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方法1 十字相乘
1.阅读材料解题：
【问题解决】
(1)利用上述方法分解因式：
①$x^2 +7x +10$； ②$x^2 +5x -6$；
③$x^2 -5x -24$。
【拓展训练】
(2)因式分解：$(x^2 +x)^2 - (x^2 +x) -2$。
1.阅读材料解题：
【问题解决】
(1)利用上述方法分解因式：
①$x^2 +7x +10$； ②$x^2 +5x -6$；
③$x^2 -5x -24$。
【拓展训练】
(2)因式分解：$(x^2 +x)^2 - (x^2 +x) -2$。
答案
(1)①$(x+2)(x+5).$ ②$(x+6)(x-1).$ ③$(x-8)(x+3).$ (2)$(x^2+x+1)(x-1)(x+2).$
解析
【分析】
对于二次项系数为1的二次三项式，使用十字相乘法分解因式的核心思路是：将常数项拆分为两个因数的乘积，且这两个因数的和恰好等于一次项系数，即可将多项式分解为两个一次因式的乘积；对于含有相同整体的复杂多项式，可先将该整体看作一个新变量，简化式子完成分解后，再还原为原多项式，最后检查每个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1)①分解$x^2 +7x +10$：
常数项10可拆为$2×5$，且$2+5=7$（与一次项系数相等），因此$x^2 +7x +10=(x+2)(x+5)$。
②分解$x^2 +5x -6$：
常数项$-6$可拆为$6×(-1)$，且$6+(-1)=5$（与一次项系数相等），因此$x^2 +5x -6=(x+6)(x-1)$。
③分解$x^2 -5x -24$：
常数项$-24$可拆为$(-8)×3$，且$-8+3=-5$（与一次项系数相等），因此$x^2 -5x -24=(x-8)(x+3)$。
(2)分解$(x^2 +x)^2 - (x^2 +x) -2$：
令$y=x^2+x$，原式可转化为$y^2 - y -2$，常数项$-2$可拆为$1×(-2)$，且$1+(-2)=-1$，因此$y^2 - y -2=(y+1)(y-2)$。
将$y=x^2+x$代回得：原式$=(x^2+x+1)(x^2+x-2)$，再对$x^2+x-2$分解，常数项$-2$可拆为$2×(-1)$，$2+(-1)=1$，因此$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$。
综上，原式$=(x^2+x+1)(x+2)(x-1)$。
【答案】
(1)①$\boxed{(x+2)(x+5)}$；②$\boxed{(x+6)(x-1)}$；③$\boxed{(x-8)(x+3)}$
(2)$\boxed{(x^2+x+1)(x-1)(x+2)}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，换元法，因式分解
【点评】
本题考查十字相乘法在因式分解中的应用，需要熟练掌握常数项的拆分技巧，拓展部分的换元思想可简化复杂多项式的分解过程，解题时要注意因式分解必须进行到每一个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.7
对于二次项系数为1的二次三项式，使用十字相乘法分解因式的核心思路是：将常数项拆分为两个因数的乘积，且这两个因数的和恰好等于一次项系数，即可将多项式分解为两个一次因式的乘积；对于含有相同整体的复杂多项式，可先将该整体看作一个新变量，简化式子完成分解后，再还原为原多项式，最后检查每个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1)①分解$x^2 +7x +10$：
常数项10可拆为$2×5$，且$2+5=7$（与一次项系数相等），因此$x^2 +7x +10=(x+2)(x+5)$。
②分解$x^2 +5x -6$：
常数项$-6$可拆为$6×(-1)$，且$6+(-1)=5$（与一次项系数相等），因此$x^2 +5x -6=(x+6)(x-1)$。
③分解$x^2 -5x -24$：
常数项$-24$可拆为$(-8)×3$，且$-8+3=-5$（与一次项系数相等），因此$x^2 -5x -24=(x-8)(x+3)$。
(2)分解$(x^2 +x)^2 - (x^2 +x) -2$：
令$y=x^2+x$，原式可转化为$y^2 - y -2$，常数项$-2$可拆为$1×(-2)$，且$1+(-2)=-1$，因此$y^2 - y -2=(y+1)(y-2)$。
将$y=x^2+x$代回得：原式$=(x^2+x+1)(x^2+x-2)$，再对$x^2+x-2$分解，常数项$-2$可拆为$2×(-1)$，$2+(-1)=1$，因此$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$。
综上，原式$=(x^2+x+1)(x+2)(x-1)$。
【答案】
(1)①$\boxed{(x+2)(x+5)}$；②$\boxed{(x+6)(x-1)}$；③$\boxed{(x-8)(x+3)}$
(2)$\boxed{(x^2+x+1)(x-1)(x+2)}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，换元法，因式分解
【点评】
本题考查十字相乘法在因式分解中的应用，需要熟练掌握常数项的拆分技巧，拓展部分的换元思想可简化复杂多项式的分解过程，解题时要注意因式分解必须进行到每一个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.7
2. 中考趋势·阅读理解 【阅读材料】分解因式：
$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y.$
解：原式$=(x^2 - 4y^2) - (2x - 4y)$ 分成两组
$=(x + 2y)(x - 2y) - 2(x - 2y)$
分别分解
$=(x - 2y)(x + 2y - 2).$
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫作分组分解法.分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组要有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解.
(1)下列关于上述方法中“分组”目的的说法正确的是
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解.
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①$x^2 - y^2 + x + y =$
②$2a + a^2 - 2b - 2ab + b^2 =$
(3)利用分组分解法进行因式分解：$4x^2 + 4x - y^2 + 1.$
$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y.$
解：原式$=(x^2 - 4y^2) - (2x - 4y)$ 分成两组
$=(x + 2y)(x - 2y) - 2(x - 2y)$
分别分解
$=(x - 2y)(x + 2y - 2).$
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫作分组分解法.分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组要有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解.
(1)下列关于上述方法中“分组”目的的说法正确的是
①②③
；(填序号)①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解.
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①$x^2 - y^2 + x + y =$
$(x^2 - y^2)+(x+y)$
；②$2a + a^2 - 2b - 2ab + b^2 =$
$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$
；(3)利用分组分解法进行因式分解：$4x^2 + 4x - y^2 + 1.$
答案
(1)①②③
(2)①$(x^2 - y^2)+(x+y)$ ②$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$
(3)$4x^2+4x-y^2+1=(2x+y+1)(2x-y+1).$
(2)①$(x^2 - y^2)+(x+y)$ ②$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$
(3)$4x^2+4x-y^2+1=(2x+y+1)(2x-y+1).$
解析
【分析】
本题围绕分组分解法因式分解设置问题，解题思路如下：
(1) 结合材料中分组分解法的定义，分组的核心是组内可先完成初步分解（提公因式或用公式），且组内分解后组间还能继续分解，据此判断三个说法的正误；
(2) ①观察多项式发现$x^2-y^2$是平方差结构，分解后含因式$(x+y)$，和剩余的$x+y$分组后可提取公因式，因此按前两项、后两项分组即可；②观察多项式发现$a^2-2ab+b^2$是完全平方结构，分解后含因式$(a-b)$，和剩余的$2a-2b$分组后可提取公因式，因此按一次项一组、二次三项式一组分组即可；
(3) 观察多项式发现$4x^2+4x+1$是完全平方式，先将这三项分为一组，分解后再和$-y^2$构成平方差结构，用公式法完成分解即可。
【解析】
(1) 根据分组分解法的要求，分组后组内既可以提取公因式，也可以运用公式法分解，且组内分解后，组之间要能继续提取公因式或用公式分解，因此①②③的说法均正确。
(2) ①$x^2-y^2+x+y$中，$x^2-y^2$可运用平方差公式分解，剩余$x+y$为一组，分组为$(x^2 - y^2)+(x+y)$；
②$2a + a^2 - 2b - 2ab + b^2$中，$a^2-2ab+b^2$可运用完全平方公式分解，剩余$2a-2b$提取公因式后和前者有公因式，分组为$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$；
(3) 分解$4x^2 + 4x - y^2 + 1$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4x^2 + 4x + 1) - y^2\\&=(2x+1)^2 - y^2\\&=(2x+1+y)(2x+1-y)\\&=(2x+y+1)(2x-y+1)\end{aligned}$
【答案】
(1)①②③
(2)①$(x^2 - y^2)+(x+y)$ ②$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$
(3)$(2x+y+1)(2x-y+1)$
【知识点】
分组分解法因式分解，公式法因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
本题以阅读理解形式考查分组分解法的应用，解题关键是结合多项式的项的特征合理分组，分组时要确保分组后既可以在组内完成初步分解，又能在组间继续分解，要求熟练掌握提公因式法和公式法的结构特征。
【难度系数】
0.7
本题围绕分组分解法因式分解设置问题，解题思路如下：
(1) 结合材料中分组分解法的定义，分组的核心是组内可先完成初步分解（提公因式或用公式），且组内分解后组间还能继续分解，据此判断三个说法的正误；
(2) ①观察多项式发现$x^2-y^2$是平方差结构，分解后含因式$(x+y)$，和剩余的$x+y$分组后可提取公因式，因此按前两项、后两项分组即可；②观察多项式发现$a^2-2ab+b^2$是完全平方结构，分解后含因式$(a-b)$，和剩余的$2a-2b$分组后可提取公因式，因此按一次项一组、二次三项式一组分组即可；
(3) 观察多项式发现$4x^2+4x+1$是完全平方式，先将这三项分为一组，分解后再和$-y^2$构成平方差结构，用公式法完成分解即可。
【解析】
(1) 根据分组分解法的要求，分组后组内既可以提取公因式，也可以运用公式法分解，且组内分解后，组之间要能继续提取公因式或用公式分解，因此①②③的说法均正确。
(2) ①$x^2-y^2+x+y$中，$x^2-y^2$可运用平方差公式分解，剩余$x+y$为一组，分组为$(x^2 - y^2)+(x+y)$；
②$2a + a^2 - 2b - 2ab + b^2$中，$a^2-2ab+b^2$可运用完全平方公式分解，剩余$2a-2b$提取公因式后和前者有公因式，分组为$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$；
(3) 分解$4x^2 + 4x - y^2 + 1$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4x^2 + 4x + 1) - y^2\\&=(2x+1)^2 - y^2\\&=(2x+1+y)(2x+1-y)\\&=(2x+y+1)(2x-y+1)\end{aligned}$
【答案】
(1)①②③
(2)①$(x^2 - y^2)+(x+y)$ ②$(2a-2b)+(a^2-2ab+b^2)$
(3)$(2x+y+1)(2x-y+1)$
【知识点】
分组分解法因式分解，公式法因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
本题以阅读理解形式考查分组分解法的应用，解题关键是结合多项式的项的特征合理分组，分组时要确保分组后既可以在组内完成初步分解，又能在组间继续分解，要求熟练掌握提公因式法和公式法的结构特征。
【难度系数】
0.7
