23. (2024春·嘉鱼县期中)阅读下列内容,并解决问题.
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时,遇到了一个习题,并对有关内容进行了研究:
【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果$m$表示大于1的整数,$a=2m$,$b=m^2-1$,$c=m^2+1$,那么$a,b,c$为勾股数.你认为对吗?如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
【资料搜集】定义:勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地,若三角形三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2+b^2=c^2$,那么$a,b,c$称为一组勾股数.
关于勾股数的研究:我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三,股四,弦五”,这组数$(3,4,5)$是世界上最早发现的一组勾股数.毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究,习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式,这个表达式未给出全部勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》.
【问题解决】
(1) 根据柏拉图的研究,当$m=6$时,请直接写出一组勾股数:;
(2) 若$m$表示大于1的整数,试证明$(m^2-1,2m,m^2+1)$是一组勾股数;
(3) 请举出一个反例(即写出一组勾股数),说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数.

23. (1) 当$m=6$时，$2m=12$，$m^2-1=35$，$m^2+1=37$，则这组勾股数是$12,35,37$；
(2) 证明：$(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$，$(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，$\therefore (m^2-1)^2+(2m)^2=(m^2+1)^2$，$\because m$表示大于1的整数，$\therefore m^2-1,2m,m^2+1$都是正整数，$\therefore m^2-1,2m,m^2+1$是一组勾股数；
(3) $5,12,13$，是柏拉图给出的勾股数公式不能构造出的勾股数，答案不唯一。