1.阅读教材“数学探究 探寻‘勾股数’”的材料,回答下列问题:
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数?
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2 + b^2 = c^2$的过程;
(2)如果满足等式$a^2 + b^2 = c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,求证:$2mn,m^2 - n^2,m^2 + n^2$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,求空白部分的面积;
(4)请写出任意一组含有85的勾股数;
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2 + 4n + 4$($n$为任意正整数)表示勾股数中最大的数,求另外两个数的表达式.

1.(1)解:如答图所示.
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△MFG}+S_{△ANG}$
$=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=a^2+b^2+ab.$
又$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ABC}+S_{△CEF}$
$=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$
$=c^2+ab.$
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2.$
(2)证明:$\because (2mn)^2=4m^2n^2,(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2,$
$\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2=(m^2+n^2)^2.$
$\because m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)解:$\because a=4,b=8$,由(1)可知$S_{五边形ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$,
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$,
$\therefore$图中空白部分的面积为$112-4×16=48$.
(4)解:85,3612,3613(答案不唯一).求解过程如下：
不妨假设$m^2-n^2=85$,$m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore (m+n)(m-n)=85=1×85=5×17.$
①当$\begin{cases}m+n=85,\\m-n=1\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=43,\\n=42,\end{cases}$
$\therefore 2mn=3612,m^2+n^2=3613,$
$\therefore 85,3612,3613$是一组勾股数；
②当$\begin{cases}m+n=17,\\m-n=5\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=11,\\n=6,\end{cases}$
$\therefore 2mn=132,m^2+n^2=157,$
$\therefore 85,132,157$是一组勾股数.
(5)解:$\because (2n^2+4n+4)^2$
$=4n^4+16n^2+16+16n^3+16n^2+32n$
$=(4n^4+16n^3+16n^2)+(16n^2+32n+16)$
$=(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2,$
$\therefore$另外两个数的表达式分别为$2n^2+4n$,$4n+4$.