6 [2025南通]如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是5:3:1.如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa.

6. $3a$

【分析】
要解决这道题，首先明确砖对地面的压力等于砖的重力，是固定不变的量。根据压强公式$ p=\frac{F}{S} $，当压力F为定值时，压强p与受力面积S成反比例关系，即两者的乘积为定值。已知B面和C面的面积比，以及B面向下时的压强，我们可以利用反比例关系列式计算出C面向下时的压强。
【解析】
设砖的重力为F（即地面受到的压力，为定值），设B面的面积为$ 3k $，C面的面积为$ k $（$ k＞0 $）。
根据压强公式$ p=\frac{F}{S} $，可得$ F=pS $：
当B面向下放置时，压强为$ a\ \mathrm{Pa} $，因此$ F = a × 3k = 3ak $。
当C面向下放置时，受力面积为$ k $，代入公式得此时压强：
$ p = \frac{F}{S_C} = \frac{3ak}{k} = 3a\ \mathrm{Pa} $。
【答案】
$ 3a $
【知识点】
反比例函数的应用，压强公式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住压力不变的条件，明确压强与受力面积的反比例关系，结合给出的面积比即可快速得出结果，属于跨学科的基础应用题型。
【难度系数】
0.7

7 [2025苏州工业园区段考]如图，取一根长100 cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y是弹簧秤与中点O的距离x(单位:cm)的反比例函数，当$x=15$时，$y=16$.
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式；
(2) 移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数$y$的最小值.

7. (1) 由题意，设$y=\frac{k}{x}$，把$x=15,y=16$代入，得$k=15×16=240$，$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{240}{x}$
(2) 由(1)，可知$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{240}{x}.\because 240＞0,\therefore$ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.
$\because O$为木杆的中点，木杆的长为100 cm，$\therefore$ 弹簧秤与中点$O$的距离最大为50 cm，即$x$的最大值为50，$\therefore$ 把$x=50$代入$y=\frac{240}{x}$，得$y=4.8,\therefore$ 弹簧秤的示数$y$的最小值为4.8

【分析】
(1) 题目明确说明y是x的反比例函数，因此可先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=15$、$y=16$代入解析式，求出k的值即可得到函数表达式；
(2) 要求y的最小值，先结合反比例函数的增减性判断：对于$y=\frac{240}{x}$，$k=240＞0$，在$x＞0$的范围内，y随x的增大而减小，因此x取最大值时y最小。再结合实际场景，木杆总长100cm，中点为O，因此弹簧秤到O的最大距离为木杆长度的一半即50cm，将$x=50$代入解析式即可求出y的最小值。
【解析】
(1) 由题意，设$y$关于$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
把$x=15$，$y=16$代入得：$16=\frac{k}{15}$，
解得$k=15×16=240$，
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{240}{x}$。
(2) 由(1)得$y=\frac{240}{x}$，其中$k=240＞0$，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\because O$为长100cm木杆的中点，
$\therefore$弹簧秤与中点$O$的最大距离$x_{\mathrm{max}}=\frac{100}{2}=50\mathrm{cm}$，
将$x=50$代入$y=\frac{240}{x}$得：$y=\frac{240}{50}=4.8$，
$\therefore$弹簧秤的示数$y$的最小值为4.8。
【答案】
(1) $y=\frac{240}{x}$
(2) $4.8$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理杠杆原理考查反比例函数的实际应用，解题时需先利用待定系数法求出函数解析式，再结合自变量的实际取值范围和反比例函数的增减性求解最值，兼顾了学科交叉与知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

8 [2025苏州工业园区段考]综合与实践:如何称量一枚1元硬币的质量?
素材1:如图所示为一架自制天平,左侧托盘固定在点A处,右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知AC=30 cm,BC=76 cm,支点O在AC的中点处,有一个100 g的砝码.
素材2:由于一枚硬币太轻,这个自制天平无法直接称量,小组进行如下操作:左侧托盘放入一个100 g的砝码,右侧托盘放入10枚相同的1元硬币,调整点P的位置,发现当PC=10 cm时,天平平衡.
链接:根据杠杆原理,当天平平衡时,左侧托盘砝码质量乘OA的长等于右侧托盘物体质量乘OP的长(不计托盘与横梁质量).
任务1:左侧托盘放入1个100 g的砝码,设右侧托盘放置y g的物体,OP的长为x cm,求y关于x的函数表达式.
任务2:求一枚1元硬币的质量,并判断当左侧托盘放入1个100 g的砝码时,右侧托盘至少要放置几枚1元硬币,该天平才能保持平衡.
任务3:在横梁AB长度保持不变的情况下,托盘P固定在点B处,通过调整天平支点的位置,使当左侧托盘放入1个100 g的砝码,右侧托盘放置一枚1元硬币时,天平能保持平衡,则OA的长是多少?

8. 任务1:$\because O$是$AC$的中点，$AC=30\ \mathrm{cm},\therefore AO=OC=15\ \mathrm{cm}$.由题意，得$100×15=xy$，即$y=\frac{1\ 500}{x},\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1\ 500}{x}$
任务2:由任务1，得$y=\frac{1\ 500}{x}.\because$ 当$PC=10\ \mathrm{cm}$时，天平平衡，$\therefore OP=OC+PC=15+10=25(\mathrm{cm})$，即$x=25,\therefore y=\frac{1\ 500}{25}=60,\therefore 10$枚1元硬币的质量为60 g，$\therefore$ 一枚1元硬币的质量为$\frac{60}{10}=6(\mathrm{g}).\because y=\frac{1\ 500}{x},1\ 500＞0,\therefore$ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$ 当$x=15+76=91$时，$y$取得最小值，为$\frac{1\ 500}{91}\approx16.48$.又$\because 16.48÷6\approx2.75,\therefore$ 右侧托盘至少要放置3枚1元硬币，该天平才能保持平衡
任务3:由题意，设当$OA=a\ \mathrm{cm}$时，天平能保持平衡，则$OB=AB-OA=30+76-a=(106-a)\mathrm{cm},\therefore 100a=6(106-a),\therefore a=6,\therefore OA$的长是6 cm

【分析】
解题时结合题目给出的杠杆平衡原理分步推导即可：
1. 任务1：先利用O是AC中点求出AO的长度，再根据“左侧砝码质量×OA = 右侧物体质量×OP”的等量关系列等式，整理即可得到y关于x的函数表达式；
2. 任务2：先根据PC的长度求出OP的长度，代入任务1得到的函数解析式求出10枚硬币的总质量，除以10得到单枚硬币质量；再根据反比例函数的性质，k＞0时x越大y越小，找到x的最大值（P在B点时的OP长度）算出最小可称量的质量，再除以单枚硬币质量，结合实际意义向上取整得到最少硬币数；
3. 任务3：设OA的长度为a cm，先求出AB总长度，用总长度减a得到OB的长度，再根据杠杆平衡原理列一元一次方程，求解即可得到OA的长度。
【解析】
任务1
∵ O是AC的中点，$AC=30\ \mathrm{cm}$，$\therefore AO=OC=15\ \mathrm{cm}$。
根据杠杆平衡原理，得$100×15=xy$，
整理得$y=\frac{1500}{x}$，即y关于x的函数表达式为$y=\frac{1500}{x}$。
任务2
已知$PC=10\ \mathrm{cm}$，可得$OP=OC+PC=15+10=25\ \mathrm{cm}$，即$x=25$，
将$x=25$代入$y=\frac{1500}{x}$，得$y=\frac{1500}{25}=60$，即10枚1元硬币总质量为60 g，
∴ 一枚1元硬币的质量为$60÷10=6\ \mathrm{g}$。
对于函数$y=\frac{1500}{x}$，$k=1500＞0$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，
P点最远可到B点，此时x的最大值为$OC+BC=15+76=91\ \mathrm{cm}$，
此时y的最小值为$\frac{1500}{91}\approx16.48\ \mathrm{g}$，
所需硬币数量为$16.48÷6\approx2.75$，硬币数量为正整数，故至少需要3枚。
任务3
AB的总长度为$AC+BC=30+76=106\ \mathrm{cm}$，
设$OA=a\ \mathrm{cm}$，则$OB=(106-a)\ \mathrm{cm}$，
根据杠杆平衡原理，得$100a=6×(106-a)$，
解方程：$100a=636-6a$，
$106a=636$，
解得$a=6$，即OA的长为6 cm。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{y=\dfrac{1500}{x}}$；
任务2：一枚1元硬币质量为$\boldsymbol{6\ \mathrm{g}}$，至少要放置$\boldsymbol{3}$枚1元硬币天平才能保持平衡；
任务3：OA的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
反比例函数应用，杠杆平衡原理，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的称量场景，将数学知识与物理杠杆原理结合，既考查了反比例函数解析式的建立、性质的应用，也考查了一元一次方程的求解，解题时要注意结合实际意义对计算结果进行取舍，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7