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3.一般的分组分解法有“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等.如：
$ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)$
$=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).$
根据以上方法，对下列各式进行因式分解：
(1)$ab - c + b - ac$；
(2)$9m^2 - 4x^2 + 4xy - y^2$；
(3)$4a^2 + 4a - 4a^2b^2 - b^2 - 4ab^2 + 1$.
$ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)$
$=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).$
根据以上方法，对下列各式进行因式分解：
(1)$ab - c + b - ac$；
(2)$9m^2 - 4x^2 + 4xy - y^2$；
(3)$4a^2 + 4a - 4a^2b^2 - b^2 - 4ab^2 + 1$.
答案
(1)$ab - c + b - ac=(a+1)(b-c).$
(2)$9m^2 -4x^2 +4xy -y^2=(3m+2x-y)(3m-2x+y).$
(3)$4a^2 +4a -4a^2b^2 -b^2 -4ab^2 +1=(2a+1)^2(1+b)(1-b).$
(2)$9m^2 -4x^2 +4xy -y^2=(3m+2x-y)(3m-2x+y).$
(3)$4a^2 +4a -4a^2b^2 -b^2 -4ab^2 +1=(2a+1)^2(1+b)(1-b).$
解析
【分析】
本题考查利用分组分解法进行因式分解，解题核心是观察多项式各项的特征，合理选择分组方式，确保分组后可通过提公因式或套用乘法公式继续分解，最终分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 是四项式，可采用“2+2”分组，将含相同字母的项分为一组，分组后两组可提取公因式得到公共的因式，继续提取即可；
(2) 是四项式，后三项符号、系数符合完全平方公式的特征，可采用“3+1”分组，将后三项作为一组先分解为完全平方式，再与第一项构成平方差形式继续分解；
(3) 是六项式，观察发现$4a^2+4a+1$可构成完全平方式，剩余三项提取公因式后也含有该完全平方式的因式，先分组提取公共因式后，再套用平方差公式完成最终分解。
【解析】
(1) $ab - c + b - ac$
$=(ab + b) + (-ac - c)$
$=b(a+1) - c(a+1)$
$=(a+1)(b - c)$
(2) $9m^2 - 4x^2 + 4xy - y^2$
$=9m^2 - (4x^2 - 4xy + y^2)$
$=9m^2 - (2x - y)^2$
$=[3m + (2x - y)][3m - (2x - y)]$
$=(3m + 2x - y)(3m - 2x + y)$
(3) $4a^2 + 4a - 4a^2b^2 - b^2 - 4ab^2 + 1$
$=(4a^2 + 4a + 1) + (-4a^2b^2 - 4ab^2 - b^2)$
$=(2a + 1)^2 - b^2(4a^2 + 4a + 1)$
$=(2a + 1)^2(1 - b^2)$
$=(2a + 1)^2(1 + b)(1 - b)$
【答案】
(1)$(a+1)(b-c)$；
(2)$(3m+2x-y)(3m-2x+y)$；
(3)$(2a+1)^2(1+b)(1-b)$
【知识点】
分组分解法因式分解，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
解题的关键是根据多项式的项数、系数、字母次数特征灵活选择分组方案，分组后要保证后续能够继续分解，同时注意因式分解要彻底，不能出现还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.6
本题考查利用分组分解法进行因式分解，解题核心是观察多项式各项的特征，合理选择分组方式，确保分组后可通过提公因式或套用乘法公式继续分解，最终分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 是四项式，可采用“2+2”分组，将含相同字母的项分为一组，分组后两组可提取公因式得到公共的因式，继续提取即可；
(2) 是四项式，后三项符号、系数符合完全平方公式的特征，可采用“3+1”分组，将后三项作为一组先分解为完全平方式，再与第一项构成平方差形式继续分解；
(3) 是六项式，观察发现$4a^2+4a+1$可构成完全平方式，剩余三项提取公因式后也含有该完全平方式的因式，先分组提取公共因式后，再套用平方差公式完成最终分解。
【解析】
(1) $ab - c + b - ac$
$=(ab + b) + (-ac - c)$
$=b(a+1) - c(a+1)$
$=(a+1)(b - c)$
(2) $9m^2 - 4x^2 + 4xy - y^2$
$=9m^2 - (4x^2 - 4xy + y^2)$
$=9m^2 - (2x - y)^2$
$=[3m + (2x - y)][3m - (2x - y)]$
$=(3m + 2x - y)(3m - 2x + y)$
(3) $4a^2 + 4a - 4a^2b^2 - b^2 - 4ab^2 + 1$
$=(4a^2 + 4a + 1) + (-4a^2b^2 - 4ab^2 - b^2)$
$=(2a + 1)^2 - b^2(4a^2 + 4a + 1)$
$=(2a + 1)^2(1 - b^2)$
$=(2a + 1)^2(1 + b)(1 - b)$
【答案】
(1)$(a+1)(b-c)$；
(2)$(3m+2x-y)(3m-2x+y)$；
(3)$(2a+1)^2(1+b)(1-b)$
【知识点】
分组分解法因式分解，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
解题的关键是根据多项式的项数、系数、字母次数特征灵活选择分组方案，分组后要保证后续能够继续分解，同时注意因式分解要彻底，不能出现还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.6
4.【学习材料】拆项法.
在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,再分组进行因式分解.
【问题探究】例1:因式分解:$x^2 +6x -7$.
解:原式=$(x^2 +6x +9)-\_\_\_\_\_\_$(拆项、分组)
$=\_\_\_\_\_\_$(分组分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$(分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$.
例2:因式分解:$x^3 +5x -6$.
解:原式=$(x^3 -x)+\_\_\_\_\_\_$(拆项、分组)
$=\_\_\_\_\_\_$(分组分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$(分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$.
【迁移运用】请根据以上材料中的方法,对下列各式进行因式分解:
(1)$x^2 +14x -15$;
(2)$x^3 -8x +7$.
在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,再分组进行因式分解.
【问题探究】例1:因式分解:$x^2 +6x -7$.
解:原式=$(x^2 +6x +9)-\_\_\_\_\_\_$(拆项、分组)
$=\_\_\_\_\_\_$(分组分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$(分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$.
例2:因式分解:$x^3 +5x -6$.
解:原式=$(x^3 -x)+\_\_\_\_\_\_$(拆项、分组)
$=\_\_\_\_\_\_$(分组分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$(分解因式)
$=\_\_\_\_\_\_$.
【迁移运用】请根据以上材料中的方法,对下列各式进行因式分解:
(1)$x^2 +14x -15$;
(2)$x^3 -8x +7$.
答案
【问题探究】16;$(x+3)^2-4^2$;$(x+3+4)(x+3-4)$;$(x+7)(x-1)$;$(6x-6)$;$x(x+1)(x-1)+6(x-1)$;$(x-1)·[x(x+1)+6]$;$(x-1)(x^2+x+6)$ 【迁移运用】(1)原式$=(x+15)(x-1).$ (2)原式$=(x-1)(x^2+x-7).$
解析
【分析】
拆项法因式分解的核心是通过拆分多项式中的某一项，将原式变形为可运用提公因式法或乘法公式的结构，再逐步完成分解：①对于二次三项式，通常拆分常数项，凑出完全平方形式后用平方差公式分解；②对于三次多项式，通常拆分一次项，分组后每组可提取公因式，再提取整体公因式进一步分解。
【解析】
问题探究
例1
要凑$x^2+6x$对应的完全平方，需加9，因此将$-7$拆为$9-16$：
原式$=(x^2 +6x +9)-\boldsymbol{16}$
对第一组用完全平方公式得：
$=\boldsymbol{(x+3)^2-4^2}$
再用平方差公式分解得：
$=\boldsymbol{(x+3+4)(x+3-4)}$
化简括号内的项得：
$=\boldsymbol{(x+7)(x-1)}$
例2
将$5x$拆为$-x+6x$，分组后两组均可提公因式：
原式$=(x^3 -x)+\boldsymbol{(6x-6)}$
第一组提$x$后用平方差公式，第二组提$6$得：
$=\boldsymbol{x(x+1)(x-1)+6(x-1)}$
提取整体公因式$(x-1)$得：
$=\boldsymbol{(x-1)·[x(x+1)+6]}$
化简括号内的项得：
$=\boldsymbol{(x-1)(x^2+x+6)}$
迁移运用
(1) 对$x^2 +14x -15$凑完全平方，将$-15$拆为$49-64$：
原式$=(x^2+14x+49)-64$
$=(x+7)^2-8^2$
$=(x+7+8)(x+7-8)$
$=(x+15)(x-1)$
(2) 对$x^3 -8x +7$拆分一次项，将$-8x$拆为$-x-7x$：
原式$=(x^3-x)+(-7x+7)$
$=x(x^2-1)-7(x-1)$
$=x(x+1)(x-1)-7(x-1)$
$=(x-1)[x(x+1)-7]$
$=(x-1)(x^2+x-7)$
【答案】
【问题探究】$16$；$(x+3)^2-4^2$；$(x+3+4)(x+3-4)$；$(x+7)(x-1)$；$(6x-6)$；$x(x+1)(x-1)+6(x-1)$；$(x-1)·[x(x+1)+6]$；$(x-1)(x^2+x+6)$
【迁移运用】(1)$(x+15)(x-1)$；(2)$(x-1)(x^2+x-7)$
【知识点】
1. 拆项法因式分解
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的拆项法，解题的关键是结合多项式的结构特征合理拆项，构造出可提公因式或可套用乘法公式的形式，需要熟练掌握因式分解的常规方法，灵活运用分组分解的技巧。
【难度系数】
0.7
拆项法因式分解的核心是通过拆分多项式中的某一项，将原式变形为可运用提公因式法或乘法公式的结构，再逐步完成分解：①对于二次三项式，通常拆分常数项，凑出完全平方形式后用平方差公式分解；②对于三次多项式，通常拆分一次项，分组后每组可提取公因式，再提取整体公因式进一步分解。
【解析】
问题探究
例1
要凑$x^2+6x$对应的完全平方，需加9，因此将$-7$拆为$9-16$：
原式$=(x^2 +6x +9)-\boldsymbol{16}$
对第一组用完全平方公式得：
$=\boldsymbol{(x+3)^2-4^2}$
再用平方差公式分解得：
$=\boldsymbol{(x+3+4)(x+3-4)}$
化简括号内的项得：
$=\boldsymbol{(x+7)(x-1)}$
例2
将$5x$拆为$-x+6x$，分组后两组均可提公因式：
原式$=(x^3 -x)+\boldsymbol{(6x-6)}$
第一组提$x$后用平方差公式，第二组提$6$得：
$=\boldsymbol{x(x+1)(x-1)+6(x-1)}$
提取整体公因式$(x-1)$得：
$=\boldsymbol{(x-1)·[x(x+1)+6]}$
化简括号内的项得：
$=\boldsymbol{(x-1)(x^2+x+6)}$
迁移运用
(1) 对$x^2 +14x -15$凑完全平方，将$-15$拆为$49-64$：
原式$=(x^2+14x+49)-64$
$=(x+7)^2-8^2$
$=(x+7+8)(x+7-8)$
$=(x+15)(x-1)$
(2) 对$x^3 -8x +7$拆分一次项，将$-8x$拆为$-x-7x$：
原式$=(x^3-x)+(-7x+7)$
$=x(x^2-1)-7(x-1)$
$=x(x+1)(x-1)-7(x-1)$
$=(x-1)[x(x+1)-7]$
$=(x-1)(x^2+x-7)$
【答案】
【问题探究】$16$；$(x+3)^2-4^2$；$(x+3+4)(x+3-4)$；$(x+7)(x-1)$；$(6x-6)$；$x(x+1)(x-1)+6(x-1)$；$(x-1)·[x(x+1)+6]$；$(x-1)(x^2+x+6)$
【迁移运用】(1)$(x+15)(x-1)$；(2)$(x-1)(x^2+x-7)$
【知识点】
1. 拆项法因式分解
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的拆项法，解题的关键是结合多项式的结构特征合理拆项，构造出可提公因式或可套用乘法公式的形式，需要熟练掌握因式分解的常规方法，灵活运用分组分解的技巧。
【难度系数】
0.7
