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17 某校对全校200名初三学生进行数学学习情况的测试,并从中随机抽取了40份试卷,下表是这40份试卷中填空题部分(共14小题,每小题做对得3分,做错得0分)的答题情况:
根据所给信息,填空:
(1) 这40份试卷中答对题数的平均数为
(2) 由此可估计全校200名初三学生填空题部分的平均得分约为
根据所给信息,填空:
(1) 这40份试卷中答对题数的平均数为
12.775
,中位数为13
。(2) 由此可估计全校200名初三学生填空题部分的平均得分约为
38.325
分,得分率约为91.25
%,全部做对的约为60
人,答对题数的中位数约是13
。答案
17.(1) 12.775，13
(2) 38.325，91.25，60，13
(2) 38.325，91.25，60，13
解析
【分析】
本题是统计类计算题，解题思路如下：
1. 求解40份试卷答对题数的平均数：用加权平均数公式，将每个答对题数乘以对应份数求和，再除以总份数40即可。
2. 求中位数：40个数据的中位数是排序后第20、21个数据的平均数，先从小到大累加各答对题数的份数，找到第20、21个数据对应的答对题数即可。
3. 第二问是用样本估计总体：平均得分=样本平均答对题数×每题分值；得分率=平均答对题数÷总题数×100%；全部做对的人数=总人数×样本中答对14题的占比；总体中位数用样本中位数估计即可。
【解析】
(1) 计算平均数：
加权平均数 = $\frac{9×1 + 10×1 + 11×3 + 12×8 + 13×15 + 14×12}{40}$ = $\frac{9+10+33+96+195+168}{40}$ = $\frac{511}{40}$ = 12.775
求中位数：
总共有40个数据，中位数为排序后第20、21个数据的平均数。
累加份数：答对9题共1份，答对10题共1+1=2份，答对11题共2+3=5份，答对12题共5+8=13份，答对13题共13+15=28份。
可知第14~28个数据都是13，因此第20、21个数据均为13，中位数为$\frac{13+13}{2}$=13。
(2) 平均得分：每题3分，因此平均得分=12.775×3=38.325分
得分率：总题数14道，得分率=$\frac{12.775}{14}$×100%=91.25%
全部做对的人数：样本中答对14题的占比为$\frac{12}{40}$，因此全校全部做对的人数约为200×$\frac{12}{40}$=60人
用样本中位数估计总体中位数，因此全校答对题数的中位数约是13。
【答案】
(1) 12.775，13
(2) 38.325，91.25，60，13
【知识点】
加权平均数计算，中位数计算，样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，核心考查加权平均数、中位数的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，计算时注意累加数值的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是统计类计算题，解题思路如下：
1. 求解40份试卷答对题数的平均数：用加权平均数公式，将每个答对题数乘以对应份数求和，再除以总份数40即可。
2. 求中位数：40个数据的中位数是排序后第20、21个数据的平均数，先从小到大累加各答对题数的份数，找到第20、21个数据对应的答对题数即可。
3. 第二问是用样本估计总体：平均得分=样本平均答对题数×每题分值；得分率=平均答对题数÷总题数×100%；全部做对的人数=总人数×样本中答对14题的占比；总体中位数用样本中位数估计即可。
【解析】
(1) 计算平均数：
加权平均数 = $\frac{9×1 + 10×1 + 11×3 + 12×8 + 13×15 + 14×12}{40}$ = $\frac{9+10+33+96+195+168}{40}$ = $\frac{511}{40}$ = 12.775
求中位数：
总共有40个数据，中位数为排序后第20、21个数据的平均数。
累加份数：答对9题共1份，答对10题共1+1=2份，答对11题共2+3=5份，答对12题共5+8=13份，答对13题共13+15=28份。
可知第14~28个数据都是13，因此第20、21个数据均为13，中位数为$\frac{13+13}{2}$=13。
(2) 平均得分：每题3分，因此平均得分=12.775×3=38.325分
得分率：总题数14道，得分率=$\frac{12.775}{14}$×100%=91.25%
全部做对的人数：样本中答对14题的占比为$\frac{12}{40}$，因此全校全部做对的人数约为200×$\frac{12}{40}$=60人
用样本中位数估计总体中位数，因此全校答对题数的中位数约是13。
【答案】
(1) 12.775，13
(2) 38.325，91.25，60，13
【知识点】
加权平均数计算，中位数计算，样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，核心考查加权平均数、中位数的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，计算时注意累加数值的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
18 小张到商场购物,正值商场搞促销活动。商场规定:购物金额满 300 元的顾客可参加一次抽奖,并保证人人有奖,且获得奖金的平均数为 40 元。小张购物后参加了抽奖,但只获得了 10 元的奖金,而且看到大部分人抽得的奖金都只有 10 元或 20 元。下表是本次活动抽奖情况的记录,其中大奖的金额暂时保密,记为 a 元。
| 奖金/元 | a | 50 | 20 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数/个 | 1 |
| 37 | 61 |
(1) 求出 a 的值。
(2) 你觉得商场用平均数来表示中奖金额的平均水平是否合适?如果合适,请说明理由;如果不合适,你觉得应该用哪个统计量来描述中奖金额的平均水平更合适?为什么?
19 某厂用罐头分装机分装某种鱼罐头,每只罐头的标准质量为 207 克。为了监控分装机运行的情况,该厂定期对罐头的质量进行抽样检查,并规定抽检产品的平均质量与标准质量相差大于 5 克或者罐头质量的方差大于 64 时,就认为该分装机运行不正常,将对它进行检修。现在抽取了 20 只罐头,它们的质量(单位:克)如下:
200 205 208 212 223 199 193 208 204 200
208 201 215 190 193 206 215 198 206 216
该分装机运行是否正常?
| 奖金/元 | a | 50 | 20 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数/个 | 1 |
| 37 | 61 |(1) 求出 a 的值。
(2) 你觉得商场用平均数来表示中奖金额的平均水平是否合适?如果合适,请说明理由;如果不合适,你觉得应该用哪个统计量来描述中奖金额的平均水平更合适?为什么?
19 某厂用罐头分装机分装某种鱼罐头,每只罐头的标准质量为 207 克。为了监控分装机运行的情况,该厂定期对罐头的质量进行抽样检查,并规定抽检产品的平均质量与标准质量相差大于 5 克或者罐头质量的方差大于 64 时,就认为该分装机运行不正常,将对它进行检修。现在抽取了 20 只罐头,它们的质量(单位:克)如下:
200 205 208 212 223 199 193 208 204 200
208 201 215 190 193 206 215 198 206 216
该分装机运行是否正常?
答案
18 (1) 根据奖金的平均数为 40 元,得 $\frac{a+50×11+20×37+10×61}{110}=40$,解得 $a=2500$。
(2) 不合适,用众数更合适,因为在 110 个奖项中,61 个奖项为 10 元,占了 55.5%,更具有代表性。(也可以用中位数,说明理由即可)
19 先计算平均数: $\bar{x}=205,207-205=2＜5$。再计算方差:$s^2=69.4＞64$,所以分装机运行不正常。
(2) 不合适,用众数更合适,因为在 110 个奖项中,61 个奖项为 10 元,占了 55.5%,更具有代表性。(也可以用中位数,说明理由即可)
19 先计算平均数: $\bar{x}=205,207-205=2＜5$。再计算方差:$s^2=69.4＞64$,所以分装机运行不正常。
解析
【分析】
18题思路：(1) 要求a的值，已知奖金的平均数为40元，先计算抽奖总人数，再根据加权平均数的计算公式“总奖金÷总人数=平均奖金”列方程即可求解a。(2) 判断平均数是否合适，需考虑平均数易受极端值影响的特性，本题中大额奖金a属于极端值，拉高了整体平均水平，不能反映大多数人的中奖金额，因此选择不受极端值影响的众数或中位数描述平均水平更合适。
19题思路：判断分装机是否正常需要验证两个条件：①抽检平均质量与标准质量207克的差不大于5克；②抽检质量的方差不大于64，两个条件都满足才正常，只要有一个不满足就运行不正常。因此先计算20只罐头的平均质量，再计算方差，对照条件判断即可。
【解析】
第18题
(1) 先计算抽奖总人数：$1+11+37+61=110$（人）
根据加权平均数定义列方程：
$\frac{a + 50×11 + 20×37 + 10×61}{110}=40$
计算分子已知项和：$50×11+20×37+10×61=1900$，方程化简为：
$\frac{a + 1900}{110}=40$
解得$a=4400-1900=2500$。
(2) 不合适。平均数易受极端值影响，本题2500元大奖是极端值，大幅拉高了平均奖金，而超半数参与者中奖金额为10元，平均数40元不能反映大多数人的中奖水平。选择众数（或中位数）更合适：众数为10元，是出现次数最多的奖金金额，能代表大多数参与者的中奖水平；中位数也为10元，反映一半以上参与者的中奖金额不超过10元，均比平均数更符合实际情况。
第19题
第一步，计算20只罐头的平均质量：
$\bar{x}=\frac{1}{20}×(200+205+208+212+223+199+193+208+204+200+208+201+215+190+193+206+215+198+206+216)=205\ (\mathrm{克})$
平均质量与标准质量的差值：$|205 - 207|=2$克，$2＜5$，满足平均质量要求。
第二步，计算方差：
$s^2=\frac{1}{20}×[(200-205)^2+(205-205)^2+\dots+(216-205)^2]=69.4$
$69.4＞64$，不满足方差要求。
根据规定，只要平均质量差大于5克或方差大于64就判定为运行不正常，因此该分装机运行不正常。
【答案】
18 (1) $a=2500$；(2) 不合适，用众数更合适，因为在110个奖项中，61个奖项为10元，占了55.5%，更具有代表性（也可用中位数，理由合理即可）。
19 该分装机运行不正常。
【知识点】
加权平均数计算，统计量的选择，方差计算与应用
【点评】
两道题均为统计知识在生活场景中的应用，能帮助理解不同统计量的适用场景，明确平均数易受极端值影响的特点，同时考查平均数和方差的计算能力，以及结合规则解决实际问题的能力，体现了统计知识的实用性。
【难度系数】
0.7
18题思路：(1) 要求a的值，已知奖金的平均数为40元，先计算抽奖总人数，再根据加权平均数的计算公式“总奖金÷总人数=平均奖金”列方程即可求解a。(2) 判断平均数是否合适，需考虑平均数易受极端值影响的特性，本题中大额奖金a属于极端值，拉高了整体平均水平，不能反映大多数人的中奖金额，因此选择不受极端值影响的众数或中位数描述平均水平更合适。
19题思路：判断分装机是否正常需要验证两个条件：①抽检平均质量与标准质量207克的差不大于5克；②抽检质量的方差不大于64，两个条件都满足才正常，只要有一个不满足就运行不正常。因此先计算20只罐头的平均质量，再计算方差，对照条件判断即可。
【解析】
第18题
(1) 先计算抽奖总人数：$1+11+37+61=110$（人）
根据加权平均数定义列方程：
$\frac{a + 50×11 + 20×37 + 10×61}{110}=40$
计算分子已知项和：$50×11+20×37+10×61=1900$，方程化简为：
$\frac{a + 1900}{110}=40$
解得$a=4400-1900=2500$。
(2) 不合适。平均数易受极端值影响，本题2500元大奖是极端值，大幅拉高了平均奖金，而超半数参与者中奖金额为10元，平均数40元不能反映大多数人的中奖水平。选择众数（或中位数）更合适：众数为10元，是出现次数最多的奖金金额，能代表大多数参与者的中奖水平；中位数也为10元，反映一半以上参与者的中奖金额不超过10元，均比平均数更符合实际情况。
第19题
第一步，计算20只罐头的平均质量：
$\bar{x}=\frac{1}{20}×(200+205+208+212+223+199+193+208+204+200+208+201+215+190+193+206+215+198+206+216)=205\ (\mathrm{克})$
平均质量与标准质量的差值：$|205 - 207|=2$克，$2＜5$，满足平均质量要求。
第二步，计算方差：
$s^2=\frac{1}{20}×[(200-205)^2+(205-205)^2+\dots+(216-205)^2]=69.4$
$69.4＞64$，不满足方差要求。
根据规定，只要平均质量差大于5克或方差大于64就判定为运行不正常，因此该分装机运行不正常。
【答案】
18 (1) $a=2500$；(2) 不合适，用众数更合适，因为在110个奖项中，61个奖项为10元，占了55.5%，更具有代表性（也可用中位数，理由合理即可）。
19 该分装机运行不正常。
【知识点】
加权平均数计算，统计量的选择，方差计算与应用
【点评】
两道题均为统计知识在生活场景中的应用，能帮助理解不同统计量的适用场景，明确平均数易受极端值影响的特点，同时考查平均数和方差的计算能力，以及结合规则解决实际问题的能力，体现了统计知识的实用性。
【难度系数】
0.7
