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1 [2024河北]节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500千瓦·时电,若平均每天用电x千瓦·时,则能使用y天.下列说法错误的是 (
A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍
C
)A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍
答案
C
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题第一步先根据“总用电量=平均每天用电量×使用天数”推导y与x的函数关系式，再结合反比例函数的性质、代入求值的方法逐一判断四个选项的正误，最终选出错误的说法即可。
【解析】
根据题意可得：总电量为500千瓦·时，因此$ xy=500 $，即y与x的函数关系式为$ y=\frac{500}{x} $（$ x＞0 $）。
选项A：将$ x=5 $代入$ y=\frac{500}{x} $，得$ y=\frac{500}{5}=100 $，该选项说法正确，不符合题意；
选项B：将$ y=125 $代入$ y=\frac{500}{x} $，得$ 125=\frac{500}{x} $，解得$ x=4 $，该选项说法正确，不符合题意；
选项C：函数$ y=\frac{500}{x} $中$ k=500＞0 $，且$ x＞0 $，因此y随x的减小而增大，即x减小时y会增大，该选项说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即新的用电量为$ \frac{x}{2} $，此时对应的使用天数$ y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2y $，即y增大一倍，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，反比例函数求值
【点评】
本题结合生活用电的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是正确列出函数关系式，代入求值难度较低，判断增减性时要注意结合自变量的取值范围分析，细心审题看清题目要求选择“错误”的说法即可。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题第一步先根据“总用电量=平均每天用电量×使用天数”推导y与x的函数关系式，再结合反比例函数的性质、代入求值的方法逐一判断四个选项的正误，最终选出错误的说法即可。
【解析】
根据题意可得：总电量为500千瓦·时，因此$ xy=500 $，即y与x的函数关系式为$ y=\frac{500}{x} $（$ x＞0 $）。
选项A：将$ x=5 $代入$ y=\frac{500}{x} $，得$ y=\frac{500}{5}=100 $，该选项说法正确，不符合题意；
选项B：将$ y=125 $代入$ y=\frac{500}{x} $，得$ 125=\frac{500}{x} $，解得$ x=4 $，该选项说法正确，不符合题意；
选项C：函数$ y=\frac{500}{x} $中$ k=500＞0 $，且$ x＞0 $，因此y随x的减小而增大，即x减小时y会增大，该选项说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即新的用电量为$ \frac{x}{2} $，此时对应的使用天数$ y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2y $，即y增大一倍，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，反比例函数求值
【点评】
本题结合生活用电的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是正确列出函数关系式，代入求值难度较低，判断增减性时要注意结合自变量的取值范围分析，细心审题看清题目要求选择“错误”的说法即可。
【难度系数】
0.8
2 为了建设生态文明，某工厂自去年1月开始限产，进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的关系如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论错误的是 (
A.4月的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前、后共有4个月的利润低于100万元
D.9月该工厂的利润达到200万元
C
)A.4月的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前、后共有4个月的利润低于100万元
D.9月该工厂的利润达到200万元
答案
C
解析
【分析】
解题时按分段函数的思路分析：首先根据1月的坐标求出治污改造前（1≤x≤4）的反比例函数解析式，利用解析式求出4月利润判断选项A；再用(4,50)和(6,110)两点求出治污完成后的一次函数解析式，计算利润增量判断选项B；分别令两段函数的y＜100，求出对应x的取值范围，统计符合条件的月份数判断选项C；最后将x=9代入一次函数求利润判断选项D即可。
【解析】
1. 求治污改造前的反比例函数解析式
设$ 1≤ x≤4 $时，反比例函数为$ y=\frac{k}{x} $，将$ x=1,y=200 $代入得$ k=1×200=200 $，即反比例函数为$ y=\frac{200}{x}(1≤ x≤4) $。
当$ x=4 $时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，即4月利润为50万元，A选项正确。
2. 求治污改造后的一次函数解析式
设$ x≥4 $时，一次函数为$ y=ax+b $，将$(4,50)$、$(6,110)$代入得：
$\begin{cases}4a+b=50 \\6a+b=110\end{cases}$
两式相减得$ 2a=60 $，解得$ a=30 $，代入得$ b=-70 $，即一次函数为$ y=30x-70(x≥4) $。
一次函数斜率为30，即每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确。
3. 判断选项C
反比例段：令$ y＜100 $，即$ \frac{200}{x}＜100 $，解得$ x＞2 $，x为正整数，符合条件的是$ x=3、4 $；
一次函数段：令$ y＜100 $，即$ 30x-70＜100 $，解得$ x＜\frac{17}{3}\approx5.67 $，x为正整数，符合条件的是$ x=5 $；
因此利润低于100万元的月份共3个月，C选项错误。
4. 判断选项D
当$ x=9 $时，代入一次函数得$ y=30×9-70=200 $，即9月利润达到200万元，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用、一次函数的应用、分段函数实际意义
【点评】
本题结合生态治理的实际场景考查分段函数的应用，解题核心是准确求出两段函数的解析式，结合自变量取正整数的实际要求逐一验证选项，易错点是统计低于100万元的月份时误将等于100万元的月份计入。
【难度系数】
0.7
解题时按分段函数的思路分析：首先根据1月的坐标求出治污改造前（1≤x≤4）的反比例函数解析式，利用解析式求出4月利润判断选项A；再用(4,50)和(6,110)两点求出治污完成后的一次函数解析式，计算利润增量判断选项B；分别令两段函数的y＜100，求出对应x的取值范围，统计符合条件的月份数判断选项C；最后将x=9代入一次函数求利润判断选项D即可。
【解析】
1. 求治污改造前的反比例函数解析式
设$ 1≤ x≤4 $时，反比例函数为$ y=\frac{k}{x} $，将$ x=1,y=200 $代入得$ k=1×200=200 $，即反比例函数为$ y=\frac{200}{x}(1≤ x≤4) $。
当$ x=4 $时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，即4月利润为50万元，A选项正确。
2. 求治污改造后的一次函数解析式
设$ x≥4 $时，一次函数为$ y=ax+b $，将$(4,50)$、$(6,110)$代入得：
$\begin{cases}4a+b=50 \\6a+b=110\end{cases}$
两式相减得$ 2a=60 $，解得$ a=30 $，代入得$ b=-70 $，即一次函数为$ y=30x-70(x≥4) $。
一次函数斜率为30，即每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确。
3. 判断选项C
反比例段：令$ y＜100 $，即$ \frac{200}{x}＜100 $，解得$ x＞2 $，x为正整数，符合条件的是$ x=3、4 $；
一次函数段：令$ y＜100 $，即$ 30x-70＜100 $，解得$ x＜\frac{17}{3}\approx5.67 $，x为正整数，符合条件的是$ x=5 $；
因此利润低于100万元的月份共3个月，C选项错误。
4. 判断选项D
当$ x=9 $时，代入一次函数得$ y=30×9-70=200 $，即9月利润达到200万元，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用、一次函数的应用、分段函数实际意义
【点评】
本题结合生态治理的实际场景考查分段函数的应用，解题核心是准确求出两段函数的解析式，结合自变量取正整数的实际要求逐一验证选项，易错点是统计低于100万元的月份时误将等于100万元的月份计入。
【难度系数】
0.7
3 把一块棱长为40 cm的正方体钢锭锻造成横截面面积为$S\ \mathrm{cm}^2$、长为$h\ \mathrm{cm}$的钢筋，则$S$关于$h$的函数表达式为
$S=\frac{64000}{h}$
.答案
$S=\frac{64000}{h}$
解析
【分析】解决本题的核心是明确锻造前后钢锭的体积保持不变，第一步先计算正方体钢锭的体积，第二步根据长方体体积公式（体积=横截面面积×长）建立等量关系，最后将等量关系变形为S关于h的函数表达式即可。
【解析】首先计算正方体钢锭的体积：
正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），已知棱长$a=40\ \mathrm{cm}$，因此体积$V=40^3=64000\ \mathrm{cm}^3$。
锻造后钢筋为长方体，长方体体积公式为$V=S· h$，由于锻造前后体积不变，因此可得：
$S· h=64000$
将等式变形为$S$关于$h$的函数表达式，即$S=\frac{64000}{h}$（$h＞0$）。
【答案】$S=\frac{64000}{h}$
【知识点】反比例函数应用；正方体体积计算；等积变形
【点评】本题是反比例函数在实际生产中的基础应用，解题的关键是抓住锻造过程中体积不变的核心等量关系，主要考查学生对基础公式的掌握和将实际问题转化为函数关系的能力。
【难度系数】0.85
【解析】首先计算正方体钢锭的体积：
正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），已知棱长$a=40\ \mathrm{cm}$，因此体积$V=40^3=64000\ \mathrm{cm}^3$。
锻造后钢筋为长方体，长方体体积公式为$V=S· h$，由于锻造前后体积不变，因此可得：
$S· h=64000$
将等式变形为$S$关于$h$的函数表达式，即$S=\frac{64000}{h}$（$h＞0$）。
【答案】$S=\frac{64000}{h}$
【知识点】反比例函数应用；正方体体积计算；等积变形
【点评】本题是反比例函数在实际生产中的基础应用，解题的关键是抓住锻造过程中体积不变的核心等量关系，主要考查学生对基础公式的掌握和将实际问题转化为函数关系的能力。
【难度系数】0.85
4 张叔叔驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶路程为 480 km. 设小汽车的行驶时间为 t h，行驶速度为 v km/h，且全程速度限定为不超过 120 km/h.
(1) v 关于 t 的函数表达式为
(2) 张叔叔 8:00 驾驶小汽车从 A 地出发.
① 若张叔叔需在当天 12:48 至 14:00 间(含 12:48 和 14:00)到达 B 地，求 v 的取值范围；
② 张叔叔
(1) v 关于 t 的函数表达式为
$v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(写出自变量 t 的取值范围).(2) 张叔叔 8:00 驾驶小汽车从 A 地出发.
① 若张叔叔需在当天 12:48 至 14:00 间(含 12:48 和 14:00)到达 B 地，求 v 的取值范围；
② 张叔叔
不能
(填“能”或“不能”)在当天 11:30 前到达 B 地.答案
$(1) v=\frac${480
$(2) ① \because 8:00 $至 12:48 的时长为$ 4.8\ \mathrm{h},8:00 $至 14:00 的时长为$ 6\ \mathrm{h},\therefore 4.8≤ t≤6. $将 t=6 代入$ v=\frac{480}{t},$得 v=80;将 t=4.8 代入$ v=\frac{480}{t},$得$ v=100. \therefore v $的取值范围是 80≤ v≤100
② 不能 【解析$】\because 8:00 $至 11:30 的时长为$ 3.5\ \mathrm{h},\therefore $若张叔叔要在当天 11:30 前到达 B 地,则必须满足 t＜3.5,此时 v＞$\frac{960}{7}.\because v≤120,\therefore $会超过限定速度$,\therefore $张叔叔不能在当天 11:30 前到达 B 地.
$(2) ① \because 8:00 $至 12:48 的时长为$ 4.8\ \mathrm{h},8:00 $至 14:00 的时长为$ 6\ \mathrm{h},\therefore 4.8≤ t≤6. $将 t=6 代入$ v=\frac{480}{t},$得 v=80;将 t=4.8 代入$ v=\frac{480}{t},$得$ v=100. \therefore v $的取值范围是 80≤ v≤100
② 不能 【解析$】\because 8:00 $至 11:30 的时长为$ 3.5\ \mathrm{h},\therefore $若张叔叔要在当天 11:30 前到达 B 地,则必须满足 t＜3.5,此时 v＞$\frac{960}{7}.\because v≤120,\therefore $会超过限定速度$,\therefore $张叔叔不能在当天 11:30 前到达 B 地.
解析
【分析】
本题考查反比例函数在行程问题中的应用。(1) 利用行程公式“路程=速度×时间”变形可得v与t的函数关系，再结合全程限速不超过120km/h求出自变量t的最小取值，即可确定t的取值范围；(2) ①先计算出对应时间段的行驶时长范围，再结合反比例函数的增减性，代入时长的端点值即可求出速度v的取值范围，注意结果要符合限速要求；②先计算8:00到11:30的时长，再求出对应需要的最小速度，和限速120km/h对比即可判断能否到达。
【解析】
(1) 由路程公式可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120km/h，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，行驶时间为正数，解得$t≥4$。
故v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 先计算行驶时长：8:00到12:48的时间差为4小时48分钟，换算为小时是$4+\frac{48}{60}=4.8\ \mathrm{h}$；8:00到14:00的时间差为6h，因此行驶时间t的范围为$4.8≤ t≤6$。
因为$v=\frac{480}{t}$中$k=480＞0$，在$t＞0$时v随t的增大而减小，因此：
当$t=6$时，$v_{\mathrm{最小}}=\frac{480}{6}=80$；当$t=4.8$时，$v_{\mathrm{最大}}=\frac{480}{4.8}=100$。
100＜120，符合限速要求，故v的取值范围是$80≤ v≤100$。
② 计算8:00到11:30的时间差为3.5h，若要在11:30前到达，则行驶时间$t＜3.5$，此时所需速度$v＞\frac{480}{3.5}=\frac{960}{7}\approx137.1\ \mathrm{km/h}$，超过限速120km/h，因此张叔叔不能在当天11:30前到达B地。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤100$；② 不能
【知识点】
反比例函数应用，行程问题，不等式求解
【点评】
本题结合实际出行场景考查反比例函数的实际应用，解题的关键是明确行程中速度、时间、路程的关系，结合反比例函数的增减性和限制条件求解对应范围，属于基础应用型题目，需要注意时间单位的统一。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数在行程问题中的应用。(1) 利用行程公式“路程=速度×时间”变形可得v与t的函数关系，再结合全程限速不超过120km/h求出自变量t的最小取值，即可确定t的取值范围；(2) ①先计算出对应时间段的行驶时长范围，再结合反比例函数的增减性，代入时长的端点值即可求出速度v的取值范围，注意结果要符合限速要求；②先计算8:00到11:30的时长，再求出对应需要的最小速度，和限速120km/h对比即可判断能否到达。
【解析】
(1) 由路程公式可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120km/h，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，行驶时间为正数，解得$t≥4$。
故v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 先计算行驶时长：8:00到12:48的时间差为4小时48分钟，换算为小时是$4+\frac{48}{60}=4.8\ \mathrm{h}$；8:00到14:00的时间差为6h，因此行驶时间t的范围为$4.8≤ t≤6$。
因为$v=\frac{480}{t}$中$k=480＞0$，在$t＞0$时v随t的增大而减小，因此：
当$t=6$时，$v_{\mathrm{最小}}=\frac{480}{6}=80$；当$t=4.8$时，$v_{\mathrm{最大}}=\frac{480}{4.8}=100$。
100＜120，符合限速要求，故v的取值范围是$80≤ v≤100$。
② 计算8:00到11:30的时间差为3.5h，若要在11:30前到达，则行驶时间$t＜3.5$，此时所需速度$v＞\frac{480}{3.5}=\frac{960}{7}\approx137.1\ \mathrm{km/h}$，超过限速120km/h，因此张叔叔不能在当天11:30前到达B地。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤100$；② 不能
【知识点】
反比例函数应用，行程问题，不等式求解
【点评】
本题结合实际出行场景考查反比例函数的实际应用，解题的关键是明确行程中速度、时间、路程的关系，结合反比例函数的增减性和限制条件求解对应范围，属于基础应用型题目，需要注意时间单位的统一。
【难度系数】
0.7
5 如图①,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度$v$(km/h)与行驶时间$t$(h)成反比例关系(如图②).已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h,最低车速不得低于90 km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该测速区间
AB段的时间可能是 (
A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
AB段的时间可能是 (C
)A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
答案
C 【解析】由题②得,测速区间 AB 段的总路程为 $80×0.3=24(\mathrm{km})$.$\because$ 最高车速为 $120\ \mathrm{km/h}$,$\therefore$ 在最高车速 $120\ \mathrm{km/h}$ 下的行驶时间为 $\frac{24}{120}\ \mathrm{h}$. 同理,可得在最低车速 $90\ \mathrm{km/h}$ 下的行驶时间为 $\frac{24}{90}\ \mathrm{h}$.
$\because \frac{24}{120}\ \mathrm{h}=12\ \mathrm{min}$,$\frac{24}{90}\ \mathrm{h}=16\ \mathrm{min}$,$\therefore$ 通过 AB 段测速区间的行驶时间应该在 $12∼16\ \mathrm{min}$ 之间.$\because 12＜15＜16$,$\therefore$ 选项 C 符合题意.
$\because \frac{24}{120}\ \mathrm{h}=12\ \mathrm{min}$,$\frac{24}{90}\ \mathrm{h}=16\ \mathrm{min}$,$\therefore$ 通过 AB 段测速区间的行驶时间应该在 $12∼16\ \mathrm{min}$ 之间.$\because 12＜15＜16$,$\therefore$ 选项 C 符合题意.
解析
【分析】
首先根据题意可知速度v与行驶时间t成反比例关系，说明测速区间AB的总路程为定值。解题时第一步先利用图②给出的v=80km/h、t=0.3h的对应值，计算出AB段的总路程；第二步结合题目给出的最高、最低车速限制，根据“时间=路程÷速度”分别算出最短、最长行驶时间，得到行驶时间的取值范围；最后对比选项，选出在取值范围内的结果即可。
【解析】
首先计算AB段总路程：由反比例函数的性质，路程$s=vt$，代入图②中$t=0.3\mathrm{h}$，$v=80\mathrm{km/h}$，得$s=80×0.3=24\mathrm{km}$。
再计算限速对应的行驶时间范围：
当车速为最高限速120km/h时，行驶时间最短：$t_{\mathrm{最短}}=\frac{24}{120}=0.2\mathrm{h}=12\mathrm{min}$；
当车速为最低限速90km/h时，行驶时间最长：$t_{\mathrm{最长}}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\mathrm{h}=16\mathrm{min}$。
因此通过AB段的时间取值范围为$12\mathrm{min}≤ t≤16\mathrm{min}$，只有15min在该范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；行程问题公式
【点评】
本题结合生活中区间测速的实际场景考查知识应用能力，解题核心是先确定测速区间的固定路程，再根据限速推导时间的取值范围，题型贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先根据题意可知速度v与行驶时间t成反比例关系，说明测速区间AB的总路程为定值。解题时第一步先利用图②给出的v=80km/h、t=0.3h的对应值，计算出AB段的总路程；第二步结合题目给出的最高、最低车速限制，根据“时间=路程÷速度”分别算出最短、最长行驶时间，得到行驶时间的取值范围；最后对比选项，选出在取值范围内的结果即可。
【解析】
首先计算AB段总路程：由反比例函数的性质，路程$s=vt$，代入图②中$t=0.3\mathrm{h}$，$v=80\mathrm{km/h}$，得$s=80×0.3=24\mathrm{km}$。
再计算限速对应的行驶时间范围：
当车速为最高限速120km/h时，行驶时间最短：$t_{\mathrm{最短}}=\frac{24}{120}=0.2\mathrm{h}=12\mathrm{min}$；
当车速为最低限速90km/h时，行驶时间最长：$t_{\mathrm{最长}}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\mathrm{h}=16\mathrm{min}$。
因此通过AB段的时间取值范围为$12\mathrm{min}≤ t≤16\mathrm{min}$，只有15min在该范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；行程问题公式
【点评】
本题结合生活中区间测速的实际场景考查知识应用能力，解题核心是先确定测速区间的固定路程，再根据限速推导时间的取值范围，题型贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
