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1 已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东$30°$方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（
A.10海里
B.$5\sqrt{3}$海里
C.5海里
D.$\frac{5}{3}\sqrt{3}$海里
B
）。A.10海里
B.$5\sqrt{3}$海里
C.5海里
D.$\frac{5}{3}\sqrt{3}$海里
答案
B
解析
【分析】
解决这类方位角相关的几何题，第一步要先根据题干描述画出准确的示意图：以灯塔B为基准点，正东方向取点C，得BC=5海里；由货轮A在C的正北方向，可知AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠C=90°。再根据“货轮A在灯塔B的北偏东30°”，可算出∠ABC=90°-30°=60°。最后在直角三角形中利用锐角三角函数即可求出AC的长度，也就是海监船C与货轮A的距离。
【解析】
根据题意画出示意图，可知△ABC为直角三角形，且∠C=90°，BC=5海里。
∵ 货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，
∴ ∠ABC=90°-30°=60°。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ABC = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{AC}{BC}$，
代入数值可得：$\tan60° = \frac{AC}{5}$，
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $AC=5×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$（海里）。
即海监船C与货轮A的距离是$5\sqrt{3}$海里。
【答案】
B
【知识点】
方位角识别，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是根据方位角的定义构建出直角三角形，找准对应边和角的关系，结合三角函数公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解决这类方位角相关的几何题，第一步要先根据题干描述画出准确的示意图：以灯塔B为基准点，正东方向取点C，得BC=5海里；由货轮A在C的正北方向，可知AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠C=90°。再根据“货轮A在灯塔B的北偏东30°”，可算出∠ABC=90°-30°=60°。最后在直角三角形中利用锐角三角函数即可求出AC的长度，也就是海监船C与货轮A的距离。
【解析】
根据题意画出示意图，可知△ABC为直角三角形，且∠C=90°，BC=5海里。
∵ 货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，
∴ ∠ABC=90°-30°=60°。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ABC = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{AC}{BC}$，
代入数值可得：$\tan60° = \frac{AC}{5}$，
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $AC=5×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$（海里）。
即海监船C与货轮A的距离是$5\sqrt{3}$海里。
【答案】
B
【知识点】
方位角识别，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是根据方位角的定义构建出直角三角形，找准对应边和角的关系，结合三角函数公式计算即可。
【难度系数】
0.7
2 如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为$1:3$,它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处,则物体从A到B所经过的路程为(
A.$3\sqrt{10}$米
B.$2\sqrt{10}$米
C.$\sqrt{10}$米
D.9米
A
)。A.$3\sqrt{10}$米
B.$2\sqrt{10}$米
C.$\sqrt{10}$米
D.9米
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。本题中BC是铅直高度，已知BC=3米，坡度为1:3，可先求出水平宽度AC的长度，再结合△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是物体从A到B经过的路程。
【解析】
解：由题意可知BC⊥AC，BC=3米，
∵斜坡的坡度为1:3，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$，解得AC=9米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$（米）
即物体从A到B经过的路程为$3\sqrt{10}$米。
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，解题核心是准确理解坡度的含义，再结合直角三角形勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。本题中BC是铅直高度，已知BC=3米，坡度为1:3，可先求出水平宽度AC的长度，再结合△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是物体从A到B经过的路程。
【解析】
解：由题意可知BC⊥AC，BC=3米，
∵斜坡的坡度为1:3，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$，解得AC=9米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$（米）
即物体从A到B经过的路程为$3\sqrt{10}$米。
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，解题核心是准确理解坡度的含义，再结合直角三角形勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
3 如图，AB是河堤横断面的迎水坡，坡高AC=1米，水平距离BC=$\sqrt{3}$米，则斜坡AB的坡度为(
A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:2$
C.$1:\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1:\frac{2\sqrt{3}}{3}$
A
)。A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:2$
C.$1:\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1:\frac{2\sqrt{3}}{3}$
答案
A
解析
【分析】
首先明确坡度的定义是解题的核心：斜坡的坡度指的是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。解题时先从题干中提取对应的铅直高度和水平宽度的数值，直接代入计算比值即可，不需要计算斜边长度，避免和坡角的其他三角函数概念混淆。
【解析】
根据坡度的定义：斜坡坡度$i = \mathrm{铅直高度}:\mathrm{水平宽度}$。
由题意得，迎水坡的铅直高度$AC=1$米，水平宽度$BC=\sqrt{3}$米，代入公式计算：
$i=AC:BC=1:\sqrt{3}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对坡度定义的掌握程度，只要牢记坡度是铅直高度与水平宽度的比值，不与其他三角函数概念混淆，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
首先明确坡度的定义是解题的核心：斜坡的坡度指的是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。解题时先从题干中提取对应的铅直高度和水平宽度的数值，直接代入计算比值即可，不需要计算斜边长度，避免和坡角的其他三角函数概念混淆。
【解析】
根据坡度的定义：斜坡坡度$i = \mathrm{铅直高度}:\mathrm{水平宽度}$。
由题意得，迎水坡的铅直高度$AC=1$米，水平宽度$BC=\sqrt{3}$米，代入公式计算：
$i=AC:BC=1:\sqrt{3}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对坡度定义的掌握程度，只要牢记坡度是铅直高度与水平宽度的比值，不与其他三角函数概念混淆，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
④ 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的坡角是∠BAC，若坡比为2：5，则此斜坡的水平距离AC为
75 m
。答案
75 m
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：坡顶B的垂直高度BC=30m，斜坡AB的坡比为2:5，需求水平距离AC。首先回忆坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，对应本题中即为BC与AC的比值，因此可以列出比例式，代入已知的BC长度，即可计算出AC的数值。
【解析】
根据坡比的定义，坡比$i=\frac{\mathrm{垂直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{BC}{AC}$，
由题可知坡比为$2:5$，即$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{5}$，
已知$BC=30\ \mathrm{m}$，代入上式得：$\frac{30}{AC}=\frac{2}{5}$，
解得：$AC=\frac{30×5}{2}=75\ \mathrm{m}$。
【答案】
75 m
【知识点】
1. 坡比的定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对坡比概念的理解与运用，只要准确掌握坡比是垂直高度与水平宽度的比值，就能快速代入已知条件求解，是解直角三角形实际应用类的常考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确已知条件：坡顶B的垂直高度BC=30m，斜坡AB的坡比为2:5，需求水平距离AC。首先回忆坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，对应本题中即为BC与AC的比值，因此可以列出比例式，代入已知的BC长度，即可计算出AC的数值。
【解析】
根据坡比的定义，坡比$i=\frac{\mathrm{垂直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{BC}{AC}$，
由题可知坡比为$2:5$，即$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{5}$，
已知$BC=30\ \mathrm{m}$，代入上式得：$\frac{30}{AC}=\frac{2}{5}$，
解得：$AC=\frac{30×5}{2}=75\ \mathrm{m}$。
【答案】
75 m
【知识点】
1. 坡比的定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对坡比概念的理解与运用，只要准确掌握坡比是垂直高度与水平宽度的比值，就能快速代入已知条件求解，是解直角三角形实际应用类的常考题。
【难度系数】
0.9
5 如图,一艘船从 A 向北偏东$30°$的方向行驶 10 千米到达 B 处,再从 B 处向正西方向行驶20 千米到达 C 处,这时这艘船与 A 的距离为
$10\sqrt{3}$
千米。答案
$10\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道方位角背景下的解直角三角形应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。思考步骤如下：1. 过点A作AD垂直于BC所在直线，得到两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD；2. 利用已知的方位角和AB的长度，在Rt△ABD中计算出直角边AD、BD的长度；3. 结合BC的长度求出CD的长度，最后在Rt△ACD中利用勾股定理计算AC的长度，即为所求距离。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D。
由题意可知：AB=10km，BC=20km，∠BAD=30°，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中：
BD = AB·sin30° = 10×$\frac{1}{2}$ = 5（km）
AD = AB·cos30° = 10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $5\sqrt{3}$（km）
∵点C在B的正西方向，
∴CD = BC - BD = 20 - 5 = 15（km）
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AD^2 + CD^2}$ = $\sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 15^2}$ = $\sqrt{75 + 225}$ = $\sqrt{300}$ = $10\sqrt{3}$（km）
【答案】
$10\sqrt{3}$
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合方位角的含义合理添加辅助线构造直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中计算，解题时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
这是一道方位角背景下的解直角三角形应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。思考步骤如下：1. 过点A作AD垂直于BC所在直线，得到两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD；2. 利用已知的方位角和AB的长度，在Rt△ABD中计算出直角边AD、BD的长度；3. 结合BC的长度求出CD的长度，最后在Rt△ACD中利用勾股定理计算AC的长度，即为所求距离。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D。
由题意可知：AB=10km，BC=20km，∠BAD=30°，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中：
BD = AB·sin30° = 10×$\frac{1}{2}$ = 5（km）
AD = AB·cos30° = 10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $5\sqrt{3}$（km）
∵点C在B的正西方向，
∴CD = BC - BD = 20 - 5 = 15（km）
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AD^2 + CD^2}$ = $\sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 15^2}$ = $\sqrt{75 + 225}$ = $\sqrt{300}$ = $10\sqrt{3}$（km）
【答案】
$10\sqrt{3}$
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合方位角的含义合理添加辅助线构造直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中计算，解题时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
6 如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东$60°$方向上,一艘轮船从小岛A出发,由西向东航行24海里到达B处,这时测得灯塔P在北偏东$30°$方向上,如果轮船不改变航向继续向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是
20.8
海里。(结果保留一位小数,$\sqrt{3} \approx 1.73$)答案
20.8
解析
【分析】
这是一道方向角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：第一步，先过灯塔P向AB的延长线作垂线PD，垂足为D，PD就是我们要求的轮船到达灯塔P正南方时与灯塔P的距离；第二步，根据给出的方向角，分别计算出∠PAB和∠PBD的度数，利用三角形外角性质推出∠PAB=∠APB，得到等腰三角形，从而得出BP和AB长度相等；第三步，在直角三角形PBD中，利用正弦三角函数计算PD的长度即可。
【解析】
解：过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D。
由题意可知：
∠PAB = 90° - 60° = 30°，
∠PBD = 90° - 30° = 60°，
∵∠PBD是△ABP的外角，
∴∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 60° - 30° = 30°，
∴∠PAB = ∠APB，
∴BP = AB = 24海里。
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=60°，
∴$PD = BP · \sin60° = 24 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} ≈ 12 × 1.73 = 20.76 ≈ 20.8$（海里）。
【答案】
20.8
【知识点】
方向角的识别；等腰三角形的判定；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是通过方向角推导角的数量关系，利用等腰三角形的性质转化边长，再结合三角函数求出未知线段长度，解题时注意辅助线的构造要合理。
【难度系数】
0.7
这是一道方向角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：第一步，先过灯塔P向AB的延长线作垂线PD，垂足为D，PD就是我们要求的轮船到达灯塔P正南方时与灯塔P的距离；第二步，根据给出的方向角，分别计算出∠PAB和∠PBD的度数，利用三角形外角性质推出∠PAB=∠APB，得到等腰三角形，从而得出BP和AB长度相等；第三步，在直角三角形PBD中，利用正弦三角函数计算PD的长度即可。
【解析】
解：过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D。
由题意可知：
∠PAB = 90° - 60° = 30°，
∠PBD = 90° - 30° = 60°，
∵∠PBD是△ABP的外角，
∴∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 60° - 30° = 30°，
∴∠PAB = ∠APB，
∴BP = AB = 24海里。
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=60°，
∴$PD = BP · \sin60° = 24 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} ≈ 12 × 1.73 = 20.76 ≈ 20.8$（海里）。
【答案】
20.8
【知识点】
方向角的识别；等腰三角形的判定；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是通过方向角推导角的数量关系，利用等腰三角形的性质转化边长，再结合三角函数求出未知线段长度，解题时注意辅助线的构造要合理。
【难度系数】
0.7
7 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，$AB=3\ \mathrm{m}$，已知木箱高$BE=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，斜面坡角为$30°$，则木箱端点$E$距地面$AC$的高度$EF$为
3
$\mathrm{m}$。答案
3
解析
【分析】
要计算木箱端点E距地面AC的高度EF，可通过作辅助线分割线段求解：过点B作BG⊥AC于点G、BD⊥EF于点D，构造矩形BDFG，可得DF=BG，即DF等于点B到AC的垂直距离，可在Rt△ABG中利用30°角的三角函数求出；再结合长方体邻边垂直的性质，求出∠EBD的度数，在Rt△EBD中求出ED的长度，ED与DF相加即可得到EF的总长度。
【解析】
解：过点B作BG⊥AC于点G，BD⊥EF于点D。
∵EF⊥AC，BG⊥AC，BD⊥EF，
∴四边形BDFG是矩形，可得DF=BG。
在Rt△ABG中，∠A=30°，AB=3m，
∴$BG=AB·\sin30°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$，即$DF=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
∵BD//AC，
∴∠ABD=180°-∠A=150°，
∵木箱是长方体，
∴EB⊥AB，即∠ABE=90°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=150°-90°=60°。
在Rt△EBD中，BE=$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，∠EBD=60°，
∴$ED=BE·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$，
∴$EF=ED+DF=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
3
【知识点】
解直角三角形应用，坡角的概念，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的典型应用，通过作辅助线将待求线段拆分后分别求解，解题的关键是理清各角之间的数量关系，熟练运用特殊角的三角函数值计算。
【难度系数】
0.6
要计算木箱端点E距地面AC的高度EF，可通过作辅助线分割线段求解：过点B作BG⊥AC于点G、BD⊥EF于点D，构造矩形BDFG，可得DF=BG，即DF等于点B到AC的垂直距离，可在Rt△ABG中利用30°角的三角函数求出；再结合长方体邻边垂直的性质，求出∠EBD的度数，在Rt△EBD中求出ED的长度，ED与DF相加即可得到EF的总长度。
【解析】
解：过点B作BG⊥AC于点G，BD⊥EF于点D。
∵EF⊥AC，BG⊥AC，BD⊥EF，
∴四边形BDFG是矩形，可得DF=BG。
在Rt△ABG中，∠A=30°，AB=3m，
∴$BG=AB·\sin30°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$，即$DF=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
∵BD//AC，
∴∠ABD=180°-∠A=150°，
∵木箱是长方体，
∴EB⊥AB，即∠ABE=90°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=150°-90°=60°。
在Rt△EBD中，BE=$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，∠EBD=60°，
∴$ED=BE·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$，
∴$EF=ED+DF=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
3
【知识点】
解直角三角形应用，坡角的概念，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的典型应用，通过作辅助线将待求线段拆分后分别求解，解题的关键是理清各角之间的数量关系，熟练运用特殊角的三角函数值计算。
【难度系数】
0.6
