1. 下列说法中，正确的是 （）

A.长度相等的弧是等弧
B.在同圆或等圆中，等弦对等弧
C.优弧一定比劣弧长
D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

1. D

【分析】
本题考查圆的基本性质相关概念辨析，解题时需紧扣各概念的前提条件逐个分析选项：首先明确等弧、优弧劣弧的定义，再回忆同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理，注意所有涉及弧、弦、圆心角等量关系的结论，大多需要“同圆或等圆”的前提，同时要注意一条弦对应两条弧的特点，避免忽略限定条件判断错误。
【解析】
我们结合圆的相关性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，仅长度相等的弧，弧度不一定相等，且未说明在同圆或等圆中，无法重合，不属于等弧，故A错误。
2. 分析选项B：在同圆或等圆中，任意一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），等弦仅能保证所对的劣弧分别相等、优弧分别相等，笼统表述“等弦对等弧”是错误的，故B错误。
3. 分析选项C：优弧和劣弧的长度比较必须建立在同圆或等圆的前提下，不同半径的圆中，半径较小的圆的优弧长度可能小于半径较大的圆的劣弧长度，故C错误。
4. 分析选项D：根据圆心角与弦的关系定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，表述符合定理要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 等弧的定义
2. 圆心角、弧、弦的关系
3. 优弧与劣弧的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易遗漏“同圆或等圆”的前提条件，以及忽略一条弦对应两条弧的特点，学习时要注意掌握概念和定理的完整表述，关注限定条件。
【难度系数】
0.8

2. (遵义一模)如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的点，若$CD=BD$，$∠ AOC=120°$，则$∠ BOD$的度数为 （）

A.$20°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

第2题 第3题 第4题

2. B

【分析】
解题时首先利用直径对应的平角性质，先求出∠COB的度数；再结合同圆中相等的弦所对的圆心角相等的性质，可知∠BOD等于∠COB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOC + ∠ COB = 180°$，
已知$∠ AOC=120°$，
∴$∠ COB = 180° - 120° = 60°$。
∵在$\odot O$中，$CD=BD$，
根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得$∠ COD=∠ BOD$，
∴$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ COB = \frac{1}{2}×60° = 30°$。
【答案】
B
【知识点】
平角的性质；同圆等弦对等圆心角
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆的基本性质与角度的基础计算，熟练掌握同圆中弦与对应圆心角的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，$∠ AOE=60°$，则$∠ BOD$的度数为。

3. 80

【分析】
解题思路如下：首先AB是圆的直径，所以∠AOB为平角180°，结合已知的∠AOE=60°，可先计算出∠BOE的度数；其次，点C、D是弧BE的三等分点，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可知弧BE对应的圆心角∠BOE被平均分为3个相等的小圆心角，求出单个小圆心角的度数后，∠BOD包含2个小圆心角，求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
又
∵$∠ AOE=60°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$。
∵点C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得：
$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=40°+40°=80°$。
【答案】
80
【知识点】
平角的定义；等弧对等圆心角
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是掌握同圆中弧与对应圆心角的等量关系，结合平角的性质即可快速求解，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在$\odot O$中，$AC=BD$，$∠ 1=30°$，则$∠ 2$的度数为°。

4. 30

【分析】
要解决这道题，首先回忆圆的相关性质：在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等。已知弦AC=BD，可先推出两条弦对应的圆心角∠AOC和∠BOD相等；再观察图形可知，∠AOC由∠1和公共角∠BOC组成，∠BOD由∠2和公共角∠BOC组成，两个相等的角同时减去公共角后剩余的角仍然相等，即可得到∠1和∠2的大小关系，代入已知角度就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，弦$AC=BD$，
∴ 相等的弦所对的圆心角相等，即$∠ AOC = ∠ BOD$，
又
∵ $∠ AOC = ∠ 1 + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ 2 + ∠ BOC$，
∴ $∠ 1 + ∠ BOC = ∠ 2 + ∠ BOC$，
等式两边同时减去$∠ BOC$，可得$∠ 1 = ∠ 2$，
∵ $∠ 1=30°$，
∴ $∠ 2=30°$。
【答案】
30
【知识点】
同圆弦与圆心角的关系；角的和差计算
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题核心是利用弦相等推导对应圆心角相等，再结合角的和差关系即可快速得出结果，掌握圆的基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.85

5. 如图,已知AB是$\odot O$的直径,M,N分别是AO,BO的中点,$CM⊥ AB$,$DN⊥ AB$.求证:$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

5. 证明:连接OC,OD,
∵ AB 是$\odot O$的直径,M,N 分别是AO、BO 的中点,
∴ OM=ON.
∵ CM⊥AB,DN⊥AB,
∴ ∠OMC=∠OND=90°. 在 Rt $△ OMC$ 和 Rt $△ OND$ 中, $\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴ Rt$△ OMC ≌$ Rt $△ OND$ (HL).
∴ ∠COM = ∠DON.
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

【分析】
要证$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据圆的对称性相关结论，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只需证明两条弧对应的圆心角$∠ AOC$与$∠ BOD$相等即可。我们可以通过连接半径OC、OD构造两个直角三角形，结合中点和垂直的已知条件，利用HL判定两个直角三角形全等，即可得到对应圆心角相等，进而推出弧相等。
【解析】
证明：连接$OC$、$OD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，$M$、$N$分别是$AO$、$BO$的中点，
∴ $OC=OD$（同圆的半径相等），$OM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OB=ON$。
∵ $CM⊥ AB$，$DN⊥ AB$，
∴ $∠ OMC=∠ OND=90°$，$△ OMC$和$△ OND$均为直角三角形。
在$Rt△ OMC$和$Rt△ OND$中：
$\begin{cases} OM=ON \\ OC=OD \end{cases}$
∴ $Rt△ OMC ≌ Rt△ OND$（HL），
∴ $∠ COM=∠ DON$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
证明:连接OC,OD,
∵ AB 是$\odot O$的直径,M,N 分别是AO、BO 的中点,
∴ OM=ON.
∵ CM⊥AB,DN⊥AB,
∴ ∠OMC=∠OND=90°. 在 Rt $△ OMC$ 和 Rt $△ OND$ 中, $\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴ Rt$△ OMC ≌$ Rt $△ OND$ (HL).
∴ ∠COM = ∠DON.
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
1.圆心角与弧的关系
2.全等三角形的判定
3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题核心是掌握同圆中圆心角与弧的对应关系，通过作半径构造全等三角形，将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，是圆类证明中常用的解题思路。
【难度系数】
0.8

6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，$\overset{\frown}{AC}$恰好经过点O，则$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$的数量关系是（）

A.$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$
B.$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{AC}$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$
D.无法确定

6. A

【分析】
解决这道题我们可以按照以下思路思考：首先，折叠问题的核心是折叠前后图形全等，对应部分相等，结合圆的半径相等的性质，我们可以过圆心作弦AC的垂线构造直角三角形；再通过直角三角形的边角关系求出两段弧对应的圆心角度数；最后根据同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，就能得到两段弧的数量关系。
【解析】
过点O作$OD⊥AC$于点D，延长OD交半圆O于点E。
∵ 半圆沿弦AC折叠后$\overset{\frown}{AC}$经过点O，
∴ 折叠后O到AC的距离等于原弧上点到AC的距离，即$OD=DE=\frac{1}{2}OE$。
设半圆O的半径为$r$，则$OE=OA=OC=r$，因此$OD=\frac{1}{2}r$。
在$Rt△ OAD$中，$OD=\frac{1}{2}OA$，
∴ $∠ OAD=30°$，$∠ AOD=60°$。
连接OC，
∵ $OA=OC$，$OD⊥AC$，
∴ $∠ AOC=2∠ AOD=120°$。
∵ AB是半圆O的直径，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ BOC=180°-∠ AOC=60°$。
∵ 同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$60°$，$\overset{\frown}{AC}$的度数为$120°$，
因此$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；圆的对称性；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的折叠类典型题型，解题的关键是结合折叠性质作辅助线构造直角三角形，求出对应圆心角的度数，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

7. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦CD与AB交于点E，若$EO=EC$，$∠ COE=50°$，则$∠ BOD$的度数为（）

A.$150°$
B.$130°$
C.$90°$
D.$70°$

7. A

【分析】
首先根据已知条件EO=EC，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠OCE的度数；再结合同圆的半径相等，可得OC=OD，进而推出∠ODC=∠OCE；接着利用三角形外角的性质求出∠OED的度数，再在△OED中运用三角形内角和定理求出∠AOD的度数，最后根据邻补角的性质即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵EO=EC，∠COE=50°，
∴∠OCE=∠COE=50°（等边对等角）。
∵OC和OD都是⊙O的半径，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCE=50°（等边对等角）。
∵∠OED是△COE的外角，
∴∠OED=∠COE + ∠OCE = 50° + 50° = 100°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在△OED中，由三角形内角和为180°可得：
∠EOD=180° - ∠OED - ∠ODC = 180° - 100° - 50° = 30°，即∠AOD=30°。
∵∠BOD与∠AOD互为邻补角，
∴∠BOD=180° - ∠AOD = 180° - 30° = 150°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础类角度计算题，将圆的性质和三角形角度计算结合考查，解题的关键是熟练掌握等边对等角、三角形内角和及外角的性质，逐步推导未知角度即可。
【难度系数】
0.7