. 分析D选项：进球是随机事件，只有可能性，没有必然性，因此“肯定进球”的说法错误。
【解析】
根据概率的意义：概率反映事件发生的可能性大小，是大量重复试验下频率的稳定值，不代表单次或少量试验中一定会出现对应结果。
对各选项逐一分析：
选项A：10%是小亮以往大量比赛的进球率统计值，明天单场比赛的进球率受多种实际因素影响，不一定为10%，故A错误；
选项B：概率不代表少量试验中一定会发生固定比例的结果，每射球10次必进球1次的说法过于绝对，故B错误；
选项C：小亮进球的概率大于0，说明明天比赛有可能进球，故C正确；
选项D：进球是随机事件，并非必然发生，“肯定进球”的表述错误，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率的意义
2. 随机事件的概念
【点评】
本题重点考查对概率概念的理解，易错点是容易将概率等同于少量试验中必然发生的固定结果，解题时要明确概率仅能反映事件发生的可能性大小，无法决定单次试验的结果。
【难度系数】
0.8

2.(2025·宿迁泗阳县三模)在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为。

2.10

【分析】
在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在其对应的概率附近，因此本题中摸到红球的频率0.4可近似看作摸到红球的概率。再结合等可能事件的概率公式：事件发生的概率=对应事件的数量÷总数量，将已知的红球个数、概率代入公式，即可建立关于m的方程，解方程就能求出m的取值。
【解析】
解：
∵经过大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在0.4，
∴根据频率估计概率的原理，可知摸到红球的概率为0.4。
由等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{\mathrm{红球的个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{4}{m}=0.4$
解此方程得：$m=4÷0.4=10$
经检验，$m=10$符合实际意义。
【答案】
10
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查频率与概率的关系以及简单概率的计算，只要理解大量重复试验下频率和概率的对应关系，熟练运用概率公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

3.(2025·宿迁泗阳县期末)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个,白球5个,黑球7个.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出$m$个白球(其他颜色球的数量没有改变),使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,请求出$m$的值.

3.解:(1)
∵红球3个,白球5个,黑球7个,
∴盒子中球的总数为3+5+7=15(个),
∴任意摸出一个球是黑球的概率为$\frac{7}{15}$.
(2)
∵任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,
∴盒子中球的总量为$3÷\frac{1}{4}=12$(个),
∴可以将盒子中的白球拿出15-12=3(个),
∴m的值为3.

【分析】
（1）第一问可直接运用等可能事件的概率公式求解，先计算出盒子中球的总数量，再用黑球的数量除以总数量，即可得到摸出黑球的概率。
（2）第二问的解题核心是抓住“取出白球时红球数量不变”的隐含条件，已知摸出红球的概率为$\frac{1}{4}$，可结合概率公式反推取出白球后球的总数量，再通过原总数量和现总数量的差计算出取出的白球数量m。
【解析】
（1）已知盒子里红球3个，白球5个，黑球7个，因此盒子中球的总数量为：
$3+5+7=15$（个）
根据等可能事件概率公式，任意摸出一个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{摸出黑球})=\frac{\mathrm{黑球数量}}{\mathrm{总球数}}=\frac{7}{15}$
（2）取出m个白球后，红球数量仍为3个，此时摸出红球的概率为$\frac{1}{4}$，根据概率公式变形可得此时盒子中球的总数量为：
$3÷\frac{1}{4}=12$（个）
因此取出的白球数量为原总球数减去现总球数，即：
$m=15-12=3$
【答案】
（1）$\frac{7}{15}$；（2）$m=3$
【知识点】
概率公式，概率的实际应用
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问是概率公式的正向直接应用，第二问需要结合不变量进行概率公式的逆向推导，侧重对基础公式的理解和灵活运用，熟练掌握概率公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.一个布袋中装有若干个球(仅颜色不同),分别是6个白球,b个黑球,一些红球和黄球,已知红球和黄球的总数是黑球个数的两倍,红球个数又是黄球个数的两倍,从中任意摸出一个球,把摸出白球、黑球、红球、黄球的概率绘制成如图所示的统计图(未绘制完整).
(1)请补全统计图;
(2)从中摸出一个球,摸出球的颜色是黑色或白色的概率是多少?

4.解:(1)
∵红球和黄球的总数是黑球个数的两倍,黑球有b个,
∴球总个数为6+3b,
∴b=0.2(6+3b),
∴b=3,
∴红球和黄球的总数为6.
∵红球个数又是黄球个数的两倍,
∴红球有4个,黄球有2个,
∴球总个数是6+4+2+3=15,
则摸出的球是白球的概率是$\frac{6}{15}=0.4$,摸出的球是红球的概率是$\frac{4}{15}$,摸出的球是黄球的概率是$\frac{2}{15}$.补全统计图如答图.

(2)摸出球的颜色是黑色或白色的概率P=0.4+0.2=0.6.

【分析】
解题思路分两部分梳理：
1. 补全统计图：首先需要求出摸出白球、红球、黄球的概率，概率=对应颜色球的个数÷总球数。根据题意，红球和黄球总数是黑球的2倍，可得总球数=白球数+黑球数+红球+黄球数=6+3b。已知摸出黑球的概率为0.2，代入概率公式列方程可求出b的值，再根据红球是黄球的2倍求出红球、黄球的个数，最后计算三类球的概率即可补全统计图。
2. 求摸出黑色或白色球的概率：摸一个球不可能同时是黑色和白色，属于互斥事件，直接将摸出黑球、白球的概率相加即可得到结果。
【解析】
(1) 计算各颜色球的对应概率：
∵红球和黄球的总数是黑球个数的两倍，黑球有b个，
∴红球+黄球=2b，总球数为$6+b+2b=6+3b$。
已知摸出黑球的概率为0.2，由概率公式得：
$\frac{b}{6+3b}=0.2$，即$b=0.2(6+3b)$，
解得$b=3$。
∴红球和黄球的总数为$2b=6$，
又
∵红球个数是黄球个数的两倍，设黄球有x个，则红球有2x个，
$x+2x=6$，解得$x=2$，即黄球2个，红球4个。
总球数为$6+3+4+2=15$，计算各概率：
摸出白球的概率：$\frac{6}{15}=0.4$，
摸出红球的概率：$\frac{4}{15}$，
摸出黄球的概率：$\frac{2}{15}$。
根据以上概率补全统计图。
(2) 计算摸出黑色或白色球的概率：
摸出黑色和白色球为互斥事件，因此概率为两者概率之和：
$P=P(\mathrm{白球})+P(\mathrm{黑球})=0.4+0.2=0.6$。
【答案】
(1) 补全统计图如下：
(2) 摸出球的颜色是黑色或白色的概率是0.6。
【知识点】
等可能事件概率计算，互斥事件概率加法，条形统计图补全
【点评】
本题结合统计图表与概率计算知识，解题核心是利用已知概率和球的数量关系求出各颜色球的个数，侧重考查概率基本概念的理解与应用能力，属于基础题型，掌握概率基本计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7