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7 三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多可以有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆多个有理数乘除运算的符号判断规则：多个不为0的有理数做乘除混合运算时，结果的正负由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时结果为正，为奇数时结果为负。题目要求3个有理数乘除结果为正，且负数个数最多，我们只需找出3以内满足“个数为偶数”的最大数值即可。
【解析】
根据有理数乘除运算的符号规律：多个非零有理数乘除混合运算时，负因数的个数为偶数时，运算结果为正；负因数个数为奇数时，运算结果为负。
已知3个有理数乘除结果为正数，因此负数的个数必须是偶数。3以内的非负偶数有0和2，若负数有3个，个数为奇数，运算结果为负数，不符合题意，因此负数最多有2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘除符号法则
2. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础考查题，核心是掌握多个有理数乘除运算时符号的判断规律，只要理清负因数个数的奇偶性和结果符号的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆多个有理数乘除运算的符号判断规则：多个不为0的有理数做乘除混合运算时，结果的正负由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时结果为正，为奇数时结果为负。题目要求3个有理数乘除结果为正，且负数个数最多，我们只需找出3以内满足“个数为偶数”的最大数值即可。
【解析】
根据有理数乘除运算的符号规律：多个非零有理数乘除混合运算时，负因数的个数为偶数时，运算结果为正；负因数个数为奇数时，运算结果为负。
已知3个有理数乘除结果为正数，因此负数的个数必须是偶数。3以内的非负偶数有0和2，若负数有3个，个数为奇数，运算结果为负数，不符合题意，因此负数最多有2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘除符号法则
2. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础考查题，核心是掌握多个有理数乘除运算时符号的判断规律，只要理清负因数个数的奇偶性和结果符号的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
8 计算：
(1) $-\dfrac{1}{12}+(0.3× 3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})÷ |-4|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^3+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{3}-\left|\dfrac{2}{3}-2\right|)$；
(3) $250-(-49\dfrac{24}{25})× (-5)$；
(4) $[1\dfrac{11}{24}-(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})× (-24)]÷ (-5^2)$。
(1) $-\dfrac{1}{12}+(0.3× 3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})÷ |-4|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^3+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{3}-\left|\dfrac{2}{3}-2\right|)$；
(3) $250-(-49\dfrac{24}{25})× (-5)$；
(4) $[1\dfrac{11}{24}-(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})× (-24)]÷ (-5^2)$。
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $-\frac{11}{24}$
(3) $\frac{1}{5}$
(4) $\frac{17}{120}$
(2) $-\frac{11}{24}$
(3) $\frac{1}{5}$
(4) $\frac{17}{120}$
解析
【分析】
解决有理数混合运算问题，首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号或绝对值时，优先计算括号、绝对值内部的内容；若遇到算式符合乘法分配律的特征，可优先用分配律简化计算，避免复杂通分，计算过程中要重点关注符号变化，带分数可拆成整数与分数的和差简化运算。
【解析】
(1) 先计算绝对值和括号内的运算：
$|-4|=4$，
括号内：$0.3×3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{10}×\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$，
再算除法：$\dfrac{4}{3}÷4=\dfrac{4}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}$，
最后算加减：$-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$。
(2) 先算乘方和绝对值：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，
$\left|\dfrac{2}{3}-2\right|=\left|-\dfrac{4}{3}\right|=\dfrac{4}{3}$，
再算括号内：$\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$，
再算乘法：$\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{3}$，
最后算加减：$-\dfrac{1}{8}+(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{3}{24}-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{11}{24}$。
(3) 先将带分数拆分简化计算：
原式$=250-(49\dfrac{24}{25}×5)$（负负得正，两个负数相乘得正），
把$49\dfrac{24}{25}$拆为$50-\dfrac{1}{25}$，则：
$49\dfrac{24}{25}×5=(50-\dfrac{1}{25})×5=50×5-\dfrac{1}{25}×5=250-\dfrac{1}{5}$，
代入原式得：$250-(250-\dfrac{1}{5})=250-250+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}$。
(4) 先算乘方，再用乘法分配律算括号内乘法：
$-5^2=-25$，
$(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})×(-24)=\dfrac{3}{8}×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)-\dfrac{3}{4}×(-24)=-9-4+18=5$，
再算中括号内：$1\dfrac{11}{24}-5=\dfrac{35}{24}-\dfrac{120}{24}=-\dfrac{85}{24}$，
最后算除法：$(-\dfrac{85}{24})÷(-25)=\dfrac{85}{24}×\dfrac{1}{25}=\dfrac{17}{120}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $-\dfrac{11}{24}$；(3) $\dfrac{1}{5}$；(4) $\dfrac{17}{120}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值运算，乘法分配律
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的规则和简便运算技巧的应用，计算时需注意符号判断，合理使用乘法分配律、带分数拆分可有效降低计算难度，减少运算失误。
【难度系数】
0.65
解决有理数混合运算问题，首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号或绝对值时，优先计算括号、绝对值内部的内容；若遇到算式符合乘法分配律的特征，可优先用分配律简化计算，避免复杂通分，计算过程中要重点关注符号变化，带分数可拆成整数与分数的和差简化运算。
【解析】
(1) 先计算绝对值和括号内的运算：
$|-4|=4$，
括号内：$0.3×3\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{10}×\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$，
再算除法：$\dfrac{4}{3}÷4=\dfrac{4}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}$，
最后算加减：$-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$。
(2) 先算乘方和绝对值：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，
$\left|\dfrac{2}{3}-2\right|=\left|-\dfrac{4}{3}\right|=\dfrac{4}{3}$，
再算括号内：$\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$，
再算乘法：$\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{3}$，
最后算加减：$-\dfrac{1}{8}+(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{3}{24}-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{11}{24}$。
(3) 先将带分数拆分简化计算：
原式$=250-(49\dfrac{24}{25}×5)$（负负得正，两个负数相乘得正），
把$49\dfrac{24}{25}$拆为$50-\dfrac{1}{25}$，则：
$49\dfrac{24}{25}×5=(50-\dfrac{1}{25})×5=50×5-\dfrac{1}{25}×5=250-\dfrac{1}{5}$，
代入原式得：$250-(250-\dfrac{1}{5})=250-250+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}$。
(4) 先算乘方，再用乘法分配律算括号内乘法：
$-5^2=-25$，
$(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4})×(-24)=\dfrac{3}{8}×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)-\dfrac{3}{4}×(-24)=-9-4+18=5$，
再算中括号内：$1\dfrac{11}{24}-5=\dfrac{35}{24}-\dfrac{120}{24}=-\dfrac{85}{24}$，
最后算除法：$(-\dfrac{85}{24})÷(-25)=\dfrac{85}{24}×\dfrac{1}{25}=\dfrac{17}{120}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $-\dfrac{11}{24}$；(3) $\dfrac{1}{5}$；(4) $\dfrac{17}{120}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值运算，乘法分配律
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的规则和简便运算技巧的应用，计算时需注意符号判断，合理使用乘法分配律、带分数拆分可有效降低计算难度，减少运算失误。
【难度系数】
0.65
9 用计算器计算：$-3 - [-5 + (1 - 0.2^2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)^2].$
答案
1.756
解析
【分析】
这是一道有理数混合运算题，解题时需严格遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的部分，按照小括号、中括号的顺序逐层计算，同时注意去括号时的符号变化。我们按照从内到外的顺序逐步计算括号内的内容，最后计算括号外的减法即可得到结果。
【解析】
解：原式$=-3-[-5+(1-0.04×\frac{3}{5})÷4]$（先计算乘方：$0.2^2=0.04$，$(-2)^2=4$）
$=-3-[-5+(1-0.024)÷4]$（计算小括号内的乘法：$0.04×\frac{3}{5}=0.024$）
$=-3-[-5+0.976÷4]$（计算小括号内的减法：$1-0.024=0.976$）
$=-3-[-5+0.244]$（计算除法：$0.976÷4=0.244$）
$=-3-(-4.756)$（计算中括号内的加法：$-5+0.244=-4.756$）
$=-3+4.756$（去括号，括号前为负号，括号内各项变号）
$=1.756$
【答案】
1.756
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，去括号法则
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的运算规则，计算时需严格按照运算顺序逐步求解，尤其要注意乘方的计算结果和去括号时的符号变化，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这是一道有理数混合运算题，解题时需严格遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的部分，按照小括号、中括号的顺序逐层计算，同时注意去括号时的符号变化。我们按照从内到外的顺序逐步计算括号内的内容，最后计算括号外的减法即可得到结果。
【解析】
解：原式$=-3-[-5+(1-0.04×\frac{3}{5})÷4]$（先计算乘方：$0.2^2=0.04$，$(-2)^2=4$）
$=-3-[-5+(1-0.024)÷4]$（计算小括号内的乘法：$0.04×\frac{3}{5}=0.024$）
$=-3-[-5+0.976÷4]$（计算小括号内的减法：$1-0.024=0.976$）
$=-3-[-5+0.244]$（计算除法：$0.976÷4=0.244$）
$=-3-(-4.756)$（计算中括号内的加法：$-5+0.244=-4.756$）
$=-3+4.756$（去括号，括号前为负号，括号内各项变号）
$=1.756$
【答案】
1.756
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，去括号法则
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的运算规则，计算时需严格按照运算顺序逐步求解，尤其要注意乘方的计算结果和去括号时的符号变化，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
10 新考向 阅读理解题 [2025 沭阳段考]在计算 $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{99}+3^{100}$ 的值时,可设 $S=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{99}+3^{100}$①,则 $3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{100}+3^{101}$②.由②$-$①,得 $2S=3^{101}-1$,所以 $S=\frac{3^{101}-1}{2}$.
仿照上述方法,求:
(1) $1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{49}+5^{50}$ 的值;
(2) $1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}$ 的值.
仿照上述方法,求:
(1) $1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{49}+5^{50}$ 的值;
(2) $1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}$ 的值.
答案
(1) 设 $S=1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{49}+5^{50}$ ①,则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+5^5+\dots+5^{50}+5^{51}$ ②. 由②$-$①,得 $4S=5^{51}-1$,所以 $S=\frac{5^{51}-1}{4}$. 所以 $1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{49}+5^{50}=\frac{5^{51}-1}{4}$
(2) 设 $S=1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}$ ①,则 $-4S=-4+4^2-4^3+4^4-4^5+\dots+4^{20}-4^{21}$ ②. 由①$-$②,得 $5S=1+4^{21}$,所以 $S=\frac{1+4^{21}}{5}$. 所以 $1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}=\frac{1+4^{21}}{5}$
(2) 设 $S=1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}$ ①,则 $-4S=-4+4^2-4^3+4^4-4^5+\dots+4^{20}-4^{21}$ ②. 由①$-$②,得 $5S=1+4^{21}$,所以 $S=\frac{1+4^{21}}{5}$. 所以 $1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}=\frac{1+4^{21}}{5}$
解析
【分析】
本题考查材料阅读类的求和运算，用到错位相减的方法，解题思路如下：
(1) 第一问的式子后一项均为前一项的5倍，仿照题干示例，先设原式的和为S，将等式两边同时乘5得到新等式，再用新等式减去原等式，中间相同的项会相互抵消，只剩下首尾两项的差，整理即可求出S的值。
(2) 第二问的式子符号正负交替，后一项为前一项的-4倍，同样先设原式的和为S，将等式两边同时乘-4得到新等式，再将原等式与新等式相减，抵消中间重复的项，注意计算时处理好符号，最后整理求出S的值。
【解析】
(1) 设 $S=1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{49}+5^{50}$ ①，
则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+5^5+\dots+5^{50}+5^{51}$ ②，
由②$-$①，得 $4S=5^{51}-1$，
所以 $S=\frac{5^{51}-1}{4}$。
(2) 设 $S=1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}$ ①，
则 $-4S=-4+4^2-4^3+4^4-4^5+\dots+4^{20}-4^{21}$ ②，
由①$-$②，得 $5S=1+4^{21}$，
所以 $S=\frac{1+4^{21}}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{5^{51}-1}{4}$；(2) $\frac{4^{21}+1}{5}$
【知识点】
1. 错位相减法求和
2. 有理数混合运算
3. 规律探究运算
【点评】
本题是典型的方法迁移类阅读题，需要准确理解题干给出的错位相减方法，灵活应用到不同特征的求和式子中，第二问要格外注意符号的运算，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查材料阅读类的求和运算，用到错位相减的方法，解题思路如下：
(1) 第一问的式子后一项均为前一项的5倍，仿照题干示例，先设原式的和为S，将等式两边同时乘5得到新等式，再用新等式减去原等式，中间相同的项会相互抵消，只剩下首尾两项的差，整理即可求出S的值。
(2) 第二问的式子符号正负交替，后一项为前一项的-4倍，同样先设原式的和为S，将等式两边同时乘-4得到新等式，再将原等式与新等式相减，抵消中间重复的项，注意计算时处理好符号，最后整理求出S的值。
【解析】
(1) 设 $S=1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{49}+5^{50}$ ①，
则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+5^5+\dots+5^{50}+5^{51}$ ②，
由②$-$①，得 $4S=5^{51}-1$，
所以 $S=\frac{5^{51}-1}{4}$。
(2) 设 $S=1-4+4^2-4^3+4^4-\dots-4^{19}+4^{20}$ ①，
则 $-4S=-4+4^2-4^3+4^4-4^5+\dots+4^{20}-4^{21}$ ②，
由①$-$②，得 $5S=1+4^{21}$，
所以 $S=\frac{1+4^{21}}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{5^{51}-1}{4}$；(2) $\frac{4^{21}+1}{5}$
【知识点】
1. 错位相减法求和
2. 有理数混合运算
3. 规律探究运算
【点评】
本题是典型的方法迁移类阅读题，需要准确理解题干给出的错位相减方法，灵活应用到不同特征的求和式子中，第二问要格外注意符号的运算，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.7
