5. 自然数(0除外)按因数的个数分,可以分为()。

A.质数和合数
B.奇数和偶数
C.质数、合数和0
D.质数、合数和1

5.D

【分析】
这道题考查自然数（0除外）按因数个数的分类知识，解题思路如下：第一步先明确分类标准是“因数的个数”，先排除不按这个标准分类的选项；第二步回忆不同数的因数个数特点：1的因数只有1个，质数只有2个因数，合数至少有3个因数；第三步结合题目“0除外”的限定，逐一排查选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确分类规则：自然数（0除外）按因数的个数可分为三类：
1. 1：只有1个因数（就是它本身），既不属于质数也不属于合数；
2. 质数：只有1和它本身两个因数；
3. 合数：除了1和它本身还有其他因数。
接下来逐个分析选项：
A选项：仅包含质数和合数，遗漏了1，错误；
B选项：奇数和偶数是按照是否为2的倍数分类，和因数个数的分类标准无关，错误；
C选项：包含了0，不符合题目“自然数（0除外）”的限定，错误；
D选项：包含了质数、合数和1，符合分类规则，正确。
【答案】
D
【知识点】
质数与合数的定义，自然数的分类，因数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点主要有三个：一是混淆自然数的分类标准，和奇数、偶数的分类弄混；二是遗漏1既不是质数也不是合数这个特殊点；三是忽略题目中0除外的限定。只要掌握相关基础定义，就能准确作答。
【难度系数】
0.8

四、判断题。(对的画“√”,错的画“×”)
1. 一个合数至少得有三个因数。 ()
2. 两个质数相乘,积一定是合数。 ()
3. 7的倍数都是合数。 ()
4. 自然数中,是2的倍数的数叫作合数。 ()
5. 所有非0自然数不是质数就是合数。 ()
6. 所有的奇数都是质数,所有的偶数都是合数。 ()

1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.×

【分析】
解答这类判断题需紧扣质数、合数、奇数、偶数、倍数的基础定义，针对表述绝对的题目可通过寻找反例验证：若存在不符合表述的反例则题目错误，完全符合定义则题目正确。首先明确核心概念：质数指只有1和它本身两个因数的数；合数指除了1和它本身还有其他因数的数；1既不是质数也不是合数；奇数是不能被2整除的数，偶数是能被2整除的数。
【解析】
1. 根据合数的定义，合数除了1和它本身外还有其他因数，因此至少有3个因数，表述正确。
2. 两个质数相乘的积，因数至少包含1、这两个质数、积本身共4个因数，满足合数的定义，因此积一定是合数，表述正确。
3. 7的最小倍数是它本身，7只有1和7两个因数，属于质数，不是合数，表述错误。
4. 2是2的倍数，但2只有1和2两个因数，属于质数，不是合数；合数的判断依据是因数个数，和是否为2的倍数无关，表述错误。
5. 非0自然数中的1只有1个因数，它既不是质数也不是合数，表述错误。
6. 举反例：9是奇数，但它有1、3、9三个因数，属于合数；2是偶数，但它只有1和2两个因数，属于质数，表述错误。
【答案】
1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.×
【知识点】
1.质数与合数的定义
2.奇数与偶数的定义
3.倍数的认识
【点评】
本题考查数的分类相关基础概念，易错点是容易忽略1、2、7等特殊数的性质，解题时结合定义、通过举反例验证可提升判断的准确率。
【难度系数】
0.7

五、拓展运用。
1. 在括号里填上合适的质数。
16=()+()
30=()+()
35=()×()
32=()+()
10=()+()=()×()=()−()
21=()+()=()×()=()+()+()

16=(5)+(11)
30=(13)+(17)
35=(5)×(7)
32=(13)+(19)
10=(3)+(7)=(2)×(5)=(13)-(3)
21=(2)+(19)=(3)×(7)=(3)+(7)+(11)
注：部分等式答案不唯一，填写符合要求的质数即可。

【分析】
解题前首先要明确质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数叫做质数，我们可以先列出常用的较小质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29等。解题时根据等式的运算类型选择对应方法：①拆两个质数的和：如果和是奇数，那么其中一个质数一定是唯一的偶质数2，再用和减2验证另一个数是不是质数即可；如果和是偶数，从常用质数里凑两个数相加等于和即可。②拆质数的乘积：直接对乘积分解质因数就能得到结果。③拆质数的减法：先确定减数是质数，用差加减数得到被减数，验证被减数是质数即可。④拆三个质数的和：从较小的质数开始尝试组合，直到三个数都是质数且和符合要求即可，另外注意部分等式答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
我们逐个式子求解：
1. 求16的两个质数加数：16是偶数，找两个质数相加得16，可得5+11=16，5和11都是质数，符合要求。
2. 求30的两个质数加数：30是偶数，可得13+17=30，13和17都是质数，符合要求。
3. 求35的两个质数因数：分解质因数得35=5×7，5和7都是质数，符合要求。
4. 求32的两个质数加数：32是偶数，可得13+19=32，13和19都是质数，符合要求。
5. 拆分10：
加法：3+7=10，3和7都是质数；
乘法：分解质因数得10=2×5，2和5都是质数；
减法：选质数3作为减数，10+3=13，13是质数，可得13-3=10，符合要求。
6. 拆分21：
两个数相加：21是奇数，所以其中一个加数是2，21-2=19，19是质数，可得2+19=21；
乘法：分解质因数得21=3×7，3和7都是质数；
三个数相加：尝试小质数组合，3+7+11=21，三个数都是质数，符合要求。
注：以上部分等式答案不唯一，填入符合要求的质数即可。
【答案】
16=(5)+(11)
30=(13)+(17)
35=(5)×(7)
32=(13)+(19)
10=(3)+(7)=(2)×(5)=(13)-(3)
21=(2)+(19)=(3)×(7)=(3)+(7)+(11)
注：部分等式答案不唯一，填写符合要求的质数即可。
【知识点】
质数的概念；分解质因数；整数四则运算
【点评】
本题重点考查对质数概念的理解和灵活应用，需要熟记常见的较小质数，结合奇偶性等技巧能快速找到合适的答案，解题后要注意验证填入的数是否满足质数的要求，部分答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.7

2. 一个三位数,个位上的数字既是奇数又是合数,十位上的数字既是质数又是偶数,百位上的数字既不是质数也不是合数,这个三位数是多少?

个位上既是奇数又是合数的一位数是9
十位上既是质数又是偶数的一位数是2
百位上既不是质数也不是合数的一位数是1
$1×100 + 2×10 + 9 = 129$
答：这个三位数是129。

【分析】
要得出这个三位数，需要分别确定个位、十位、百位上的数字，解题思路如下：首先明确每个数位上的数字都是0~9的一位数，再根据题目给出的三类数的定义，逐一匹配对应数位的数字，最后按照数位的计数单位组合成三位数即可。
【解析】
1. 确定个位数字：一位数中，既是奇数又是合数的数是9；
2. 确定十位数字：一位数中，既是质数又是偶数的数是2；
3. 确定百位数字：一位数中，既不是质数也不是合数的数是1；
4. 组合成三位数：$1×100 + 2×10 + 9 = 129$。
【答案】
129
【知识点】
奇数与偶数；质数与合数；数位的认识
【点评】
本题侧重考查数的分类相关概念的辨析，解题的核心是准确记忆特殊数字的属性，比如唯一的偶质数是2、1既不是质数也不是合数等，掌握这些特殊结论就能快速推出结果。
【难度系数】
0.7

3. 甲、乙、丙三人讨论两个质数之和的问题,甲说:“两个质数之和一定是质数。”
乙说:“两个质数之和一定不是质数。”丙说:“两个质数之和不一定是质数。”
你认为谁说得对？请举例说明。

2+3=5
3+5=8
答：丙说得对。两个质数相加，和有可能是质数，也有可能不是质数，例如2和3都是质数，它们的和5是质数；3和5都是质数，它们的和8不是质数，因此两个质数之和不一定是质数。

【分析】
解题时首先要明确质数的定义：只有1和它本身两个因数的数叫作质数。对于三人的说法，我们可以用举反例的方法判断对错：如果说法是“一定”类的绝对表述，只要能举出1个不符合的反例，就能证明该说法错误。首先找反例推翻甲“两个质数之和一定是质数”的说法，再找反例推翻乙“两个质数之和一定不是质数”的说法，最后验证丙的说法是否符合实际情况即可。
【解析】
我们逐一验证三人的说法：
1. 验证甲的说法：取质数3和5，两者的和是3+5=8，8除了1和8之外还有因数2、4，是合数，说明甲的说法错误。
2. 验证乙的说法：取质数2和3，两者的和是2+3=5，5只有1和5两个因数，是质数，说明乙的说法错误。
3. 验证丙的说法：通过上面两个例子可知，两个质数相加的和，可能是质数，也可能是合数，因此“两个质数之和不一定是质数”的说法是正确的。
【答案】
2+3=5
3+5=8
答：丙说得对。两个质数相加，和有可能是质数，也有可能不是质数，例如2和3都是质数，它们的和5是质数；3和5都是质数，它们的和8不是质数，因此两个质数之和不一定是质数。
【知识点】
1. 质数的认识
2. 事件的确定性与不确定性
【点评】
本题结合质数的概念考查对绝对表述和不确定表述的判断能力，举反例是解决这类“一定”类判断问题的常用方法，解题时要注意特殊质数2的运用，它是唯一的偶质数，经常是质数运算类题目的突破口。
【难度系数】
0.7