14. (★★★)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为$a,b,c$，记$p=\frac{a+b+c}{2}$，则其面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。这个公式也被称为海伦—秦九韶公式。若$p=5$，$c=4$，则此三角形面积的最大值为 【 】

A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.5

C

【分析】
解题时首先根据海伦-秦九韶公式中半周长p的定义，结合已知的p=5、c=4求出a+b的和，再将面积S的表达式转化为仅含单个变量的代数式，最后利用完全平方的非负性求出S的最大值即可。
【解析】
已知$p=\frac{a+b+c}{2}=5$，$c=4$，代入得：
$a+b=2p - c=2×5 -4=6$，即$b=6-a$。
将$p=5$、$c=4$代入面积公式得：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5(5-a)(5-b)(5-4)}=\sqrt{5(5-a)(5-b)}$
把$b=6-a$代入上式，$5-b=5-(6-a)=a-1$，则：
$(5-a)(5-b)=(5-a)(a-1)=-a^2+6a-5=-(a-3)^2+4$
根据平方的非负性，$(a-3)^2≥0$，因此$-(a-3)^2+4≤4$，当且仅当$a=3$时取等号。
此时$S$的最大值为$\sqrt{5×4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
海伦-秦九韶公式，完全平方公式，代数式最值
【点评】
本题结合传统数学文化考查代数式变形与最值求解，解题核心是通过半周长建立两边的数量关系，将面积表达式转化为可求最值的形式，求解时注意验证三边是否满足三角形构成条件即可。
【难度系数】
0.6