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我国古代数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图①所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法。我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图②所示，在平面内固定两个钉子A,B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆。依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：
圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合
。答案
圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合
解析
【分析】
首先提取题目中的核心条件：①A、B是平面内的固定点，因此线段AB的长度为定值；②转动“矩”的过程中，顶点C处始终是直角，即∠ACB=90°恒成立。接下来思考直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，则O是定点，OC的长度永远等于AB长度的一半，即OC为定长。最后结合圆的定义即可判断C点的运动轨迹。
【解析】
1. 由题意得：A、B为定点，因此AB长度为定值，且转动过程中∠ACB始终为90°，△ACB始终为直角三角形，AB为斜边。
2. 取AB的中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AB$，因此OC为定长，且O为定点。
3. 根据圆的定义：平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合是圆，因此顶点C的运动路线是以O为圆心、OC长为半径的圆。
【答案】
圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合
【知识点】
①圆的定义 ②直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题结合我国古代数学典籍的内容，将生活场景与几何知识相结合，考查了对基础几何定理的理解和应用，需要学生从实际场景中抽象出几何模型，感受数学的实用性和传统文化中的数学智慧。
【难度系数】
0.7
首先提取题目中的核心条件：①A、B是平面内的固定点，因此线段AB的长度为定值；②转动“矩”的过程中，顶点C处始终是直角，即∠ACB=90°恒成立。接下来思考直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，则O是定点，OC的长度永远等于AB长度的一半，即OC为定长。最后结合圆的定义即可判断C点的运动轨迹。
【解析】
1. 由题意得：A、B为定点，因此AB长度为定值，且转动过程中∠ACB始终为90°，△ACB始终为直角三角形，AB为斜边。
2. 取AB的中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AB$，因此OC为定长，且O为定点。
3. 根据圆的定义：平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合是圆，因此顶点C的运动路线是以O为圆心、OC长为半径的圆。
【答案】
圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合
【知识点】
①圆的定义 ②直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题结合我国古代数学典籍的内容，将生活场景与几何知识相结合，考查了对基础几何定理的理解和应用，需要学生从实际场景中抽象出几何模型，感受数学的实用性和传统文化中的数学智慧。
【难度系数】
0.7
1. 在$\odot O$中,若最长的弦长为16 cm,则$\odot O$的半径是 （
A.4 cm
B.8 cm
C.16 cm
D.32 cm
B
）A.4 cm
B.8 cm
C.16 cm
D.32 cm
答案
1.B
解析
【分析】解题的关键是明确圆中弦的相关性质：连接圆上任意两点的线段叫做弦，其中过圆心的弦是直径，直径是圆内最长的弦。已知最长弦的长度，就能得到圆的直径，再根据半径是直径的一半，即可计算出圆的半径，选出正确答案。
【解析】解：
∵圆中最长的弦为直径，
∴⊙O的直径为16 cm，
又
∵圆的半径$r=\frac{1}{2}d$（d为直径），
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}×16=8$ cm。
故选B。
【答案】B
【知识点】1.圆的有关概念 2.弦与直径的关系
【点评】本题是基础概念考查题，难度较低，只要掌握“直径是圆内最长的弦”这一核心结论，结合直径和半径的数量关系就能快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵圆中最长的弦为直径，
∴⊙O的直径为16 cm，
又
∵圆的半径$r=\frac{1}{2}d$（d为直径），
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}×16=8$ cm。
故选B。
【答案】B
【知识点】1.圆的有关概念 2.弦与直径的关系
【点评】本题是基础概念考查题，难度较低，只要掌握“直径是圆内最长的弦”这一核心结论，结合直径和半径的数量关系就能快速解题。
【难度系数】0.9
2. 如图，MN为$\odot O$的弦，$∠ OMN = 52°$，则$∠ MON$的度数为（
A.$38°$
B.$52°$
C.$76°$
D.$104°$
C
）A.$38°$
B.$52°$
C.$76°$
D.$104°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形，OM和ON都是$\odot O$的半径，根据圆的半径都相等的性质，可得$OM=ON$，因此$△ OMN$是等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ ONM=∠ OMN=52°$；最后结合三角形内角和为$180°$，即可求出顶角$∠ MON$的度数。
【解析】
∵OM、ON均为$\odot O$的半径，
∴$OM=ON$，即$△ OMN$为等腰三角形，
∴$∠ ONM=∠ OMN=52°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ MON=180°-∠ OMN-∠ ONM=180°-52°-52°=76°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确圆的半径相等这一隐含条件，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，OM和ON都是$\odot O$的半径，根据圆的半径都相等的性质，可得$OM=ON$，因此$△ OMN$是等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ ONM=∠ OMN=52°$；最后结合三角形内角和为$180°$，即可求出顶角$∠ MON$的度数。
【解析】
∵OM、ON均为$\odot O$的半径，
∴$OM=ON$，即$△ OMN$为等腰三角形，
∴$∠ ONM=∠ OMN=52°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ MON=180°-∠ OMN-∠ ONM=180°-52°-52°=76°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确圆的半径相等这一隐含条件，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知A,B,C,D四点都在$\odot O$上,则$\odot O$中的弦的条数为
3
. 答案
3.3
解析
【分析】
解题时首先要明确弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，判断一条线段是不是弦，需要满足两个条件：①是线段；②两个端点都在圆上。接下来我们只需逐一排查图中画出的线段，找出符合上述条件的线段即可，注意不要将未画出的线段计入总数。
【解析】
根据弦的定义分析图中线段：
1. 线段AB：两个端点A、B都在$\odot O$上，属于弦；
2. 线段BD：两个端点B、D都在$\odot O$上，属于弦；
3. 线段CD：两个端点C、D都在$\odot O$上，属于弦。
其余两点间的连线（如AD、AC、BC等）未在图中画出，不计入总数，因此共有3条弦。
【答案】
3
【知识点】
弦的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对弦的定义的理解，解题时要注意结合图形，只统计实际画出的符合条件的线段，避免因误算未画出的连线出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，判断一条线段是不是弦，需要满足两个条件：①是线段；②两个端点都在圆上。接下来我们只需逐一排查图中画出的线段，找出符合上述条件的线段即可，注意不要将未画出的线段计入总数。
【解析】
根据弦的定义分析图中线段：
1. 线段AB：两个端点A、B都在$\odot O$上，属于弦；
2. 线段BD：两个端点B、D都在$\odot O$上，属于弦；
3. 线段CD：两个端点C、D都在$\odot O$上，属于弦。
其余两点间的连线（如AD、AC、BC等）未在图中画出，不计入总数，因此共有3条弦。
【答案】
3
【知识点】
弦的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对弦的定义的理解，解题时要注意结合图形，只统计实际画出的符合条件的线段，避免因误算未画出的连线出错。
【难度系数】
0.9
4.已知$\odot O$的半径为3，点P在$\odot O$内，则OP的长可能是（
A.5
B.4
C.3
D.2
D
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查点与圆的位置关系，解题思路如下：第一步，先回忆点和圆三种位置关系对应的点到圆心的距离与半径的大小关系；第二步，结合题目已知条件，⊙O半径为3，点P在圆内，可得出OP的取值范围；第三步，逐一比对选项，选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则为：
1. 点在圆内$⇔ d ＜ r$；
2. 点在圆上$⇔ d = r$；
3. 点在圆外$⇔ d ＞ r$。
本题中，$\odot O$的半径$r=3$，点$P$在$\odot O$内，因此$OP=d ＜ r=3$。
逐一分析选项：
A选项：$5＞3$，不符合；
B选项：$4＞3$，不符合；
C选项：$3=3$，此时点$P$在圆上，不符合；
D选项：$2＜3$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆的位置关系的判定规则，只要牢记不同位置下点到圆心的距离与半径的大小关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查点与圆的位置关系，解题思路如下：第一步，先回忆点和圆三种位置关系对应的点到圆心的距离与半径的大小关系；第二步，结合题目已知条件，⊙O半径为3，点P在圆内，可得出OP的取值范围；第三步，逐一比对选项，选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则为：
1. 点在圆内$⇔ d ＜ r$；
2. 点在圆上$⇔ d = r$；
3. 点在圆外$⇔ d ＞ r$。
本题中，$\odot O$的半径$r=3$，点$P$在$\odot O$内，因此$OP=d ＜ r=3$。
逐一分析选项：
A选项：$5＞3$，不符合；
B选项：$4＞3$，不符合；
C选项：$3=3$，此时点$P$在圆上，不符合；
D选项：$2＜3$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆的位置关系的判定规则，只要牢记不同位置下点到圆心的距离与半径的大小关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 已知$\odot O$是以坐标原点为圆心、5为半径的圆，点$P$的坐标为$(3,-4)$，则点$P$与$\odot O$的位置关系是（
A.点$P$在$\odot O$外
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$内
D.无法确定
B
）A.点$P$在$\odot O$外
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$内
D.无法确定
答案
5.B
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：若$d＞r$，点在圆外；若$d=r$，点在圆上；若$d＜r$，点在圆内。本题已知圆心为坐标原点，圆半径$r=5$，因此只需计算点$P$到原点的距离，再和5比较大小即可得出结论。
【解析】
根据平面直角坐标系中原点到点$(x,y)$的距离公式，计算点$P(3,-4)$到原点$O$的距离：
$OP=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
已知$\odot O$的半径$r=5$，可得$OP=r$，因此点$P$在$\odot O$上。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，熟练掌握点与圆位置关系的判定规则是解题关键，计算点到原点的距离时注意坐标的平方运算不受符号影响。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：若$d＞r$，点在圆外；若$d=r$，点在圆上；若$d＜r$，点在圆内。本题已知圆心为坐标原点，圆半径$r=5$，因此只需计算点$P$到原点的距离，再和5比较大小即可得出结论。
【解析】
根据平面直角坐标系中原点到点$(x,y)$的距离公式，计算点$P(3,-4)$到原点$O$的距离：
$OP=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
已知$\odot O$的半径$r=5$，可得$OP=r$，因此点$P$在$\odot O$上。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，熟练掌握点与圆位置关系的判定规则是解题关键，计算点到原点的距离时注意坐标的平方运算不受符号影响。
【难度系数】
0.9
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10$.若以点$C$为圆心,$CA$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$,则$\odot C$的半径为 (
A.$5\sqrt{3}$
B.8
C.6
D.5
第6题图 第7题图
D
)A.$5\sqrt{3}$
B.8
C.6
D.5
第6题图 第7题图
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，△ABC是直角三角形，且D是斜边AB的中点，可优先考虑直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度；再结合D在⊙C上，可知CD与CA均为⊙C的半径，二者长度相等，即可求出圆的半径。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=10$，代入得$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
又
∵点D在以C为圆心、CA长为半径的圆上，
∴CD和CA都是⊙C的半径，即$CA=CD=5$，
∴⊙C的半径为5。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的基本概念
【点评】
本题是基础的几何综合题，将直角三角形的性质与圆的概念结合考查，解题的关键是找到CD的双重身份：既是直角三角形的斜边中线，又是圆的半径，打通两个知识点的联系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，△ABC是直角三角形，且D是斜边AB的中点，可优先考虑直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度；再结合D在⊙C上，可知CD与CA均为⊙C的半径，二者长度相等，即可求出圆的半径。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=10$，代入得$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
又
∵点D在以C为圆心、CA长为半径的圆上，
∴CD和CA都是⊙C的半径，即$CA=CD=5$，
∴⊙C的半径为5。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的基本概念
【点评】
本题是基础的几何综合题，将直角三角形的性质与圆的概念结合考查，解题的关键是找到CD的双重身份：既是直角三角形的斜边中线，又是圆的半径，打通两个知识点的联系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
