登录
1 玩“24点”游戏，规则如下:任取四个整数(每个数只用一次)进行“＋、－、×、÷”四则运算，使其运算结果为24.请用上述规则，写出算式.
（1）若给出四个数为－6，－2，4，5，则算式可以为
（2）若给出四个数为－6，3，4，10，则算式可以为
（1）若给出四个数为－6，－2，4，5，则算式可以为
$4×5-[−6−(−2)]=24$
；（2）若给出四个数为－6，3，4，10，则算式可以为
$3×[10+4+(−6)]=24$
.答案
(1) 答案不唯一，如$4×5-[−6−(−2)]=24$ (2) 答案不唯一，如$3×[10+4+(−6)]=24$
解析
【分析】
玩“24点”的核心思路是先联想能得到24的常见运算组合，如3×8、4×6、20+4、30-6等，再结合给出的四个数尝试通过四则运算凑出上述形式，同时要遵守有理数正负号的运算规则，且每个数仅可使用一次。针对第(1)问，先观察到4×5=20，只需用剩余的-6和-2凑出4即可；针对第(2)问，观察到已有数字3，只需用剩余的10、4、-6凑出8，即可通过3×8得到24。
【解析】
(1) 先计算4与5的乘积：$4×5=20$，再计算剩余两个数的组合：$-6 - (-2) = -4$，最后用20减去这个结果：$20 - (-4)=24$，即可得到符合要求的算式，本题答案不唯一，满足规则即可。
(2) 先计算剩余三个数的和：$10 + 4 + (-6)=8$，再用3乘这个和：$3×8=24$，即可得到符合要求的算式，本题答案不唯一，合理即可。
【答案】
(1) 答案不唯一，如$4×5-[−6−(−2)]=24$ (2) 答案不唯一，如$3×[10+4+(−6)]=24$
【知识点】
有理数四则混合运算；有理数符号运算；巧算24点
【点评】
本题结合趣味游戏考查有理数运算，形式灵活，要求学生熟练掌握有理数四则运算规则，敢于尝试不同的数字组合，有助于培养发散思维能力，所有符合运算规则、结果为24的算式均正确。
【难度系数】
0.7
玩“24点”的核心思路是先联想能得到24的常见运算组合，如3×8、4×6、20+4、30-6等，再结合给出的四个数尝试通过四则运算凑出上述形式，同时要遵守有理数正负号的运算规则，且每个数仅可使用一次。针对第(1)问，先观察到4×5=20，只需用剩余的-6和-2凑出4即可；针对第(2)问，观察到已有数字3，只需用剩余的10、4、-6凑出8，即可通过3×8得到24。
【解析】
(1) 先计算4与5的乘积：$4×5=20$，再计算剩余两个数的组合：$-6 - (-2) = -4$，最后用20减去这个结果：$20 - (-4)=24$，即可得到符合要求的算式，本题答案不唯一，满足规则即可。
(2) 先计算剩余三个数的和：$10 + 4 + (-6)=8$，再用3乘这个和：$3×8=24$，即可得到符合要求的算式，本题答案不唯一，合理即可。
【答案】
(1) 答案不唯一，如$4×5-[−6−(−2)]=24$ (2) 答案不唯一，如$3×[10+4+(−6)]=24$
【知识点】
有理数四则混合运算；有理数符号运算；巧算24点
【点评】
本题结合趣味游戏考查有理数运算，形式灵活，要求学生熟练掌握有理数四则运算规则，敢于尝试不同的数字组合，有助于培养发散思维能力，所有符合运算规则、结果为24的算式均正确。
【难度系数】
0.7
2 有一种扑克牌游戏叫作“24点”.要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算得24.每张牌必须用且只能用一次.如果有四张牌如图所示(A代表数字1),请列出一种计算结果为24的算式:
$5×5−1^5=24$
.答案
答案不唯一，如$5×5−1^5=24$
解析
【分析】
首先明确四张扑克牌对应的数字：A代表1，因此可用数字为1、5、5、5，要求四个数字各用一次，通过加减乘除乘方运算得到24。我们可以先从凑接近24的数入手，三个5中5×5=25，25比24多1，接下来只需要用剩下的1和5凑出1即可，结合乘方的性质：1的任意次幂都为1，因此计算1^5就得到1，刚好四个数字全部用完，符合运算规则。
【解析】
第一步：确定牌面数字，A对应1，因此四个运算数字为1、5、5、5；
第二步：先计算5×5=25，此时已用数字5、5，剩余数字为1、5；
第三步：利用乘方运算，1^5=1，刚好使用剩余的1和5；
第四步：计算25-1=24，组合可得算式$5×5−1^5=24$，也可推导其他符合要求的算式，例如$5×(5-1÷5)=24$等。
【答案】
答案不唯一，如$5×5−1^5=24$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的性质，巧算24点
【点评】
本题为开放性运算题，需要灵活运用各类有理数运算规则，结合数字特点构造算式，解题时可先尝试凑出接近24的数值，再调整剩余数字的运算形式，能有效锻炼逻辑思维和发散思维能力。
【难度系数】
0.7
首先明确四张扑克牌对应的数字：A代表1，因此可用数字为1、5、5、5，要求四个数字各用一次，通过加减乘除乘方运算得到24。我们可以先从凑接近24的数入手，三个5中5×5=25，25比24多1，接下来只需要用剩下的1和5凑出1即可，结合乘方的性质：1的任意次幂都为1，因此计算1^5就得到1，刚好四个数字全部用完，符合运算规则。
【解析】
第一步：确定牌面数字，A对应1，因此四个运算数字为1、5、5、5；
第二步：先计算5×5=25，此时已用数字5、5，剩余数字为1、5；
第三步：利用乘方运算，1^5=1，刚好使用剩余的1和5；
第四步：计算25-1=24，组合可得算式$5×5−1^5=24$，也可推导其他符合要求的算式，例如$5×(5-1÷5)=24$等。
【答案】
答案不唯一，如$5×5−1^5=24$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的性质，巧算24点
【点评】
本题为开放性运算题，需要灵活运用各类有理数运算规则，结合数字特点构造算式，解题时可先尝试凑出接近24的数值，再调整剩余数字的运算形式，能有效锻炼逻辑思维和发散思维能力。
【难度系数】
0.7
3 对于下列给出的四个数,请用加、减、乘、除四种运算列出一种能算得24 的算式.
(1) $-6,3,3,10$,算式:
(2) $2,3,-3,-7$,算式:
(3) $-2,2,-4,10$,算式:
(4) $-2,2,-3,12$,算式:
(5) $-5,5,6,7$,算式:
(6) $-2,2,-5,9$,算式:
(7) $1,-4,6,6$,算式:
(8) $1,3,10,-11$,算式:
(9) $2,-9,-13,13$,算式:
(10) $3,-3,7,-7$,算式:
(11) $2,3,-5,12$,算式:
(1) $-6,3,3,10$,算式:
$[10+(−6)÷3]×3=24$
;(2) $2,3,-3,-7$,算式:
$[(−7)−3+2]×(−3)=24$
;(3) $-2,2,-4,10$,算式:
$(2+10)×(−4)÷(−2)=24$
;(4) $-2,2,-3,12$,算式:
$[(−2)÷2−(−3)]×12=24$
;(5) $-5,5,6,7$,算式:
$6−7−5×(−5)=24$
;(6) $-2,2,-5,9$,算式:
$[9−(−5)+(−2)]×2=24$
;(7) $1,-4,6,6$,算式:
$6−[(−4)+1]×6=24$
;(8) $1,3,10,-11$,算式:
$1−10−(−11)×3=24$
;(9) $2,-9,-13,13$,算式:
$[13−(−9)]÷2−(−13)=24$
;(10) $3,-3,7,-7$,算式:
$[(−3)÷7−3]×(−7)=24$
;(11) $2,3,-5,12$,算式:
$12÷[3+(−5)÷2]=24$
.答案
(1) 答案不唯一，如$[10+(−6)÷3]×3=24$
(2) 答案不唯一，如$[(−7)−3+2]×(−3)=24$
(3) 答案不唯一，如$(2+10)×(−4)÷(−2)=24$
(4) 答案不唯一，如$[(−2)÷2−(−3)]×12=24$
(5) 答案不唯一，如$6−7−5×(−5)=24$
(6) 答案不唯一，如$[9−(−5)+(−2)]×2=24$
(7) 答案不唯一，如$6−[(−4)+1]×6=24$
(8) 答案不唯一，如$1−10−(−11)×3=24$
(9) 答案不唯一，如$[13−(−9)]÷2−(−13)=24$
(10) 答案不唯一，如$[(−3)÷7−3]×(−7)=24$
(11) $12÷[3+(−5)÷2]=24$
(2) 答案不唯一，如$[(−7)−3+2]×(−3)=24$
(3) 答案不唯一，如$(2+10)×(−4)÷(−2)=24$
(4) 答案不唯一，如$[(−2)÷2−(−3)]×12=24$
(5) 答案不唯一，如$6−7−5×(−5)=24$
(6) 答案不唯一，如$[9−(−5)+(−2)]×2=24$
(7) 答案不唯一，如$6−[(−4)+1]×6=24$
(8) 答案不唯一，如$1−10−(−11)×3=24$
(9) 答案不唯一，如$[13−(−9)]÷2−(−13)=24$
(10) 答案不唯一，如$[(−3)÷7−3]×(−7)=24$
(11) $12÷[3+(−5)÷2]=24$
解析
【分析】
算“24”的核心思路是利用四则运算（可添加括号调整运算顺序），将四个数组合得到结果24。常用技巧：①凑乘法组合：如3×8、4×6、2×12等，若有其中一个因数，尝试用剩余数凑另一个因数；②凑加减组合：如27-3、18+6、30-6等，先凑出接近24的数，再用剩余数调整差值；③遇到负数时，结合“负负得正”“减负数等于加正数”的规则构造运算，本题答案均不唯一，只要运算合法、结果为24即可。
【解析】
我们以参考答案给出的算式为例说明构造逻辑：
(1) 观察到数字3，尝试凑因数8：剩余数10、-6、3，先算$-6÷3=-2$，再算$10+(-2)=8$，最后$8×3=24$，得算式；
(2) 观察到数字-3，尝试凑因数-8：剩余数-7、3、2，算$(-7)-3+2=-8$，再乘-3得24，得算式；
(3) 凑$12×2$组合：先算$2+10=12$，剩余数-4、-2，算$(-4)÷(-2)=2$，$12×2=24$，得算式；
(4) 观察到数字12，尝试凑因数2：剩余数-2、2、-3，算$(-2)÷2=-1$，再算$-1-(-3)=2$，$12×2=24$，得算式；
(5) 凑加减组合：先算$5×(-5)=-25$，再算$6-7=-1$，最后$-1-(-25)=24$，得算式；
(6) 凑$12×2$组合：先算$9-(-5)=14$，再算$14+(-2)=12$，$12×2=24$，得算式；
(7) 凑加减组合：先算$(-4)+1=-3$，再算$-3×6=-18$，最后$6-(-18)=24$，得算式；
(8) 凑加减组合：先算$(-11)×3=-33$，再算$1-10=-9$，最后$-9-(-33)=24$，得算式；
(9) 凑加减组合：先算$13-(-9)=22$，再算$22÷2=11$，最后$11-(-13)=24$，得算式；
(10) 凑乘法组合：先算$(-3)÷7=-\frac{3}{7}$，再算$-\frac{3}{7}-3=-\frac{24}{7}$，最后$(-\frac{24}{7})×(-7)=24$，得算式；
(11) 凑除法组合：先算$(-5)÷2=-2.5$，再算$3+(-2.5)=0.5$，最后$12÷0.5=24$，得算式。
【答案】
(1) 答案不唯一，如$[10+(−6)÷3]×3=24$
(2) 答案不唯一，如$[(−7)−3+2]×(−3)=24$
(3) 答案不唯一，如$(2+10)×(−4)÷(−2)=24$
(4) 答案不唯一，如$[(−2)÷2−(−3)]×12=24$
(5) 答案不唯一，如$6−7−5×(−5)=24$
(6) 答案不唯一，如$[9−(−5)+(−2)]×2=24$
(7) 答案不唯一，如$6−[(−4)+1]×6=24$
(8) 答案不唯一，如$1−10−(−11)×3=24$
(9) 答案不唯一，如$[13−(−9)]÷2−(−13)=24$
(10) 答案不唯一，如$[(−3)÷7−3]×(−7)=24$
(11) $12÷[3+(−5)÷2]=24$
【知识点】
有理数四则运算，运算顺序，24点巧算
【点评】
本题属于趣味运算题型，需要熟练掌握有理数四则运算规则，灵活尝试不同数字组合、合理添加括号调整运算顺序即可得到结果，答案不唯一，能有效锻炼发散思维和运算熟练度。
【难度系数】
0.6
算“24”的核心思路是利用四则运算（可添加括号调整运算顺序），将四个数组合得到结果24。常用技巧：①凑乘法组合：如3×8、4×6、2×12等，若有其中一个因数，尝试用剩余数凑另一个因数；②凑加减组合：如27-3、18+6、30-6等，先凑出接近24的数，再用剩余数调整差值；③遇到负数时，结合“负负得正”“减负数等于加正数”的规则构造运算，本题答案均不唯一，只要运算合法、结果为24即可。
【解析】
我们以参考答案给出的算式为例说明构造逻辑：
(1) 观察到数字3，尝试凑因数8：剩余数10、-6、3，先算$-6÷3=-2$，再算$10+(-2)=8$，最后$8×3=24$，得算式；
(2) 观察到数字-3，尝试凑因数-8：剩余数-7、3、2，算$(-7)-3+2=-8$，再乘-3得24，得算式；
(3) 凑$12×2$组合：先算$2+10=12$，剩余数-4、-2，算$(-4)÷(-2)=2$，$12×2=24$，得算式；
(4) 观察到数字12，尝试凑因数2：剩余数-2、2、-3，算$(-2)÷2=-1$，再算$-1-(-3)=2$，$12×2=24$，得算式；
(5) 凑加减组合：先算$5×(-5)=-25$，再算$6-7=-1$，最后$-1-(-25)=24$，得算式；
(6) 凑$12×2$组合：先算$9-(-5)=14$，再算$14+(-2)=12$，$12×2=24$，得算式；
(7) 凑加减组合：先算$(-4)+1=-3$，再算$-3×6=-18$，最后$6-(-18)=24$，得算式；
(8) 凑加减组合：先算$(-11)×3=-33$，再算$1-10=-9$，最后$-9-(-33)=24$，得算式；
(9) 凑加减组合：先算$13-(-9)=22$，再算$22÷2=11$，最后$11-(-13)=24$，得算式；
(10) 凑乘法组合：先算$(-3)÷7=-\frac{3}{7}$，再算$-\frac{3}{7}-3=-\frac{24}{7}$，最后$(-\frac{24}{7})×(-7)=24$，得算式；
(11) 凑除法组合：先算$(-5)÷2=-2.5$，再算$3+(-2.5)=0.5$，最后$12÷0.5=24$，得算式。
【答案】
(1) 答案不唯一，如$[10+(−6)÷3]×3=24$
(2) 答案不唯一，如$[(−7)−3+2]×(−3)=24$
(3) 答案不唯一，如$(2+10)×(−4)÷(−2)=24$
(4) 答案不唯一，如$[(−2)÷2−(−3)]×12=24$
(5) 答案不唯一，如$6−7−5×(−5)=24$
(6) 答案不唯一，如$[9−(−5)+(−2)]×2=24$
(7) 答案不唯一，如$6−[(−4)+1]×6=24$
(8) 答案不唯一，如$1−10−(−11)×3=24$
(9) 答案不唯一，如$[13−(−9)]÷2−(−13)=24$
(10) 答案不唯一，如$[(−3)÷7−3]×(−7)=24$
(11) $12÷[3+(−5)÷2]=24$
【知识点】
有理数四则运算，运算顺序，24点巧算
【点评】
本题属于趣味运算题型，需要熟练掌握有理数四则运算规则，灵活尝试不同数字组合、合理添加括号调整运算顺序即可得到结果，答案不唯一，能有效锻炼发散思维和运算熟练度。
【难度系数】
0.6
4 有一种“24点”游戏，其游戏规则如下：任取一副扑克牌，我们约定A为1，K为13，Q为12，J为11，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负。任取4张牌（可使用括号），每个数用且只用一次，使其通过加、减、乘、除四种运算后的结果等于24。例如：抽出的4张牌分别是黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，则$4×(-4)÷(-2)×3=24$。
（1）若抽出黑桃3、梅花1、方块5、红桃3，请写出1种算式，使其计算结果为24；
（2）若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，使其计算结果均为24；
（3）若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，使其计算结果为24。
（1）若抽出黑桃3、梅花1、方块5、红桃3，请写出1种算式，使其计算结果为24；
（2）若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，使其计算结果均为24；
（3）若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，使其计算结果为24。
答案
(1) 答案不唯一，如$(5+3)×(−3)×(−1)=24$
(2) 答案不唯一，如$[12+(−13)]×(−3)×8=24$ 或$[(−3)−(−13)−8]×12=24$
(3) $[(−4)−(−7)]×2^3=24$
(2) 答案不唯一，如$[12+(−13)]×(−3)×8=24$ 或$[(−3)−(−13)−8]×12=24$
(3) $[(−4)−(−7)]×2^3=24$
解析
【分析】
解决这类“24点”问题，第一步先根据题目约定的正负规则，把每张扑克牌对应的有理数先写出来，再结合凑24的常见思路（如3×8、4×6、12×2、24×1，或加减法中25-1、27-3等组合），灵活调整运算顺序、添加括号，保证每个数只用一次即可；第（3）问额外要求包含乘方，需结合给出的数字联想常用的乘方结果（如$2^3=8$、$3^2=9$等）再组合计算。
（1）先确定4张牌对应的数：黑桃3是-3，梅花1是-1，方块5是+5，红桃3是+3，观察可发现$5+3=8$，两个负数相乘得正，$(-3)×(-1)=3$，$8×3=24$，即可得到符合要求的算式；
（2）先确定4张牌对应的数：黑桃3是-3，梅花K是-13，方块8是+8，红桃Q是+12，可先凑出$3×8$的组合，或凑出$2×12$的组合，即可得到两种不同的算式；
（3）先确定4张牌对应的数：黑桃4是-4，梅花7是-7，方块2是+2，红桃3是+3，要用到乘方，可先构造$2^3=8$，再凑出3，$3×8=24$即可。
【解析】
（1）首先转换4张牌的数值：-3、-1、5、3，凑24：
先算$5+3=8$，再算$(-3)×(-1)=3$，最后$8×3=24$，可得对应算式（答案不唯一）；
（2）首先转换4张牌的数值：-3、-13、8、12：
第一种：先算$12+(-13)=-1$，再算$-1×(-3)=3$，最后$3×8=24$，可得第一个算式；
第二种：先算$(-3)-(-13)=10$，再算$10-8=2$，最后$2×12=24$，可得第二个算式（答案不唯一）；
（3）首先转换4张牌的数值：-4、-7、2、3，需包含乘方：
先算$(-4)-(-7)=3$，再算$2^3=8$，最后$3×8=24$，可得对应算式。
【答案】
(1) 示例：$(5+3)×(-3)×(-1)=24$（答案不唯一）
(2) 示例1：$[12+(-13)]×(-3)×8=24$；示例2：$[(-3)-(-13)-8]×12=24$（答案不唯一）
(3) 示例：$[(-4)-(-7)]×2^3=24$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；四则巧算
【点评】
本题是趣味性的运算类题目，将有理数的运算规则和巧算结合，既可以巩固有理数加减乘除、乘方的运算规则，又能锻炼发散思维和运算的灵活度。
【难度系数】
0.7
解决这类“24点”问题，第一步先根据题目约定的正负规则，把每张扑克牌对应的有理数先写出来，再结合凑24的常见思路（如3×8、4×6、12×2、24×1，或加减法中25-1、27-3等组合），灵活调整运算顺序、添加括号，保证每个数只用一次即可；第（3）问额外要求包含乘方，需结合给出的数字联想常用的乘方结果（如$2^3=8$、$3^2=9$等）再组合计算。
（1）先确定4张牌对应的数：黑桃3是-3，梅花1是-1，方块5是+5，红桃3是+3，观察可发现$5+3=8$，两个负数相乘得正，$(-3)×(-1)=3$，$8×3=24$，即可得到符合要求的算式；
（2）先确定4张牌对应的数：黑桃3是-3，梅花K是-13，方块8是+8，红桃Q是+12，可先凑出$3×8$的组合，或凑出$2×12$的组合，即可得到两种不同的算式；
（3）先确定4张牌对应的数：黑桃4是-4，梅花7是-7，方块2是+2，红桃3是+3，要用到乘方，可先构造$2^3=8$，再凑出3，$3×8=24$即可。
【解析】
（1）首先转换4张牌的数值：-3、-1、5、3，凑24：
先算$5+3=8$，再算$(-3)×(-1)=3$，最后$8×3=24$，可得对应算式（答案不唯一）；
（2）首先转换4张牌的数值：-3、-13、8、12：
第一种：先算$12+(-13)=-1$，再算$-1×(-3)=3$，最后$3×8=24$，可得第一个算式；
第二种：先算$(-3)-(-13)=10$，再算$10-8=2$，最后$2×12=24$，可得第二个算式（答案不唯一）；
（3）首先转换4张牌的数值：-4、-7、2、3，需包含乘方：
先算$(-4)-(-7)=3$，再算$2^3=8$，最后$3×8=24$，可得对应算式。
【答案】
(1) 示例：$(5+3)×(-3)×(-1)=24$（答案不唯一）
(2) 示例1：$[12+(-13)]×(-3)×8=24$；示例2：$[(-3)-(-13)-8]×12=24$（答案不唯一）
(3) 示例：$[(-4)-(-7)]×2^3=24$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；四则巧算
【点评】
本题是趣味性的运算类题目，将有理数的运算规则和巧算结合，既可以巩固有理数加减乘除、乘方的运算规则，又能锻炼发散思维和运算的灵活度。
【难度系数】
0.7
