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1. 把一个合数用几个()的形式表示出来，叫作()。
答案
质数相乘
分解质因数
分解质因数
解析
【分析】
这道题考查基础数学概念的记忆，我们可以通过回忆分解质因数的相关定义解题。首先明确，对合数进行分解时，要求拆分出的每个因数都必须是质数，把合数写成这些质数相乘的形式，这个操作的名称就是分解质因数，以此就能确定两个空缺的内容。
【解析】
根据分解质因数的定义可知：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。因此第一个空填写“质数相乘”，第二个空填写“分解质因数”。
【答案】
质数相乘；分解质因数
【知识点】
分解质因数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察学生对核心概念的识记情况，熟练掌握课本基础定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查基础数学概念的记忆，我们可以通过回忆分解质因数的相关定义解题。首先明确，对合数进行分解时，要求拆分出的每个因数都必须是质数，把合数写成这些质数相乘的形式，这个操作的名称就是分解质因数，以此就能确定两个空缺的内容。
【解析】
根据分解质因数的定义可知：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。因此第一个空填写“质数相乘”，第二个空填写“分解质因数”。
【答案】
质数相乘；分解质因数
【知识点】
分解质因数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察学生对核心概念的识记情况，熟练掌握课本基础定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 42 的质因数有（）。
答案
2，3，7
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确质因数的含义：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。解题时需要先把42分解质因数，也就是把42写成几个质数相乘的形式，这些相乘的质数就是42的质因数。具体可以用短除法操作，从最小的质数开始除42，直到除得的商是质数为止，所有的除数和最后的商就是42的质因数。
【解析】
我们用短除法分解42的质因数：
1. 42是偶数，先用最小的质数2去除42，得到商为21，2是质数，先记录下来；
2. 再用质数3去除21，得到商为7，3是质数，记录下来；
3. 7本身就是质数，不需要再继续除。
因此42分解质因数的结果为$42 = 2 × 3 × 7$，对应的质因数就是2、3、7。
【答案】
2，3，7
【知识点】
质因数的概念；分解质因数
【点评】
本题考查质因数相关基础内容，解题关键是掌握分解质因数的方法，注意质因数需要同时满足两个条件：一是该数的因数，二是本身为质数，不要和普通因数混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确质因数的含义：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。解题时需要先把42分解质因数，也就是把42写成几个质数相乘的形式，这些相乘的质数就是42的质因数。具体可以用短除法操作，从最小的质数开始除42，直到除得的商是质数为止，所有的除数和最后的商就是42的质因数。
【解析】
我们用短除法分解42的质因数：
1. 42是偶数，先用最小的质数2去除42，得到商为21，2是质数，先记录下来；
2. 再用质数3去除21，得到商为7，3是质数，记录下来；
3. 7本身就是质数，不需要再继续除。
因此42分解质因数的结果为$42 = 2 × 3 × 7$，对应的质因数就是2、3、7。
【答案】
2，3，7
【知识点】
质因数的概念；分解质因数
【点评】
本题考查质因数相关基础内容，解题关键是掌握分解质因数的方法，注意质因数需要同时满足两个条件：一是该数的因数，二是本身为质数，不要和普通因数混淆。
【难度系数】
0.8
3. 在$15=3×5$中,()是()的质因数;在$12=2×2×3$中,()是()的质因数。
答案
3和5，15，2和3，12。
解析
【分析】
解题前先回忆质因数的定义：如果一个质数是某个合数的因数，那么这个质数就叫做这个合数的质因数，它需要同时满足两个条件：①本身是质数；②是该合数的因数。我们先看第一个等式：15是合数，它被拆成3和5相乘，先判断3和5都是质数，同时都能整除15，符合质因数的要求；再看第二个等式：12是合数，拆成2×2×3，其中2和3是质数，都能整除12，符合质因数要求，注意相同的质因数不需要重复罗列。
【解析】
首先明确质因数的概念：既是质数，又是某个合数的因数的数，叫做这个合数的质因数。
1. 对于$15=3×5$：3和5都是质数，且都是15的因数，因此3和5是15的质因数。
2. 对于$12=2×2×3$：2和3都是质数，且都是12的因数，因此2和3是12的质因数。
【答案】
3和5，15，2和3，12
【知识点】
1. 质因数的概念
2. 分解质因数
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对质因数含义的理解，解题时要抓住质因数的两个判定标准，注意重复出现的质因数不需要重复填写。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆质因数的定义：如果一个质数是某个合数的因数，那么这个质数就叫做这个合数的质因数，它需要同时满足两个条件：①本身是质数；②是该合数的因数。我们先看第一个等式：15是合数，它被拆成3和5相乘，先判断3和5都是质数，同时都能整除15，符合质因数的要求；再看第二个等式：12是合数，拆成2×2×3，其中2和3是质数，都能整除12，符合质因数要求，注意相同的质因数不需要重复罗列。
【解析】
首先明确质因数的概念：既是质数，又是某个合数的因数的数，叫做这个合数的质因数。
1. 对于$15=3×5$：3和5都是质数，且都是15的因数，因此3和5是15的质因数。
2. 对于$12=2×2×3$：2和3都是质数，且都是12的因数，因此2和3是12的质因数。
【答案】
3和5，15，2和3，12
【知识点】
1. 质因数的概念
2. 分解质因数
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对质因数含义的理解，解题时要抓住质因数的两个判定标准，注意重复出现的质因数不需要重复填写。
【难度系数】
0.9
4. 有3个小朋友，他们的年龄正好是3个连续的自然数，且他们年龄的积是21，这3个小朋友的年龄分别是()岁、()岁、()岁。
答案
答：这3个小朋友的年龄分别是5岁、6岁、7岁。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以用分解质因数的方法推导：首先题目此处存在印刷笔误，3个连续自然数的年龄积应为210。我们先把这个乘积拆分成若干个质数相乘的形式，再把这些质数重新组合，凑出3个连续的自然数即可。也可以先估算三个连续数的大致范围：比如4×5×6=120，6×7×8=336，可知这三个数在4~8之间，再结合分解质因数的结果验证即可。
【解析】
1. 先对年龄乘积210分解质因数：
210 = 2 × 3 × 5 × 7
2. 组合质因数凑连续自然数：观察质因数，将2和3相乘得6，剩下的质因数为5和7，刚好得到3个连续的自然数：5、6、7。
3. 验证：5×6×7=210，符合题目条件。
【答案】
5、6、7
【知识点】
分解质因数，连续自然数的特点，整数乘法
【点评】
本题考察分解质因数的灵活运用，核心思路是通过拆分乘积再重组得到符合要求的数，属于对基础知识点的应用考察，掌握分解质因数的方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以用分解质因数的方法推导：首先题目此处存在印刷笔误，3个连续自然数的年龄积应为210。我们先把这个乘积拆分成若干个质数相乘的形式，再把这些质数重新组合，凑出3个连续的自然数即可。也可以先估算三个连续数的大致范围：比如4×5×6=120，6×7×8=336，可知这三个数在4~8之间，再结合分解质因数的结果验证即可。
【解析】
1. 先对年龄乘积210分解质因数：
210 = 2 × 3 × 5 × 7
2. 组合质因数凑连续自然数：观察质因数，将2和3相乘得6，剩下的质因数为5和7，刚好得到3个连续的自然数：5、6、7。
3. 验证：5×6×7=210，符合题目条件。
【答案】
5、6、7
【知识点】
分解质因数，连续自然数的特点，整数乘法
【点评】
本题考察分解质因数的灵活运用，核心思路是通过拆分乘积再重组得到符合要求的数，属于对基础知识点的应用考察，掌握分解质因数的方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
5. 一个两位数是质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是()。(填一个即可)
答案
13（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先要明确质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数是质数。要满足“交换个位和十位数字后仍是质数”，首先要排除不符合要求的数字：如果两位数的个位是0、2、4、5、6、8，那么这个数要么是2的倍数，要么是5的倍数，除了2、5本身之外都是合数，因此这个两位数的十位和个位数字只能从1、3、7、9中选择。接下来从这些数字组成的两位数质数里，验证交换数位后的数是否也是质数，找到符合要求的数即可。
【解析】
1. 明确质数概念：质数是大于1的自然数，且只有1和它本身两个因数。
2. 筛选可用数字：若两位数的个位为0、2、4、5、6、8，该数会是2或5的倍数，除特殊情况外均为合数，因此两个数位的数字只能选1、3、7、9。
3. 举例验证：例如数字13，它的因数只有1和13，属于质数；交换十位和个位得到31，31的因数也只有1和31，同样是质数，符合题目要求。
【答案】
13（答案不唯一）
【知识点】
质数的认识、数位的认识
【点评】
本题属于质数概念的应用类题目，需要结合质数的特征先缩小可选数字的范围，再通过验证得到结果，能有效考查对质数概念的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数是质数。要满足“交换个位和十位数字后仍是质数”，首先要排除不符合要求的数字：如果两位数的个位是0、2、4、5、6、8，那么这个数要么是2的倍数，要么是5的倍数，除了2、5本身之外都是合数，因此这个两位数的十位和个位数字只能从1、3、7、9中选择。接下来从这些数字组成的两位数质数里，验证交换数位后的数是否也是质数，找到符合要求的数即可。
【解析】
1. 明确质数概念：质数是大于1的自然数，且只有1和它本身两个因数。
2. 筛选可用数字：若两位数的个位为0、2、4、5、6、8，该数会是2或5的倍数，除特殊情况外均为合数，因此两个数位的数字只能选1、3、7、9。
3. 举例验证：例如数字13，它的因数只有1和13，属于质数；交换十位和个位得到31，31的因数也只有1和31，同样是质数，符合题目要求。
【答案】
13（答案不唯一）
【知识点】
质数的认识、数位的认识
【点评】
本题属于质数概念的应用类题目，需要结合质数的特征先缩小可选数字的范围，再通过验证得到结果，能有效考查对质数概念的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 有一个长方形,长和宽都是整厘米数,它的面积是231平方厘米。这个长方形的长和宽可能分别是()厘米和()厘米。
答案
231 = 11 × 21
答：这个长方形的长和宽可能分别是21厘米和11厘米。
（答案不唯一，也可填77和3、33和7、231和1等符合条件的整数对）
答：这个长方形的长和宽可能分别是21厘米和11厘米。
（答案不唯一，也可填77和3、33和7、231和1等符合条件的整数对）
解析
【分析】
首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，已知面积是231平方厘米，且长和宽都是整厘米数，所以本题本质是找出乘积为231的两个正整数，分别作为长方形的长和宽（通常长大于宽）。解题的核心是先找出231的所有正因数，再将因数两两配对即可得到所有符合条件的长、宽组合。
【解析】
1. 根据长方形面积公式可得：长×宽=231平方厘米，且长、宽均为正整数，长≥宽。
2. 分解231的质因数：231各位数字之和为2+3+1=6，能被3整除，计算得231÷3=77；77可拆分为7×11，因此231=3×7×11。
3. 将质因数组合为两个数相乘的形式，可得以下符合要求的组合：
1×231=231，对应长231厘米、宽1厘米
3×77=231，对应长77厘米、宽3厘米
7×33=231，对应长33厘米、宽7厘米
11×21=231，对应长21厘米、宽11厘米
任选一组填写即可。
【答案】
示例：21；11（答案不唯一，77和3、33和7、231和1均正确）
【知识点】
长方形面积计算、因数的应用、分解质因数
【点评】
本题结合了图形面积计算和整数因数的知识点，解题时需要先明确面积公式对应的数量关系，再通过找一个数的因数得到所有符合条件的长和宽组合，注意长和宽均为正整数的限定条件。
【难度系数】
0.7
首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，已知面积是231平方厘米，且长和宽都是整厘米数，所以本题本质是找出乘积为231的两个正整数，分别作为长方形的长和宽（通常长大于宽）。解题的核心是先找出231的所有正因数，再将因数两两配对即可得到所有符合条件的长、宽组合。
【解析】
1. 根据长方形面积公式可得：长×宽=231平方厘米，且长、宽均为正整数，长≥宽。
2. 分解231的质因数：231各位数字之和为2+3+1=6，能被3整除，计算得231÷3=77；77可拆分为7×11，因此231=3×7×11。
3. 将质因数组合为两个数相乘的形式，可得以下符合要求的组合：
1×231=231，对应长231厘米、宽1厘米
3×77=231，对应长77厘米、宽3厘米
7×33=231，对应长33厘米、宽7厘米
11×21=231，对应长21厘米、宽11厘米
任选一组填写即可。
【答案】
示例：21；11（答案不唯一，77和3、33和7、231和1均正确）
【知识点】
长方形面积计算、因数的应用、分解质因数
【点评】
本题结合了图形面积计算和整数因数的知识点，解题时需要先明确面积公式对应的数量关系，再通过找一个数的因数得到所有符合条件的长和宽组合，注意长和宽均为正整数的限定条件。
【难度系数】
0.7
7. A,B,C是三个不同的质数,且$A-B=C$,若得数最小,那么$A=(\quad\quad),B=(\quad\quad),C=(\quad\quad)$。
答案
A=(5), B=(3), C=(2)
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先明确核心要求：要使得数C最小，需先让C取最小的质数，再匹配符合条件的A和B；2. 回忆质数的特点：最小的质数是2，且除2外所有质数都是奇数，奇数减奇数的差是偶数，偶数中只有2是质数；3. 先尝试最小的质数2作为C，再根据A=B+C枚举验证B的取值，找到同时满足A、B都是质数且三个数互不相同的组合即可。
【解析】
1. 质数是指只有1和它本身两个因数的数，最小的质数是2，要让C最小，优先让C取最小的质数2。
2. 根据减法各部分的关系可得：A = B + C = B + 2，现在需要找质数B，使得B+2也是质数，且A、B、C三个数互不相同。
3. 从小到大枚举质数B验证：
若B=2，A=2+2=4，4不是质数，不符合要求；
若B=3，A=3+2=5，5是质数，且A=5、B=3、C=2都是不同的质数，符合所有条件。
【答案】
A=(5), B=(3), C=(2)
【知识点】
1. 质数的认识 2. 减法各部分关系
【点评】
本题重点考查对质数特征的灵活运用，解题的突破口是先确定最小的C的取值，再通过小范围枚举验证即可得到结果，解题时要注意2是唯一的偶质数这一特殊性质的运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先明确核心要求：要使得数C最小，需先让C取最小的质数，再匹配符合条件的A和B；2. 回忆质数的特点：最小的质数是2，且除2外所有质数都是奇数，奇数减奇数的差是偶数，偶数中只有2是质数；3. 先尝试最小的质数2作为C，再根据A=B+C枚举验证B的取值，找到同时满足A、B都是质数且三个数互不相同的组合即可。
【解析】
1. 质数是指只有1和它本身两个因数的数，最小的质数是2，要让C最小，优先让C取最小的质数2。
2. 根据减法各部分的关系可得：A = B + C = B + 2，现在需要找质数B，使得B+2也是质数，且A、B、C三个数互不相同。
3. 从小到大枚举质数B验证：
若B=2，A=2+2=4，4不是质数，不符合要求；
若B=3，A=3+2=5，5是质数，且A=5、B=3、C=2都是不同的质数，符合所有条件。
【答案】
A=(5), B=(3), C=(2)
【知识点】
1. 质数的认识 2. 减法各部分关系
【点评】
本题重点考查对质数特征的灵活运用，解题的突破口是先确定最小的C的取值，再通过小范围枚举验证即可得到结果，解题时要注意2是唯一的偶质数这一特殊性质的运用。
【难度系数】
0.7
二、分解质因数。
1. 把28和45用几个质数相乘的形式表示出来。
28=(
45=(
1. 把28和45用几个质数相乘的形式表示出来。
28=(
2
)×(2
)×(7
)45=(
3
)×(3
)×(5
)答案
1. 28=2×2×7，45=3×3×5
解析
【分析】
分解质因数的核心是把合数拆成若干个质数相乘的形式，我们用逐步拆分法解题：先找到合数最小的质因数，将合数拆成“质数×另一个数”的形式，若得到的另一个数仍是合数，就重复上述拆分步骤，直到所有乘数都是质数即可。
拆分28时，先找它的质因数2，拆出2后得到14，14还是合数，继续拆分直到所有数都是质数；拆分45时，先根据个位是5的特征找到质因数5，拆出5后得到9，9是合数，继续拆分即可。
【解析】
1. 分解28：
28是偶数，最小质因数为2，所以28=2×14；14还是偶数，继续拆分为14=2×7，2和7都是质数，最终可得28=2×2×7。
2. 分解45：
45的个位是5，是5的倍数，最小质因数可选5，所以45=9×5；9是3的倍数，继续拆分为9=3×3，3和5都是质数，最终可得45=3×3×5。
【答案】
28=2×2×7，45=3×3×5
【知识点】
分解质因数、质数与合数
【点评】
本题是分解质因数的基础题，解题关键是掌握逐步拆分合数的方法，熟记2、3、5的倍数特征能帮助我们快速找到质因数，这类题是后续学习公倍数、公因数的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
分解质因数的核心是把合数拆成若干个质数相乘的形式，我们用逐步拆分法解题：先找到合数最小的质因数，将合数拆成“质数×另一个数”的形式，若得到的另一个数仍是合数，就重复上述拆分步骤，直到所有乘数都是质数即可。
拆分28时，先找它的质因数2，拆出2后得到14，14还是合数，继续拆分直到所有数都是质数；拆分45时，先根据个位是5的特征找到质因数5，拆出5后得到9，9是合数，继续拆分即可。
【解析】
1. 分解28：
28是偶数，最小质因数为2，所以28=2×14；14还是偶数，继续拆分为14=2×7，2和7都是质数，最终可得28=2×2×7。
2. 分解45：
45的个位是5，是5的倍数，最小质因数可选5，所以45=9×5；9是3的倍数，继续拆分为9=3×3，3和5都是质数，最终可得45=3×3×5。
【答案】
28=2×2×7，45=3×3×5
【知识点】
分解质因数、质数与合数
【点评】
本题是分解质因数的基础题，解题关键是掌握逐步拆分合数的方法，熟记2、3、5的倍数特征能帮助我们快速找到质因数，这类题是后续学习公倍数、公因数的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2. 利用短除法把30和24分解质因数。
$\begin{array}{r} 3\enclose{longdiv} {30}\end{array}$ ……先除以质数( )
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {10}\end{array}$ ……再除以质数( )
5 ……除到商是()为止
把每个除数和最后的商写成连乘的形式：
$30=(\ )×(\ )×(\ )$
$\begin{array}{r} 3\enclose{longdiv} {30}\end{array}$ ……先除以质数( )
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {10}\end{array}$ ……再除以质数( )
5 ……除到商是()为止
把每个除数和最后的商写成连乘的形式：
$30=(\ )×(\ )×(\ )$
答案
2. 3 2 质数 3 2 5
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆短除法分解质因数的规则：分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，用短除法计算时，每次都要用能整除当前数的质数当除数，一直除到最后的商是质数为止，最后把所有除数和最后的商写成连乘形式，就是该数的质因数分解结果。我们顺着题目给出的短除步骤依次判断即可：第一步用3除30，3是符合要求的质数；接下来得到的商是10，找能整除10的质数即可，除到商为质数就停止运算，最后把所有除数和最终的商连乘即可。
【解析】
1. 第一步短除：给出的除数是3，3是质数，且30÷3=10，所以第一个括号填3；
2. 第二步短除：对商10继续分解，选择能整除10的质数2，10÷2=5，所以第二个括号填2；
3. 此时得到的商是5，5本身是质数，不需要再继续除，所以第三个括号填质数；
4. 分解质因数的结果要把所有除数（3、2）和最后的商（5）连乘，因此$30=3×2×5$，后面三个括号依次填3、2、5。
【答案】
3；2；质数；3；2；5
【知识点】
分解质因数；短除法；质数的认识
【点评】
这道题是分解质因数的基础题型，重点考查短除法的操作步骤，熟练掌握分解质因数的规则就能快速作答，这类知识是后续求最大公因数、最小公倍数的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆短除法分解质因数的规则：分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，用短除法计算时，每次都要用能整除当前数的质数当除数，一直除到最后的商是质数为止，最后把所有除数和最后的商写成连乘形式，就是该数的质因数分解结果。我们顺着题目给出的短除步骤依次判断即可：第一步用3除30，3是符合要求的质数；接下来得到的商是10，找能整除10的质数即可，除到商为质数就停止运算，最后把所有除数和最终的商连乘即可。
【解析】
1. 第一步短除：给出的除数是3，3是质数，且30÷3=10，所以第一个括号填3；
2. 第二步短除：对商10继续分解，选择能整除10的质数2，10÷2=5，所以第二个括号填2；
3. 此时得到的商是5，5本身是质数，不需要再继续除，所以第三个括号填质数；
4. 分解质因数的结果要把所有除数（3、2）和最后的商（5）连乘，因此$30=3×2×5$，后面三个括号依次填3、2、5。
【答案】
3；2；质数；3；2；5
【知识点】
分解质因数；短除法；质数的认识
【点评】
这道题是分解质因数的基础题型，重点考查短除法的操作步骤，熟练掌握分解质因数的规则就能快速作答，这类知识是后续求最大公因数、最小公倍数的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
