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1. (★)利用二次函数求解最大利润问题时,需要掌握以下常见的数量关系:
(1)利润=-;
(2)利润率=×100%;
(3)总利润=-,
或总利润=×.
(1)利润=-;
(2)利润率=×100%;
(3)总利润=-,
或总利润=×.
答案
解：
(1) 利润 = $\underline{售价}$ - $\underline{成本（进价）}$；
(2) 利润率 = $\underline{\dfrac{利润}{成本（进价）}}$ ×100%；
(3) 总利润 = $\underline{总销售额}$ - $\underline{总成本}$，
或总利润 = $\underline{每件商品的利润}$ × $\underline{销售数量}$。
(1) 利润 = $\underline{售价}$ - $\underline{成本（进价）}$；
(2) 利润率 = $\underline{\dfrac{利润}{成本（进价）}}$ ×100%；
(3) 总利润 = $\underline{总销售额}$ - $\underline{总成本}$，
或总利润 = $\underline{每件商品的利润}$ × $\underline{销售数量}$。
解析
【分析】
本题考查销售利润类问题的基础数量关系，是利用二次函数求解最大利润问题的前置必备知识。解题时结合实际销售逻辑回忆对应公式即可：
1. 单个商品的利润是卖出价格减去进货的成本，因此第一个式子对应售价减成本；
2. 利润率是盈利占成本的比例，因此用利润除以成本再乘100%；
3. 总利润有两种计算思路：一种是总收入减去总支出，即总销售额减总成本；另一种是先算单件商品的利润，再乘销售的总数量。
【解析】
根据销售类问题的常见数量关系：
(1) 单个商品的利润 = 售价 - 成本（进价）；
(2) 利润率表示利润占成本的比例，因此$\mathrm{利润率}=\dfrac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本（进价）}}×100\%$；
(3) 总利润可通过总收支差计算：$\mathrm{总利润}=\mathrm{总销售额}-\mathrm{总成本}$；也可通过单件利润乘以销量计算：$\mathrm{总利润}=\mathrm{每件商品的利润}×\mathrm{销售数量}$。
【答案】
(1) 售价；成本（进价）
(2) $\dfrac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本（进价）}}$
(3) 总销售额；总成本；每件商品的利润；销售数量
【知识点】
利润计算公式、利润率计算公式、总利润计算方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，相关公式是解决实际利润最值问题的核心基础，只有熟练掌握这些数量关系，才能准确列出利润对应的函数表达式，进而求解最大利润。
【难度系数】
0.9
本题考查销售利润类问题的基础数量关系，是利用二次函数求解最大利润问题的前置必备知识。解题时结合实际销售逻辑回忆对应公式即可：
1. 单个商品的利润是卖出价格减去进货的成本，因此第一个式子对应售价减成本；
2. 利润率是盈利占成本的比例，因此用利润除以成本再乘100%；
3. 总利润有两种计算思路：一种是总收入减去总支出，即总销售额减总成本；另一种是先算单件商品的利润，再乘销售的总数量。
【解析】
根据销售类问题的常见数量关系：
(1) 单个商品的利润 = 售价 - 成本（进价）；
(2) 利润率表示利润占成本的比例，因此$\mathrm{利润率}=\dfrac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本（进价）}}×100\%$；
(3) 总利润可通过总收支差计算：$\mathrm{总利润}=\mathrm{总销售额}-\mathrm{总成本}$；也可通过单件利润乘以销量计算：$\mathrm{总利润}=\mathrm{每件商品的利润}×\mathrm{销售数量}$。
【答案】
(1) 售价；成本（进价）
(2) $\dfrac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本（进价）}}$
(3) 总销售额；总成本；每件商品的利润；销售数量
【知识点】
利润计算公式、利润率计算公式、总利润计算方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，相关公式是解决实际利润最值问题的核心基础，只有熟练掌握这些数量关系，才能准确列出利润对应的函数表达式，进而求解最大利润。
【难度系数】
0.9
2. (★)某种商品每件的进价为30元.经调查表明:在某段时间内,这种商品若以每件x元(30＜x＜40,且x为整数)的价格出售,可卖出(42−x)件,要使利润最大,每件的售价应为元.
答案
解：设总利润为$y$元，
根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，则总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(42-x)\\&=-x^2+72x-1260\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{72}{2×(-1)}=36$。
已知$30＜x＜40$，且$x$为整数，$x=36$在取值范围内，此时$y$取得最大值。
答：每件的售价应为$\boldsymbol{36}$元。
根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，则总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(42-x)\\&=-x^2+72x-1260\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{72}{2×(-1)}=36$。
已知$30＜x＜40$，且$x$为整数，$x=36$在取值范围内，此时$y$取得最大值。
答：每件的售价应为$\boldsymbol{36}$元。
解析
【分析】
要解决这个利润最大化的问题，首先明确销售问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售量。我们可以先设总利润为y元，根据已知条件写出y关于售价x的函数表达式，发现该表达式是二次函数，再结合二次函数的图像性质求最大值，最后验证取得最值时的x是否符合题目给出的取值范围要求即可。
【解析】
设总利润为$y$元，
根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，销售量为$(42-x)$件，因此总利润为：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(42-x)\\&=-x^2+72x-1260\end{aligned}$
该二次函数中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{72}{2×(-1)}=36$。
已知$30＜x＜40$且x为整数，$x=36$在取值范围内，因此当$x=36$时，y取得最大值。
【答案】
36
【知识点】
销售利润计算；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的基础应用，解题的关键是正确建立利润关于售价的函数模型，再结合二次函数的最值性质，同时注意自变量的实际取值限制即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
要解决这个利润最大化的问题，首先明确销售问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售量。我们可以先设总利润为y元，根据已知条件写出y关于售价x的函数表达式，发现该表达式是二次函数，再结合二次函数的图像性质求最大值，最后验证取得最值时的x是否符合题目给出的取值范围要求即可。
【解析】
设总利润为$y$元，
根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，销售量为$(42-x)$件，因此总利润为：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(42-x)\\&=-x^2+72x-1260\end{aligned}$
该二次函数中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{72}{2×(-1)}=36$。
已知$30＜x＜40$且x为整数，$x=36$在取值范围内，因此当$x=36$时，y取得最大值。
【答案】
36
【知识点】
销售利润计算；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的基础应用，解题的关键是正确建立利润关于售价的函数模型，再结合二次函数的最值性质，同时注意自变量的实际取值限制即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
3. (★)将进价为70元/件的某种商品按零售价100元/件售出时,每天能卖出20件.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件,其日销售量就增加1件.为了获得最大利润,决定降价x元,则单件的利润为元,每日的销售量为件,每日的利润y = . 所以每件降价元时,每日获得的利润最大,最大利润为元.
答案
解：
单件的利润为$(30 - x)$元，
每日的销售量为$(20 + x)$件，
每日的利润$y=(30-x)(20+x)=-x^2+10x+600$。
将函数配方得$y=-(x-5)^2+625$，
由二次函数性质可知，当$x=5$时，$y$取得最大值625。
所以每件降价$\boldsymbol{5}$元时，每日获得的利润最大，最大利润为$\boldsymbol{625}$元。
答案依次为：$\boldsymbol{30-x}$；$\boldsymbol{20+x}$；$\boldsymbol{-x^2+10x+600}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{625}$。
单件的利润为$(30 - x)$元，
每日的销售量为$(20 + x)$件，
每日的利润$y=(30-x)(20+x)=-x^2+10x+600$。
将函数配方得$y=-(x-5)^2+625$，
由二次函数性质可知，当$x=5$时，$y$取得最大值625。
所以每件降价$\boldsymbol{5}$元时，每日获得的利润最大，最大利润为$\boldsymbol{625}$元。
答案依次为：$\boldsymbol{30-x}$；$\boldsymbol{20+x}$；$\boldsymbol{-x^2+10x+600}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{625}$。
解析
【分析】
这是典型的销售利润类最值问题，解题可按以下思路推进：首先明确利润相关的基本等量关系：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×日销售量；其次结合题中“降价x元”的条件，分别表示出降价后的单件利润和日销售量；最后根据总利润公式列出关于x的函数表达式，发现为二次函数后，结合二次函数开口方向，利用配方法求最值即可，注意x的取值要符合实际销售的要求。
【解析】
1. 计算单件利润：原零售价100元/件，进价70元/件，降价x元后单件售价为$(100-x)$元，因此单件利润为$(100-x)-70=30-x$元。
2. 计算每日销售量：原日销售量为20件，每降价1元日销售量增加1件，降价x元后日销售量增加x件，因此每日销售量为$20+x$件。
3. 列每日利润表达式：根据总利润=单件利润×日销售量，可得$y=(30-x)(20+x)$，展开整理得$y=-x^2+10x+600$。
4. 求利润最大值：对函数配方得$y=-x^2+10x+600=-(x-5)^2+625$，由于二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=5$时，$y$取得最大值625，且$x=5$符合实际销售的取值要求。
【答案】
$30-x$；$20+x$；$-x^2+10x+600$；$5$；$625$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是理清售价、销量、利润三者的数量关系，正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解最值，解题时需注意自变量的实际意义，确保所求结果符合现实情况。
【难度系数】
0.8
这是典型的销售利润类最值问题，解题可按以下思路推进：首先明确利润相关的基本等量关系：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×日销售量；其次结合题中“降价x元”的条件，分别表示出降价后的单件利润和日销售量；最后根据总利润公式列出关于x的函数表达式，发现为二次函数后，结合二次函数开口方向，利用配方法求最值即可，注意x的取值要符合实际销售的要求。
【解析】
1. 计算单件利润：原零售价100元/件，进价70元/件，降价x元后单件售价为$(100-x)$元，因此单件利润为$(100-x)-70=30-x$元。
2. 计算每日销售量：原日销售量为20件，每降价1元日销售量增加1件，降价x元后日销售量增加x件，因此每日销售量为$20+x$件。
3. 列每日利润表达式：根据总利润=单件利润×日销售量，可得$y=(30-x)(20+x)$，展开整理得$y=-x^2+10x+600$。
4. 求利润最大值：对函数配方得$y=-x^2+10x+600=-(x-5)^2+625$，由于二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=5$时，$y$取得最大值625，且$x=5$符合实际销售的取值要求。
【答案】
$30-x$；$20+x$；$-x^2+10x+600$；$5$；$625$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是理清售价、销量、利润三者的数量关系，正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解最值，解题时需注意自变量的实际意义，确保所求结果符合现实情况。
【难度系数】
0.8
4. (★)某超市销售一种饮料,每瓶进价为4元,经市场调查发现:当售价为每瓶7元时,日均销售量为400瓶,每瓶售价每增加1元,日均销售量就减少80瓶.若要日均利润最大,则每瓶饮料的售价应是
【 】
A.6元
B.7元
C.8元
D.9元
【 】
A.6元
B.7元
C.8元
D.9元
答案
C
解析
【分析】
这是销售利润最值问题，解题思路如下：首先明确利润的核心计算公式：日均总利润=每瓶利润×日均销售量。第一步，设售价为自变量，日均利润为因变量；第二步，根据售价和销量的变化关系，用含自变量的式子分别表示出每瓶利润和日均销售量；第三步，列出利润关于售价的二次函数解析式；第四步，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算得到利润最大时对应的售价即可。
【解析】
设每瓶饮料的售价为$x$元，日均利润为$y$元。
1. 表示每瓶利润：每瓶进价4元，因此每瓶利润为$(x-4)$元。
2. 表示日均销售量：售价为7元时销量400瓶，每涨1元销量减80瓶，因此售价为$x$元时，销量为$400-80(x-7)=960-80x$瓶。
3. 列利润函数：
$y=(x-4)(960-80x)$
展开并整理得：
$y=-80x^2+1280x-3840$
这是二次函数，其中$a=-80＜0$，函数图象开口向下，顶点处$y$取最大值。
4. 求最值对应的售价：
二次函数顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-80$，$b=1280$得：
$x=-\frac{1280}{2×(-80)}=8$
即当售价为8元时，日均利润最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类最值应用题，解题核心是正确梳理售价、销量、利润三者的数量关系，列出符合题意的函数解析式，再结合二次函数的性质求解即可，掌握基础公式和二次函数性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是销售利润最值问题，解题思路如下：首先明确利润的核心计算公式：日均总利润=每瓶利润×日均销售量。第一步，设售价为自变量，日均利润为因变量；第二步，根据售价和销量的变化关系，用含自变量的式子分别表示出每瓶利润和日均销售量；第三步，列出利润关于售价的二次函数解析式；第四步，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算得到利润最大时对应的售价即可。
【解析】
设每瓶饮料的售价为$x$元，日均利润为$y$元。
1. 表示每瓶利润：每瓶进价4元，因此每瓶利润为$(x-4)$元。
2. 表示日均销售量：售价为7元时销量400瓶，每涨1元销量减80瓶，因此售价为$x$元时，销量为$400-80(x-7)=960-80x$瓶。
3. 列利润函数：
$y=(x-4)(960-80x)$
展开并整理得：
$y=-80x^2+1280x-3840$
这是二次函数，其中$a=-80＜0$，函数图象开口向下，顶点处$y$取最大值。
4. 求最值对应的售价：
二次函数顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-80$，$b=1280$得：
$x=-\frac{1280}{2×(-80)}=8$
即当售价为8元时，日均利润最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类最值应用题，解题核心是正确梳理售价、销量、利润三者的数量关系，列出符合题意的函数解析式，再结合二次函数的性质求解即可，掌握基础公式和二次函数性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. (★)某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人需缴费800元.旅行社对超过30人的团给予优惠:每增加1人,每人需缴费降低10元.若这个旅行社想获得最大营业额,则这个旅游团的人数应是
【 】
A.56
B.55
C.54
D.53
【 】
A.56
B.55
C.54
D.53
答案
B
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确营业额的等量关系：营业额=旅游团人数×每人缴费金额；第二步，设置自变量（旅游团人数）和函数（营业额），结合题目给出的优惠规则表示出人均缴费金额，进而列出函数关系式；第三步，将函数整理为二次函数的一般形式，结合二次函数开口方向，利用顶点坐标公式求出取得最大值时的自变量取值，注意自变量需符合人数为正整数且不小于30的实际要求。
【解析】
设旅游团的人数为$ x $人（$ x≥30 $，且$ x $为正整数），旅行社获得的营业额为$ y $元。
根据优惠规则，每增加1人每人缴费降低10元，因此超过30人时，每人缴费金额为：$ 800 - 10(x-30) $元。
根据营业额的计算公式可得：
$ y = x × [800 - 10(x-30)] $
展开整理得：
$ y = x(1100 - 10x) = -10x^2 + 1100x $
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a=-10＜0 $，因此函数图象开口向下，顶点处$ y $取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，代入$ a=-10 $，$ b=1100 $得：
$ x = -\frac{1100}{2×(-10)} = 55 $
55符合$ x≥30 $且为正整数的要求，因此当人数为55人时，旅行社获得最大营业额。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 二次函数最值计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是找准数量关系列出正确的函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确营业额的等量关系：营业额=旅游团人数×每人缴费金额；第二步，设置自变量（旅游团人数）和函数（营业额），结合题目给出的优惠规则表示出人均缴费金额，进而列出函数关系式；第三步，将函数整理为二次函数的一般形式，结合二次函数开口方向，利用顶点坐标公式求出取得最大值时的自变量取值，注意自变量需符合人数为正整数且不小于30的实际要求。
【解析】
设旅游团的人数为$ x $人（$ x≥30 $，且$ x $为正整数），旅行社获得的营业额为$ y $元。
根据优惠规则，每增加1人每人缴费降低10元，因此超过30人时，每人缴费金额为：$ 800 - 10(x-30) $元。
根据营业额的计算公式可得：
$ y = x × [800 - 10(x-30)] $
展开整理得：
$ y = x(1100 - 10x) = -10x^2 + 1100x $
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a=-10＜0 $，因此函数图象开口向下，顶点处$ y $取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，代入$ a=-10 $，$ b=1100 $得：
$ x = -\frac{1100}{2×(-10)} = 55 $
55符合$ x≥30 $且为正整数的要求，因此当人数为55人时，旅行社获得最大营业额。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 二次函数最值计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是找准数量关系列出正确的函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6. (★★)某商场购进一种商品，每件成本为80元.前期预售期间每件定价为120元时，每周可卖出600件.后期经过市场调研发现，若调整单价：每降价1元，则每周多卖出30件；每涨价1元，则每周少卖出10件.
(1)该商品前期预售期间每周获得利润多少元？
(2)商场经理决定根据后期调研情况进行调价，每件如何定价才能使每周的利润最大？最大利润是多少？
(1)该商品前期预售期间每周获得利润多少元？
(2)商场经理决定根据后期调研情况进行调价，每件如何定价才能使每周的利润最大？最大利润是多少？
答案
解：
(1) 前期预售期间每件商品的利润为：$120 - 80 = 40$（元）
每周总利润为：$40 × 600 = 24000$（元）
(2) 分两种情况讨论：
① 设每件商品降价$x$元，每周利润为$y_1$元，此时定价为$(120-x)$元，其中$0 ≤ x ≤ 40$。
每周销量为$(600 + 30x)$件，每件利润为$(40 - x)$元：
$\begin{aligned}y_1&=(40 - x)(600 + 30x)\\&=-30x^2 + 600x + 24000\\&=-30(x-10)^2 + 27000\end{aligned}$
$\because -30＜0$，$\therefore$ 当$x=10$时，$y_1$有最大值27000，此时定价为$120-10=110$元。
② 设每件商品涨价$m$元，每周利润为$y_2$元，此时定价为$(120+m)$元，其中$0 ≤ m ≤ 60$。
每周销量为$(600 - 10m)$件，每件利润为$(40 + m)$元：
$\begin{aligned}y_2&=(40 + m)(600 - 10m)\\&=-10m^2 + 200m + 24000\\&=-10(m-10)^2 + 25000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，$\therefore$ 当$m=10$时，$y_2$有最大值25000，此时定价为$120+10=130$元。
$\because 27000＞25000$，
$\therefore$ 当每件定价为110元时，每周的利润最大，最大利润是27000元。
答：(1) 前期预售期间每周获得利润24000元；(2) 每件定价为110元时每周利润最大，最大利润为27000元。
(1) 前期预售期间每件商品的利润为：$120 - 80 = 40$（元）
每周总利润为：$40 × 600 = 24000$（元）
(2) 分两种情况讨论：
① 设每件商品降价$x$元，每周利润为$y_1$元，此时定价为$(120-x)$元，其中$0 ≤ x ≤ 40$。
每周销量为$(600 + 30x)$件，每件利润为$(40 - x)$元：
$\begin{aligned}y_1&=(40 - x)(600 + 30x)\\&=-30x^2 + 600x + 24000\\&=-30(x-10)^2 + 27000\end{aligned}$
$\because -30＜0$，$\therefore$ 当$x=10$时，$y_1$有最大值27000，此时定价为$120-10=110$元。
② 设每件商品涨价$m$元，每周利润为$y_2$元，此时定价为$(120+m)$元，其中$0 ≤ m ≤ 60$。
每周销量为$(600 - 10m)$件，每件利润为$(40 + m)$元：
$\begin{aligned}y_2&=(40 + m)(600 - 10m)\\&=-10m^2 + 200m + 24000\\&=-10(m-10)^2 + 25000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，$\therefore$ 当$m=10$时，$y_2$有最大值25000，此时定价为$120+10=130$元。
$\because 27000＞25000$，
$\therefore$ 当每件定价为110元时，每周的利润最大，最大利润是27000元。
答：(1) 前期预售期间每周获得利润24000元；(2) 每件定价为110元时每周利润最大，最大利润为27000元。
解析
【分析】
(1) 求解第一问可直接利用销售利润的基本公式：总利润=单件利润×销售总量，先算出预售时每件商品的利润，再乘以预售周销量即可得到结果。
(2) 第二问需分降价和涨价两类情况讨论：① 设降价金额为自变量，用含自变量的式子分别表示调价后的单件利润和周销量，列出利润关于自变量的二次函数，结合二次函数的性质求最值；② 同理设涨价金额为自变量，列出对应二次函数求最值，最后比较两种情况的最大利润，取较大值对应的定价和利润即为所求。
【解析】
(1) 前期预售期间每件商品的利润为：$120 - 80 = 40$（元）
每周总利润为：$40 × 600 = 24000$（元）
(2) 分两种情况讨论：
① 设每件商品降价$x$元，每周利润为$y_1$元，此时定价为$(120-x)$元，其中$0 ≤ x ≤ 40$。
每周销量为$(600 + 30x)$件，每件利润为$(40 - x)$元：
$\begin{aligned}y_1&=(40 - x)(600 + 30x)\\&=-30x^2 + 600x + 24000\\&=-30(x-10)^2 + 27000\end{aligned}$
$\because -30＜0$，$\therefore$ 当$x=10$时，$y_1$有最大值27000，此时定价为$120-10=110$元。
② 设每件商品涨价$m$元，每周利润为$y_2$元，此时定价为$(120+m)$元，其中$0 ≤ m ≤ 60$。
每周销量为$(600 - 10m)$件，每件利润为$(40 + m)$元：
$\begin{aligned}y_2&=(40 + m)(600 - 10m)\\&=-10m^2 + 200m + 24000\\&=-10(m-10)^2 + 25000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，$\therefore$ 当$m=10$时，$y_2$有最大值25000，此时定价为$120+10=130$元。
$\because 27000＞25000$，
$\therefore$ 当每件定价为110元时，每周的利润最大，最大利润是27000元。
【答案】
(1) 前期预售期间每周获得利润24000元；(2) 每件定价为110元时每周利润最大，最大利润为27000元
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值应用，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用题，解题的关键是根据调价规则分情况列出对应的利润函数，再利用二次函数的性质求最值，易错点是容易遗漏涨价或降价其中一种情况，或忽略自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问可直接利用销售利润的基本公式：总利润=单件利润×销售总量，先算出预售时每件商品的利润，再乘以预售周销量即可得到结果。
(2) 第二问需分降价和涨价两类情况讨论：① 设降价金额为自变量，用含自变量的式子分别表示调价后的单件利润和周销量，列出利润关于自变量的二次函数，结合二次函数的性质求最值；② 同理设涨价金额为自变量，列出对应二次函数求最值，最后比较两种情况的最大利润，取较大值对应的定价和利润即为所求。
【解析】
(1) 前期预售期间每件商品的利润为：$120 - 80 = 40$（元）
每周总利润为：$40 × 600 = 24000$（元）
(2) 分两种情况讨论：
① 设每件商品降价$x$元，每周利润为$y_1$元，此时定价为$(120-x)$元，其中$0 ≤ x ≤ 40$。
每周销量为$(600 + 30x)$件，每件利润为$(40 - x)$元：
$\begin{aligned}y_1&=(40 - x)(600 + 30x)\\&=-30x^2 + 600x + 24000\\&=-30(x-10)^2 + 27000\end{aligned}$
$\because -30＜0$，$\therefore$ 当$x=10$时，$y_1$有最大值27000，此时定价为$120-10=110$元。
② 设每件商品涨价$m$元，每周利润为$y_2$元，此时定价为$(120+m)$元，其中$0 ≤ m ≤ 60$。
每周销量为$(600 - 10m)$件，每件利润为$(40 + m)$元：
$\begin{aligned}y_2&=(40 + m)(600 - 10m)\\&=-10m^2 + 200m + 24000\\&=-10(m-10)^2 + 25000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，$\therefore$ 当$m=10$时，$y_2$有最大值25000，此时定价为$120+10=130$元。
$\because 27000＞25000$，
$\therefore$ 当每件定价为110元时，每周的利润最大，最大利润是27000元。
【答案】
(1) 前期预售期间每周获得利润24000元；(2) 每件定价为110元时每周利润最大，最大利润为27000元
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值应用，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用题，解题的关键是根据调价规则分情况列出对应的利润函数，再利用二次函数的性质求最值，易错点是容易遗漏涨价或降价其中一种情况，或忽略自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.6
