1. A教材经典设问 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园。当AD=时，菜园的面积最大。
第1题图

5 m

【分析】
本题是二次函数在实际生活中求最值的典型问题，解题思路如下：第一步先设AD的长度为未知数x，再结合篱笆总长度表示出矩形菜园另一条边AB的长度；第二步根据矩形面积公式写出面积关于x的二次函数表达式；第三步利用二次函数的最值性质，结合自变量的实际取值范围，求出对应面积最大时x的取值即可。
【解析】
解：设AD的长为$ x \, \mathrm{m} $，菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由篱笆总长为20m，且$ AD=BC=x $，可得矩形的长$ AB=20-2x $，根据题意边长为正，因此自变量x的取值范围为$ 0＜x＜10 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = AD · AB = x(20-2x) $
整理得二次函数：$ S=-2x^2+20x $
该二次函数的二次项系数$ a=-2＜0 $，图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，当$ x=-\frac{b}{2a} $时函数取最值，代入$ a=-2,b=20 $得：
$ x=-\frac{20}{2×(-2)}=5 $，5在$ 0＜x＜10 $的取值范围内，符合实际意义。
因此当AD为5m时，菜园面积最大。
【答案】
5 m
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题将几何周长、面积问题与二次函数相结合，核心是把实际问题转化为二次函数模型，按照“设变量-列函数-求最值-验合理性”的步骤求解即可，是需要熟练掌握的基础应用题型。
【难度系数】
0.75

2.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙(墙足够长)，其余三边除门外用栅栏围成，栅栏的总长度为38 m，门宽为2 m. 则这个矩形花圃的最大面积是 m².

200

【分析】
这是二次函数解决实际最值的典型题，解题思路为：①设垂直于墙的边长为自变量x；②结合栅栏总长和门宽，推导平行于墙的边长表达式：因门不需要栅栏，平行于墙的边长=栅栏总长度+门宽-2倍垂直边长；③根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数；④利用二次函数开口向下顶点取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设矩形花圃垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，花圃面积为$ y \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得，平行于墙的边长为：$ 38 + 2 - 2x = 40 - 2x $（$ 0 ＜ x ＜ 20 $，保证边长为正）。
根据矩形面积公式可得：
$ y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x $
对函数配方得：
$ y = -2(x - 10)^2 + 200 $
∵二次项系数$ -2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，
∴当$ x = 10 $时，$ y $取最大值，最大值为$ 200 $，且$ x=10 $符合实际取值范围。
【答案】
200
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常考题型，解题的易错点是容易忽略门宽导致平行于墙的边长表达式列错，正确列出函数关系式后结合二次函数性质即可求出最值，能很好地考查学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在一面长为18 m的墙的一侧,用长为33 m的篱笆围成一个一边靠墙、中间隔有一道篱笆的矩形花圃.
(1)设AB的长为x m,花圃的面积为S m²,求S与x之间的函数关系式,并求x的取值范围.
(2)当AB,BC的长各为多少时,花圃的面积最大?最大面积是多少?

解:(1)由题意,得 BC=(33-3x)m,
∴花圃的面积 S=AB·BC=x(33-3x)=-3x²+33x.
∵33-3x≤18,33-3x＞0,
∴5≤x＜11.
(2)由(1),得 S=-3(x-5.5)²+90.75.
∵-3＜0,5≤x＜11,
∴当x=5.5时,花圃的面积S最大,此时 33-3x=16.5,S=90.75.答:当AB=5.5 m,BC=16.5 m 时,花圃的面积最大,最大面积是90.75 m².

【分析】
(1) 先分析篱笆的构成：垂直于墙的边共有3段（AB、中间分隔栏、右侧对应边），每段长均为x m，用总篱笆长减去3个x即可得到平行于墙的边BC的长度，再根据矩形面积公式就能写出S与x的函数关系式。求x的取值范围要结合两个实际限制：一是BC的长度不能超过墙的总长18m，二是BC的长度必须为正数，列不等式组求解即可得到x的范围。
(2) 所得函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值。先将函数解析式配成顶点式，再判断顶点横坐标是否在第一问求出的x取值范围内，若在范围内，代入即可求出最大面积，再对应计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 设AB的长为x m，垂直于墙的篱笆共3段，总篱笆长33m，因此平行于墙的边BC的长度为$(33-3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S = AB · BC = x(33-3x) = -3x^2 + 33x$
结合实际限制列不等式组：
$\begin{cases}33-3x ≤ 18 \\33-3x ＞ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥ 5$，解第二个不等式得$x ＜ 11$，因此x的取值范围为$5 ≤ x ＜ 11$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}S&=-3x^2 + 33x\\&=-3(x^2 - 11x)\\&=-3(x - 5.5)^2 + 90.75\end{aligned}$
$\because -3 ＜ 0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在$5 ≤ x ＜ 11$的范围内，
$\therefore$ 当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为$90.75\ \mathrm{m}^2$。
此时$BC = 33 - 3×5.5 = 16.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+33x$，x的取值范围是$5≤ x＜11$；
(2) 当AB长为5.5 m，BC长为16.5 m时，花圃面积最大，最大面积是$90.75\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围确定，二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是结合实际场景正确列出函数解析式，尤其要注意根据实际限制条件准确求出自变量的取值范围，求最值时需验证顶点是否在取值范围内，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.7

4.某兴趣小组接到美化校园一角的任务.如图，同学们计划借助直角墙角∠BAD(两边足够长)围一个矩形花园ABCD,并在CD上留宽为1 m的门,同学们购买了35 m长的篱笆.设AB=x m,花园的面积为S m².
(1)当S=288时,求x的值.
(2)如图,点P处有一棵树,与墙AD的距离是20 m,与墙AB的距离是10 m.要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.

解:(1)由题意,得 BC+CD=35+1=36(m).
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD=x m.
∴BC=(36-x)m.
∴S=x(36-x). 当S=288时,288=x(36-x),解得x₁=12,x₂=24.答:x的值为12或24.
(2)S=x(36-x)=-(x-18)²+324.由函数表达式可知,S关于x的二次函数图象开口向下,当x＞18时,S随x的增大而减小.由题意,得 $\begin{cases} x≥20, \\ 36-x≥10, \end{cases}$
∴20≤x≤26.
∴当x=20时,S最大.把x=20代入S=x(36-x),得S=320.答:花园面积的最大值为320 m².

【分析】
(1) 首先分析篱笆与矩形边长的关系：CD处有1m宽的门，因此围花园的等效总长度为篱笆长加门宽，即35+1=36m，也就是BC+CD=36m。已知AB=CD=x m，可推出BC的长度表达式，再根据矩形面积公式列面积关系式，将S=288代入得到一元二次方程，求解即可得到x的值。
(2) 先将面积表达式整理为二次函数顶点式，明确函数开口方向和单调性。再结合树的位置确定x的取值范围：树在花园内意味着AB长度≥树到AD的距离20m，BC长度≥树到AB的距离10m，列不等式组求出x的范围后，结合二次函数单调性，在取值范围内找到使面积最大的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 由题意得，CD上留1m宽的门，因此围花园的总等效长度为：BC+CD=35+1=36(m)。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=x m，
∴BC=(36-x)m，
矩形面积$S=AB× BC=x(36-x)$。
当S=288时，代入得：$288=x(36-x)$，
整理得$x^2-36x+288=0$，
因式分解得$(x-12)(x-24)=0$，
解得$x_1=12$，$x_2=24$。
(2) 将面积表达式整理为顶点式：
$S=x(36-x)=-x^2+36x=-(x-18)^2+324$，
该二次函数图象开口向下，对称轴为$x=18$，当$x＞18$时，S随x的增大而减小。
要将树围在花园内（含边界），需满足：
$\begin{cases} x≥20 \\ 36-x≥10 \end{cases}$，
解得$20≤ x≤26$。
结合函数单调性，在$20≤ x≤26$区间内S随x增大而减小，因此当x=20时，S取得最大值，
代入得$S=20×(36-20)=320(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) x的值为12或24；
(2) 花园面积的最大值为$320\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；不等式组的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查代数知识的应用，解题时要注意结合实际条件确定边长的数量关系，求二次函数最值时不能直接套用顶点坐标，需先根据限制条件确定自变量的取值范围，再结合函数单调性求解，避免脱离实际条件出现错误。
【难度系数】
0.6

5. 生活情境·自行车车棚 如图，学校在教学楼后面搭建了一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为 60 m），其他的边用总长 70 m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1 m 的出口后（出口不占用不锈钢栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形。（备注信息：在自行车车棚后面距教学楼后墙 8 m 处，规划有机动车停车位）

设自行车车棚的面积为 S m²，车棚宽度 AB 为 x m.
(1)车棚的长 BC=m(用含 x 的式子表示).
(2)求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围.
(3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明.

解:(1)(72-3x)
(2)S=x(72-3x)=-3x²+72x. 由题意,得 $\begin{cases} 1≤ x≤8, \\ 0＜72-3x≤60, \end{cases}$解得4≤x≤8.
∴S与x之间的函数关系式为S=-3x²+72x(4≤x≤8).
(3)S=-3x²+72x=-3(x-12)²+432.
∵-3＜0,4≤x≤8,
∴当x=8时,S取最大值,S最大=-3×16+432=384.
∴自行车车棚面积最大可达到 384 m².

【分析】
(1) 求BC的长度：首先观察栅栏结构为“山”字形，可知垂直于墙的边共有3条，每条长度均为x m；已知栅栏总长70 m，左右各有1 m宽的出口无需栅栏，因此车棚的长BC = 栅栏总长 + 2个出口的总宽度 - 3条垂直边的总长度，代入即可得到含x的表达式。
(2) 求函数关系式和自变量范围：矩形面积=长×宽，将AB=x、BC=72-3x代入即可得到S与x的函数式；自变量范围需结合两个实际限制：①车棚宽度AB不能超过后方机动车位到墙的距离8 m；②BC的长度不能超过可利用墙长60 m，且BC为正数，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(3) 求最大面积：先将二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，判断函数在取值范围内的增减性，找到对应最大值的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 垂直于墙的边共3条，总长为3x m，栅栏总长70 m，左右出口共宽2 m，因此$BC=70+2-3x=(72-3x)\ \mathrm{m}$。
(2) 矩形面积$S=AB× BC$，代入得：
$S=x(72-3x)=-3x^2+72x$
根据实际条件列不等式组：
$\begin{cases} x≤ 8 \\ 0＜72-3x≤60 \end{cases}$
解不等式$72-3x＞0$得$x＜24$，解$72-3x≤60$得$x≥4$，结合$x≤8$，最终解得$4≤ x≤8$。
因此S与x的函数关系式为$S=-3x^2+72x\ (4≤ x≤8)$。
(3) 将函数配方得：
$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$
$\because$二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=12$，
又$\because 4≤ x≤8$在对称轴左侧，此时S随x的增大而增大，
$\therefore$当$x=8$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=-3×(8-12)^2+432=-48+432=384$
即车棚面积最大可达$384\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{72-3x}$
(2) $S=-3x^2+72x\ (4≤ x≤8)$
(3) $\boxed{384\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，二次函数最值
【点评】
本题结合生活中的车棚搭建情境考查二次函数的应用，解题的关键是结合几何图形结构正确列出代数式和函数解析式，尤其要注意根据实际限制条件确定自变量的取值范围，避免直接利用顶点求最值时忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.6