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变式训练1 | 一根弹簧原长(不挂重物时)15 cm,挂上物体后,弹簧总长L(单位:cm)与所挂物体质量x(单位:kg)的关系如下表:
(1)弹簧总长的变化具有什么规律?你能写出弹簧总长L与所挂物体质量x之间的表达式吗?
(2)当物体质量为5 kg(在弹性限度内)时,求弹簧总长。
(1)弹簧总长的变化具有什么规律?你能写出弹簧总长L与所挂物体质量x之间的表达式吗?
(2)当物体质量为5 kg(在弹性限度内)时,求弹簧总长。
答案
(1)所挂物体质量每增加0.5 kg,弹簧总长均匀增加1 cm。
$L=2x+15$
(2)25 cm
$L=2x+15$
(2)25 cm
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察表格中两个量的变化：先对比每一组物体质量和弹簧总长的对应变化，找到总长随质量变化的规律，再结合弹簧原长的已知条件，推导总长和质量的关系式；第二问直接将质量数值代入第一问得到的关系式计算即可。
首先找规律：观察数据可知，物体质量每增加0.5kg，弹簧总长就增加1cm，总长随质量增加均匀变长。
再推导关系式：已知弹簧不挂重物时长15cm，每挂1kg物体弹簧伸长2cm，挂x kg物体时弹簧伸长2x cm，弹簧总长=原长+伸长的长度，即可得到L和x的关系式。
第二问只需把x=5代入关系式计算，就能得到对应的弹簧总长。
【解析】
(1) 观察表格数据：
物体质量x每增加0.5kg，弹簧总长L就均匀增加1cm。
已知弹簧原长为15cm，每挂1kg物体弹簧伸长的长度为$1÷0.5=2$（cm），因此挂x kg物体时，弹簧伸长2x cm，可得总长：
$L=15+2x$，即$L=2x+15$。
(2) 当物体质量$x=5$kg时，将其代入关系式$L=2x+15$：
$L=2×5+15=25$（cm）
【答案】
(1) 所挂物体质量每增加0.5 kg，弹簧总长均匀增加1 cm；$\boldsymbol{L=2x+15}$
(2) $\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 变量变化规律探究
2. 列数量关系式
3. 代数式求值
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活实际，考查从表格数据中提取信息、总结规律的能力，解题的关键是结合弹簧原长的已知条件，准确推导两个变量的关系，代入计算时注意单位统一即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先观察表格中两个量的变化：先对比每一组物体质量和弹簧总长的对应变化，找到总长随质量变化的规律，再结合弹簧原长的已知条件，推导总长和质量的关系式；第二问直接将质量数值代入第一问得到的关系式计算即可。
首先找规律：观察数据可知，物体质量每增加0.5kg，弹簧总长就增加1cm，总长随质量增加均匀变长。
再推导关系式：已知弹簧不挂重物时长15cm，每挂1kg物体弹簧伸长2cm，挂x kg物体时弹簧伸长2x cm，弹簧总长=原长+伸长的长度，即可得到L和x的关系式。
第二问只需把x=5代入关系式计算，就能得到对应的弹簧总长。
【解析】
(1) 观察表格数据：
物体质量x每增加0.5kg，弹簧总长L就均匀增加1cm。
已知弹簧原长为15cm，每挂1kg物体弹簧伸长的长度为$1÷0.5=2$（cm），因此挂x kg物体时，弹簧伸长2x cm，可得总长：
$L=15+2x$，即$L=2x+15$。
(2) 当物体质量$x=5$kg时，将其代入关系式$L=2x+15$：
$L=2×5+15=25$（cm）
【答案】
(1) 所挂物体质量每增加0.5 kg，弹簧总长均匀增加1 cm；$\boldsymbol{L=2x+15}$
(2) $\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 变量变化规律探究
2. 列数量关系式
3. 代数式求值
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活实际，考查从表格数据中提取信息、总结规律的能力，解题的关键是结合弹簧原长的已知条件，准确推导两个变量的关系，代入计算时注意单位统一即可。
【难度系数】
0.8
1.水池中原有10 L水，此后每小时漏0.05 L水。已知水池中的水量V(单位:L)随时间t(单位:h)的变化而变化，当$0≤ t≤200$时，V与t的表达式是(
A.$V=0.05t$
B.$V=\dfrac{10}{t}$
C.$V=-0.05t+10$
D.$V=-0.05t^2+10t$
C
)A.$V=0.05t$
B.$V=\dfrac{10}{t}$
C.$V=-0.05t+10$
D.$V=-0.05t^2+10t$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确两个变量的关系：水池剩余水量等于原有水量减去t小时总共漏掉的水量。首先确定原有水量是10L，再计算t小时的漏水量：每小时漏0.05L，t小时漏水量为0.05t L，最后用原有水量减去漏水量就能得到V和t的关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
已知水池原有水量为10L，每小时漏水0.05L，则t小时的总漏水量为$0.05t$ L。
剩余水量V等于原有水量减去t小时的漏水量，因此可列式：
$V = 10 - 0.05t$，整理得$V = -0.05t + 10$。
验证取值范围：当$t=200$时，$V=-0.05×200 +10=0$，符合$0≤ t≤200$的要求，因此该表达式符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题核心是理清题中的数量关系，抓住“剩余量=原有总量-减少量”的逻辑，结合给出的自变量取值范围验证合理性即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个变量的关系：水池剩余水量等于原有水量减去t小时总共漏掉的水量。首先确定原有水量是10L，再计算t小时的漏水量：每小时漏0.05L，t小时漏水量为0.05t L，最后用原有水量减去漏水量就能得到V和t的关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
已知水池原有水量为10L，每小时漏水0.05L，则t小时的总漏水量为$0.05t$ L。
剩余水量V等于原有水量减去t小时的漏水量，因此可列式：
$V = 10 - 0.05t$，整理得$V = -0.05t + 10$。
验证取值范围：当$t=200$时，$V=-0.05×200 +10=0$，符合$0≤ t≤200$的要求，因此该表达式符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题核心是理清题中的数量关系，抓住“剩余量=原有总量-减少量”的逻辑，结合给出的自变量取值范围验证合理性即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2.汽车由甲地驶往相距120 km的乙地，平均速度是30 km/h，则汽车距乙地的距离s(单位:km)与行驶时间t(单位:h)的函数关系式及自变量的取值范围是(
A.$s=120-30t(0≤ t≤4)$
B.$s=30t(0≤ t≤4)$
C.$s=120-30t(t＞0)$
D.$s=30t(t=4)$
A
)A.$s=120-30t(0≤ t≤4)$
B.$s=30t(0≤ t≤4)$
C.$s=120-30t(t＞0)$
D.$s=30t(t=4)$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确距离的含义：题目中s是汽车距乙地的距离，不是已行驶的路程。第一步先找等量关系：距乙地的距离=总路程-已行驶的路程，已行驶的路程可以用“速度×时间”计算，就能写出函数关系式。第二步确定自变量t的取值范围，要结合实际情况：行驶时间不能为负数，且汽车到达乙地后就不再行驶，所以t最大为走完全程的时间，由此就能算出t的范围，最后对应选项即可。
【解析】
首先，根据行程问题公式：路程=速度×时间，汽车行驶t小时的路程为$30t$ km。
因为甲乙两地相距120 km，所以汽车距乙地的距离$s = 总路程 - 已行驶路程 = 120 - 30t$。
接下来确定自变量t的取值范围：
① 行驶时间不能为负数，因此$t≥0$；
② 当汽车到达乙地时，距乙地的距离$s=0$，代入函数式得$0=120-30t$，解得$t=4$，即行驶最多4小时就到达终点，因此$t≤4$。
综上，函数关系式为$s=120-30t(0≤t≤4)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 自变量取值范围确定
3. 行程问题数量关系
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确理解“距乙地的距离”的含义，理清路程间的数量关系，同时注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略上限或下限导致错选。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确距离的含义：题目中s是汽车距乙地的距离，不是已行驶的路程。第一步先找等量关系：距乙地的距离=总路程-已行驶的路程，已行驶的路程可以用“速度×时间”计算，就能写出函数关系式。第二步确定自变量t的取值范围，要结合实际情况：行驶时间不能为负数，且汽车到达乙地后就不再行驶，所以t最大为走完全程的时间，由此就能算出t的范围，最后对应选项即可。
【解析】
首先，根据行程问题公式：路程=速度×时间，汽车行驶t小时的路程为$30t$ km。
因为甲乙两地相距120 km，所以汽车距乙地的距离$s = 总路程 - 已行驶路程 = 120 - 30t$。
接下来确定自变量t的取值范围：
① 行驶时间不能为负数，因此$t≥0$；
② 当汽车到达乙地时，距乙地的距离$s=0$，代入函数式得$0=120-30t$，解得$t=4$，即行驶最多4小时就到达终点，因此$t≤4$。
综上，函数关系式为$s=120-30t(0≤t≤4)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 自变量取值范围确定
3. 行程问题数量关系
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确理解“距乙地的距离”的含义，理清路程间的数量关系，同时注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略上限或下限导致错选。
【难度系数】
0.8
3. 某商场自行车存放处每周的存车量为5 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次1元，普通车存车费为每辆一次0.5元。设普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是(
A.$y=0.5x+5000$
B.$y=0.5x+2500$
C.$y=-0.5x+5000$
D.$y=-0.5x+2500$
C
)A.$y=0.5x+5000$
B.$y=0.5x+2500$
C.$y=-0.5x+5000$
D.$y=-0.5x+2500$
答案
C
解析
【分析】
要得到总收入y与普通车存车量x的关系式，首先需明确总收入由普通车存车费和电动车存车费两部分组成。第一步先根据总存车量表示出电动车的存车量，第二步分别计算两种车的存车收入，第三步将两部分收入相加后化简，即可得到最终的关系式。
【解析】
已知普通车存车量为x辆次，每周总存车量为5000辆次，因此电动车的存车量为$(5000-x)$辆次。
普通车的存车总收入为：$0.5x$元
电动车的存车总收入为：$1×(5000-x)$元
存车总收入y为两部分收入之和，因此：
$\begin{aligned}y&=0.5x + 1×(5000 - x)\\&=0.5x + 5000 - x\\&=-0.5x + 5000\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；整式的加减运算
【点评】
本题结合生活中的存车收费场景，考查学生对实际问题中数量关系的梳理能力，只要准确区分不同类型车辆的存车量、单价和收入的对应关系，正确化简代数式即可解题。
【难度系数】
0.8
要得到总收入y与普通车存车量x的关系式，首先需明确总收入由普通车存车费和电动车存车费两部分组成。第一步先根据总存车量表示出电动车的存车量，第二步分别计算两种车的存车收入，第三步将两部分收入相加后化简，即可得到最终的关系式。
【解析】
已知普通车存车量为x辆次，每周总存车量为5000辆次，因此电动车的存车量为$(5000-x)$辆次。
普通车的存车总收入为：$0.5x$元
电动车的存车总收入为：$1×(5000-x)$元
存车总收入y为两部分收入之和，因此：
$\begin{aligned}y&=0.5x + 1×(5000 - x)\\&=0.5x + 5000 - x\\&=-0.5x + 5000\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；整式的加减运算
【点评】
本题结合生活中的存车收费场景，考查学生对实际问题中数量关系的梳理能力，只要准确区分不同类型车辆的存车量、单价和收入的对应关系，正确化简代数式即可解题。
【难度系数】
0.8
4.一根蜡烛高 20 cm,点燃后平均每小时燃烧4 cm,则蜡烛点燃后剩余的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:h)之间的表达式是h=
20-4t
（0≤t≤5）。答案
$h=20-4t$
解析
【分析】
要推导剩余高度h和燃烧时间t的表达式，首先明确核心数量关系：蜡烛剩余高度 = 蜡烛原始高度 - 已经燃烧的高度。先结合已知的燃烧速度，算出t小时内燃烧的总高度，再代入数量关系即可得到两者的关系式，题目已经给出t的取值范围，无需额外推导。
【解析】
1. 明确等量关系：剩余高度 = 原高度 - 燃烧掉的高度
2. 计算t小时燃烧的高度：已知每小时燃烧4cm，燃烧t小时的高度为$4× t=4t$ cm
3. 代入原高度20cm，可得$h=20-4t$，且题目给出的$0≤ t≤5$符合实际（t=5时h=0，蜡烛刚好完全燃烧）
【答案】
$h=20-4t$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 一次函数实际应用
【点评】
本题是函数在生活场景中的基础应用，解题核心是找准剩余高度、原始高度、燃烧高度三者的数量关系，理清逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要推导剩余高度h和燃烧时间t的表达式，首先明确核心数量关系：蜡烛剩余高度 = 蜡烛原始高度 - 已经燃烧的高度。先结合已知的燃烧速度，算出t小时内燃烧的总高度，再代入数量关系即可得到两者的关系式，题目已经给出t的取值范围，无需额外推导。
【解析】
1. 明确等量关系：剩余高度 = 原高度 - 燃烧掉的高度
2. 计算t小时燃烧的高度：已知每小时燃烧4cm，燃烧t小时的高度为$4× t=4t$ cm
3. 代入原高度20cm，可得$h=20-4t$，且题目给出的$0≤ t≤5$符合实际（t=5时h=0，蜡烛刚好完全燃烧）
【答案】
$h=20-4t$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 一次函数实际应用
【点评】
本题是函数在生活场景中的基础应用，解题核心是找准剩余高度、原始高度、燃烧高度三者的数量关系，理清逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9
