登录
5.一根弹簧原长12 cm，所挂物体的质量每增加2 kg，弹簧伸长6 cm。若弹簧处于弹性限度内，则挂物体后弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）之间的函数表达式是
$y=3x+12$
。答案
$y=3x+12$
解析
【分析】
解题时首先要明确弹簧挂物体后的总长度的构成：总长度=弹簧原长+挂物体后弹簧伸长的长度。首先需要计算出每挂1kg物体时弹簧的伸长量，再根据所挂物体质量x求出总伸长量，最后加上原长就能得到y与x的函数表达式。
【解析】
1. 计算单位质量对应的弹簧伸长量：
已知所挂物体质量每增加2kg，弹簧伸长6cm，因此每挂1kg物体弹簧伸长的长度为 $6÷2=3\ \mathrm{cm}$。
2. 计算挂$x\ \mathrm{kg}$物体时弹簧的伸长量：
挂$x\ \mathrm{kg}$物体时，弹簧伸长的长度为 $3× x=3x\ \mathrm{cm}$。
3. 列总长度的表达式：
弹簧原长为12cm，因此总长度$y = \mathrm{原长} + \mathrm{伸长量} = 12 + 3x$，整理得$y=3x+12$（$x$取值在弹簧弹性限度内）。
【答案】
$y=3x+12$
【知识点】
列函数表达式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是函数在实际生活中的基础应用，解题的核心是理清弹簧总长度、原长、伸长量三者之间的数量关系，先求出单位质量对应的弹簧伸长量即可顺利列式，熟练掌握常见实际问题的等量关系是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确弹簧挂物体后的总长度的构成：总长度=弹簧原长+挂物体后弹簧伸长的长度。首先需要计算出每挂1kg物体时弹簧的伸长量，再根据所挂物体质量x求出总伸长量，最后加上原长就能得到y与x的函数表达式。
【解析】
1. 计算单位质量对应的弹簧伸长量：
已知所挂物体质量每增加2kg，弹簧伸长6cm，因此每挂1kg物体弹簧伸长的长度为 $6÷2=3\ \mathrm{cm}$。
2. 计算挂$x\ \mathrm{kg}$物体时弹簧的伸长量：
挂$x\ \mathrm{kg}$物体时，弹簧伸长的长度为 $3× x=3x\ \mathrm{cm}$。
3. 列总长度的表达式：
弹簧原长为12cm，因此总长度$y = \mathrm{原长} + \mathrm{伸长量} = 12 + 3x$，整理得$y=3x+12$（$x$取值在弹簧弹性限度内）。
【答案】
$y=3x+12$
【知识点】
列函数表达式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是函数在实际生活中的基础应用，解题的核心是理清弹簧总长度、原长、伸长量三者之间的数量关系，先求出单位质量对应的弹簧伸长量即可顺利列式，熟练掌握常见实际问题的等量关系是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
6.一个水池的容积是$90\ \mathrm{m}^3$，现蓄水$10\ \mathrm{m}^3$，用水管以$5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$的速度向水池匀速注水，直到注满为止，则蓄水量$V$（单位：$\mathrm{m}^3$）与注水时间$t$（单位：$\mathrm{h}$）之间的函数表达式是
$V=10+5t(0≤t≤16)$
。答案
$V=10+5t(0≤t≤16)$
解析
【分析】
解题时首先明确蓄水量的构成：蓄水量等于原有蓄水的体积加上t小时注入的水的体积。首先根据注水速度和时间求出t小时的注水量，即可得到V和t的关系式；再结合实际情况确定自变量t的取值范围：注水时间不能为负数，且蓄水量不能超过水池的总容积，据此求解t的范围即可。
【解析】
第一步：求V与t的关系式
已知注水速度为$5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$，则$t$小时的注水量为$5t\ \mathrm{m}^3$，原有蓄水$10\ \mathrm{m}^3$，因此总蓄水量：
$V=10+5t$
第二步：确定自变量$t$的取值范围
① 注水时间不能为负，因此$t≥0$；
② 水池容积为$90\ \mathrm{m}^3$，蓄水量不能超过水池容积，即$V≤90$，代入得：
$10+5t≤90$
解不等式：$5t≤80$，得$t≤16$
综上，$t$的取值范围为$0≤ t≤16$。
因此蓄水量$V$与注水时间$t$的函数表达式为$V=10+5t(0≤ t≤16)$。
【答案】
$V=10+5t(0≤t≤16)$
【知识点】
列函数关系式；自变量取值范围确定；一次函数实际应用
【点评】
本题属于函数实际应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，需注意实际问题中的函数关系式必须结合场景限制确定自变量的取值范围，避免因忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确蓄水量的构成：蓄水量等于原有蓄水的体积加上t小时注入的水的体积。首先根据注水速度和时间求出t小时的注水量，即可得到V和t的关系式；再结合实际情况确定自变量t的取值范围：注水时间不能为负数，且蓄水量不能超过水池的总容积，据此求解t的范围即可。
【解析】
第一步：求V与t的关系式
已知注水速度为$5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$，则$t$小时的注水量为$5t\ \mathrm{m}^3$，原有蓄水$10\ \mathrm{m}^3$，因此总蓄水量：
$V=10+5t$
第二步：确定自变量$t$的取值范围
① 注水时间不能为负，因此$t≥0$；
② 水池容积为$90\ \mathrm{m}^3$，蓄水量不能超过水池容积，即$V≤90$，代入得：
$10+5t≤90$
解不等式：$5t≤80$，得$t≤16$
综上，$t$的取值范围为$0≤ t≤16$。
因此蓄水量$V$与注水时间$t$的函数表达式为$V=10+5t(0≤ t≤16)$。
【答案】
$V=10+5t(0≤t≤16)$
【知识点】
列函数关系式；自变量取值范围确定；一次函数实际应用
【点评】
本题属于函数实际应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，需注意实际问题中的函数关系式必须结合场景限制确定自变量的取值范围，避免因忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.8
7.弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)之间的关系如下表：
| x/kg | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y/cm | 12.0 | 12.5 | 13.0 | 13.5 | 14.0 | 14.5 | 15.0 |
求弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的表达式。
| x/kg | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 5 | 6 || --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y/cm | 12.0 | 12.5 | 13.0 | 13.5 | 14.0 | 14.5 | 15.0 |
求弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的表达式。
答案
解:由表格可知,所挂物体的质量每增加1 kg,弹簧的长度均匀增加0.5 cm,
所以弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的表达式为$y=0.5x+12(x≥0)$。
所以弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的表达式为$y=0.5x+12(x≥0)$。
解析
【分析】
解题时首先观察表格中两个变量的变化规律：①先看x=0时y的取值，这是弹簧未挂物体时的原长；②再看x每增加1kg时y的变化量，发现增量固定，说明y与x是一次函数关系。结合一次函数的结构特征，先确定常数项b（原长），再确定一次项系数k（单位质量对应的弹簧伸长量），最后补充自变量的取值范围即可得到表达式。
【解析】
解：观察表格数据可得：
1. 当所挂物体质量x=0kg时，弹簧长度y=12.0cm，即弹簧原长为12cm；
2. 所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度的增加量为：$12.5-12.0=0.5\mathrm{cm}$，增量固定，符合一次函数的变化特征。
因此挂x kg物体时，弹簧伸长的长度为$0.5x$ cm，总长度y=原长+伸长量，即：
$y=0.5x+12$
又因为物体质量不能为负数，所以自变量x的取值范围是$x≥0$。
【答案】
$\boldsymbol{y=0.5x+12(x≥0)}$
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 变量间的关系
3. 函数解析式求解
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活场景考查一次函数解析式的推导，解题核心是找准弹簧原长和单位质量的弹簧伸长量两个关键量，难度较低，解题时注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察表格中两个变量的变化规律：①先看x=0时y的取值，这是弹簧未挂物体时的原长；②再看x每增加1kg时y的变化量，发现增量固定，说明y与x是一次函数关系。结合一次函数的结构特征，先确定常数项b（原长），再确定一次项系数k（单位质量对应的弹簧伸长量），最后补充自变量的取值范围即可得到表达式。
【解析】
解：观察表格数据可得：
1. 当所挂物体质量x=0kg时，弹簧长度y=12.0cm，即弹簧原长为12cm；
2. 所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度的增加量为：$12.5-12.0=0.5\mathrm{cm}$，增量固定，符合一次函数的变化特征。
因此挂x kg物体时，弹簧伸长的长度为$0.5x$ cm，总长度y=原长+伸长量，即：
$y=0.5x+12$
又因为物体质量不能为负数，所以自变量x的取值范围是$x≥0$。
【答案】
$\boldsymbol{y=0.5x+12(x≥0)}$
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 变量间的关系
3. 函数解析式求解
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活场景考查一次函数解析式的推导，解题核心是找准弹簧原长和单位质量的弹簧伸长量两个关键量，难度较低，解题时注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
8.某商场试销一种成本为80元的衬衫，规定试销期间，利润不低于成本的20%，且获利不得高于50%。经试销发现，销量y(单位:件)与售价x(单位:元)有如下对应关系：
试求销量y与售价x之间的表达式。
试求销量y与售价x之间的表达式。
答案
因为售价每提高5元,销量均匀减少10件,所以售价每提高1元,销量均匀减少2件。所以销量y与售价x之间的表达式为$y=-2x+260$。
解析
【分析】
首先观察表格中售价x和销量y的变化规律，可知售价每增加5元，销量就均匀减少10件，说明y与x是一次函数关系。我们可以先计算售价每升高1元对应的销量减少量，得到一次项系数，再代入一组x和y的对应值求出常数项，就能得到函数表达式。
【解析】
观察表格数据可得：售价每提高5元，销量均匀减少10件，因此售价每提高1元，销量减少$10÷5=2$件。
设销量y与售价x的函数表达式为$y=-2x+b$，选取表格中$x=100,y=60$代入表达式：
$60=-2×100+b$
解得$b=260$。
代入其余组数据验证，均符合表格规律，因此可得函数表达式。
【答案】
$y=-2x+260$
【知识点】
一次函数解析式求解，销售问题函数应用
【点评】
本题考察对表格数据的观察分析能力和一次函数解析式的求解能力，通过分析数据的均匀变化规律确定函数类型是解题的关键，属于一次函数在实际问题中的基础应用，掌握这类题型可为后续解决销售利润类问题打好基础。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中售价x和销量y的变化规律，可知售价每增加5元，销量就均匀减少10件，说明y与x是一次函数关系。我们可以先计算售价每升高1元对应的销量减少量，得到一次项系数，再代入一组x和y的对应值求出常数项，就能得到函数表达式。
【解析】
观察表格数据可得：售价每提高5元，销量均匀减少10件，因此售价每提高1元，销量减少$10÷5=2$件。
设销量y与售价x的函数表达式为$y=-2x+b$，选取表格中$x=100,y=60$代入表达式：
$60=-2×100+b$
解得$b=260$。
代入其余组数据验证，均符合表格规律，因此可得函数表达式。
【答案】
$y=-2x+260$
【知识点】
一次函数解析式求解，销售问题函数应用
【点评】
本题考察对表格数据的观察分析能力和一次函数解析式的求解能力，通过分析数据的均匀变化规律确定函数类型是解题的关键，属于一次函数在实际问题中的基础应用，掌握这类题型可为后续解决销售利润类问题打好基础。
【难度系数】
0.7
9.声音在空气中传播的速度$y$(单位:m/s)是气温$x$(单位:$°\mathrm{C}$)的一次函数,下表列出了一组不同气温的音速:
求$y$与$x$之间的表达式。
求$y$与$x$之间的表达式。
答案
因为气温每升高5℃,音速均匀增加3 m/s,所以气温每升高1℃,音速均匀增加$\frac{3}{5}$ m/s。所以该表达式为$y=\frac{3}{5}x+331$。
解析
【分析】
题目明确说明音速y是气温x的一次函数，我们可以利用一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$求解。首先观察表格，当$x=0$时可直接得到$b$的值，再通过数据的变化规律或者代入其他组对应值，就能求出$k$的值，最终得到完整的函数表达式。
【解析】
解：$\because$声音传播速度$y$是气温$x$的一次函数，
$\therefore$设$y$与$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=kx+b(k≠0)}$。
从表格中可得，当$x=0$时，$y=331$，代入表达式得：
$331=k×0+b$，解得$b=331$。
观察数据可知：气温每升高$5° C$，音速增加$334-331=3\ \mathrm{m/s}$，因此气温每升高$1° C$，音速增加$\frac{3}{5}\ \mathrm{m/s}$，即$k=\frac{3}{5}$。
也可代入$x=5,y=334$到$y=kx+331$中，得$334=5k+331$，同样解得$k=\frac{3}{5}$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{3}{5}x+331$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{5}x+331}$
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础应用题型，解题核心是熟练掌握一次函数解析式的求解方法，既可以通过待定系数法代入数值计算，也可以通过观察变量的匀速变化规律直接得到比例系数，是一次函数相关应用的基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
题目明确说明音速y是气温x的一次函数，我们可以利用一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$求解。首先观察表格，当$x=0$时可直接得到$b$的值，再通过数据的变化规律或者代入其他组对应值，就能求出$k$的值，最终得到完整的函数表达式。
【解析】
解：$\because$声音传播速度$y$是气温$x$的一次函数，
$\therefore$设$y$与$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=kx+b(k≠0)}$。
从表格中可得，当$x=0$时，$y=331$，代入表达式得：
$331=k×0+b$，解得$b=331$。
观察数据可知：气温每升高$5° C$，音速增加$334-331=3\ \mathrm{m/s}$，因此气温每升高$1° C$，音速增加$\frac{3}{5}\ \mathrm{m/s}$，即$k=\frac{3}{5}$。
也可代入$x=5,y=334$到$y=kx+331$中，得$334=5k+331$，同样解得$k=\frac{3}{5}$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{3}{5}x+331$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{5}x+331}$
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础应用题型，解题核心是熟练掌握一次函数解析式的求解方法，既可以通过待定系数法代入数值计算，也可以通过观察变量的匀速变化规律直接得到比例系数，是一次函数相关应用的基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10.某商店出售一种瓜子，售价y(单位:元)与购买瓜子的质量x(单位:kg)之间的关系如下表：
其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱。
(1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)求购买7 kg瓜子时的售价。
(3)写出y与x之间的表达式。商店规定，当一次性购买100 kg及以上时打九折。某校七年级(1)班和七年级(2)班要搞一次班庆活动，已知两个班级共94人，每人1 kg瓜子，都用1 kg的小袋包装好，且小包装袋的费用及包装人工费全免。要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱。
(1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)求购买7 kg瓜子时的售价。
(3)写出y与x之间的表达式。商店规定，当一次性购买100 kg及以上时打九折。某校七年级(1)班和七年级(2)班要搞一次班庆活动，已知两个班级共94人，每人1 kg瓜子，都用1 kg的小袋包装好，且小包装袋的费用及包装人工费全免。要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
答案
解:(1)在这个变化过程中,自变量是购买瓜子的质量,因变量是售价。
(2)$3.6×7+0.2=25.2+0.2=25.4$(元)。
(3)$y=3.6x+0.2$。
当购买94 kg瓜子时,所需费用为
$3.6×94=338.4$(元)；
当购买100 kg瓜子时,所需费用为
$3.6×0.9×100=324$(元)。
因为338.4＞324，
所以要买够两个班的瓜子,正常情况下最少要花324元。
(2)$3.6×7+0.2=25.2+0.2=25.4$(元)。
(3)$y=3.6x+0.2$。
当购买94 kg瓜子时,所需费用为
$3.6×94=338.4$(元)；
当购买100 kg瓜子时,所需费用为
$3.6×0.9×100=324$(元)。
因为338.4＞324，
所以要买够两个班的瓜子,正常情况下最少要花324元。
解析
【分析】
(1) 判断自变量和因变量时，明确自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而改变的量，本题中购买瓜子的质量变化会引起售价变化，据此即可判断两个变量。
(2) 先观察表格规律：每千克瓜子售价为3.6元，另加固定0.2元塑料袋费用，求7kg的售价时，直接按照“单价×质量+塑料袋费”代入计算即可。
(3) 根据售价的组成直接写出y与x的关系式；计算最少花费时，明确需要至少94kg瓜子，结合优惠规则有两种购买方案：买94kg不打折、买100kg打九折，注意题中说明小包装袋费用全免，无需加0.2元塑料袋钱，分别计算两种方案的费用，选更低的即可。
【解析】
(1) 购买瓜子的质量是主动变化的，售价随购买质量的变化而变化，因此这个变化过程中，自变量是购买瓜子的质量，因变量是售价。
(2) 由表格可知每千克瓜子价格为3.6元，塑料袋费0.2元，购买7kg瓜子的售价为：
$3.6×7 + 0.2 = 25.2 + 0.2 = 25.4$（元）
(3) 根据售价的组成，可得y与x的表达式为：$\boldsymbol{y = 3.6x + 0.2}$
现在需要购买至少94kg瓜子，分两种情况计算费用：
① 购买94kg，不满足打折条件，且包装袋费用全免，所需费用：$3.6×94 = 338.4$（元）
② 购买100kg，满足100kg及以上打九折的条件，所需费用：$3.6×0.9×100 = 324$（元）
因为$338.4 ＞ 324$，所以买够两个班的瓜子最少要花324元。
【答案】
(1) 自变量是购买瓜子的质量，因变量是售价；
(2) 25.4元；
(3) $y=3.6x+0.2$，最少要花324元。
【知识点】
自变量与因变量识别；一次函数实际应用；最优方案选择
【点评】
本题结合生活购物场景出题，既考查了变量的基础概念，又要求学生结合优惠规则对比不同方案的成本，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力，解题时要注意免包装费、打折等限定条件，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 判断自变量和因变量时，明确自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而改变的量，本题中购买瓜子的质量变化会引起售价变化，据此即可判断两个变量。
(2) 先观察表格规律：每千克瓜子售价为3.6元，另加固定0.2元塑料袋费用，求7kg的售价时，直接按照“单价×质量+塑料袋费”代入计算即可。
(3) 根据售价的组成直接写出y与x的关系式；计算最少花费时，明确需要至少94kg瓜子，结合优惠规则有两种购买方案：买94kg不打折、买100kg打九折，注意题中说明小包装袋费用全免，无需加0.2元塑料袋钱，分别计算两种方案的费用，选更低的即可。
【解析】
(1) 购买瓜子的质量是主动变化的，售价随购买质量的变化而变化，因此这个变化过程中，自变量是购买瓜子的质量，因变量是售价。
(2) 由表格可知每千克瓜子价格为3.6元，塑料袋费0.2元，购买7kg瓜子的售价为：
$3.6×7 + 0.2 = 25.2 + 0.2 = 25.4$（元）
(3) 根据售价的组成，可得y与x的表达式为：$\boldsymbol{y = 3.6x + 0.2}$
现在需要购买至少94kg瓜子，分两种情况计算费用：
① 购买94kg，不满足打折条件，且包装袋费用全免，所需费用：$3.6×94 = 338.4$（元）
② 购买100kg，满足100kg及以上打九折的条件，所需费用：$3.6×0.9×100 = 324$（元）
因为$338.4 ＞ 324$，所以买够两个班的瓜子最少要花324元。
【答案】
(1) 自变量是购买瓜子的质量，因变量是售价；
(2) 25.4元；
(3) $y=3.6x+0.2$，最少要花324元。
【知识点】
自变量与因变量识别；一次函数实际应用；最优方案选择
【点评】
本题结合生活购物场景出题，既考查了变量的基础概念，又要求学生结合优惠规则对比不同方案的成本，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力，解题时要注意免包装费、打折等限定条件，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
