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3. 已知关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程，且该方程的解与关于$x$的方程$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$的解相同.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)在(1)的条件下，若关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数解，求$m$，$n$的值.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)在(1)的条件下，若关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数解，求$m$，$n$的值.
答案
3. (1)因为关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程，所以$|a|-1=1$. 又因为$a-2≠0$，所以$a=-2$. 当$a=-2$时，方程为$-4x+4b=0$，得$x=b$. 又因为两个方程同解，所以$\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$，解得$b=1$. (2)把$a=-2$，$b=1$代入$|m-1|y+n=a+1+2by$，得$|m-1|y+n=-1+2y$，变形得$(|m-1|-2)y=-n-1$. 因为关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数解，所以$|m-1|-2=0$，$-n-1=0$，所以$m=3$或$-1$，$n=-1$.
解析
【分析】
(1) 首先从一元一次方程的定义出发，一元一次方程需满足：未知数只有1个、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0，据此列出关于a的关系式求出a的值，再得到第一个方程的解；因为两个方程解相同，将第一个方程的解代入第二个方程即可求出b的值。
(2) 把(1)中求得的a、b代入关于y的方程，整理为“系数×y=常数”的形式，当y的系数为0且常数项也为0时，方程对任意y都成立，即有无数解，据此列关系式求解m、n即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程
∴ $\begin{cases}|a|-1=1 \\ a-2≠0\end{cases}$
由$|a|-1=1$得$|a|=2$，即$a=\pm2$，结合$a-2≠0$得$a≠2$，因此$a=-2$。
将$a=-2$代入原方程得：$-4x+4b=0$，解得$x=b$。
∵ 两个方程解相同，将$x=b$代入$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$得：
$\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$
化简得$\frac{2b+1}{3}=1$，两边同乘3得$2b+1=3$，解得$b=1$。
(2) 把$a=-2$、$b=1$代入方程$|m-1|y+n=a+1+2by$得：
$|m-1|y+n=-2+1+2y$
移项合并同类项得：$(|m-1|-2)y=-n-1$
∵ 该方程有无数解
∴ $\begin{cases}|m-1|-2=0 \\ -n-1=0\end{cases}$
由$|m-1|=2$得$m-1=\pm2$，解得$m=3$或$m=-1$；
由$-n-1=0$解得$n=-1$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=1$；
(2) $m=3$或$m=-1$，$n=-1$
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.同解方程的性质
3.含参方程解的判定
【点评】
本题综合考查一元一次方程的相关概念与应用，解题时要注意一元一次方程系数不为0的隐含条件，处理含参数的方程时要明确不同解的情况对应的参数关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先从一元一次方程的定义出发，一元一次方程需满足：未知数只有1个、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0，据此列出关于a的关系式求出a的值，再得到第一个方程的解；因为两个方程解相同，将第一个方程的解代入第二个方程即可求出b的值。
(2) 把(1)中求得的a、b代入关于y的方程，整理为“系数×y=常数”的形式，当y的系数为0且常数项也为0时，方程对任意y都成立，即有无数解，据此列关系式求解m、n即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程
∴ $\begin{cases}|a|-1=1 \\ a-2≠0\end{cases}$
由$|a|-1=1$得$|a|=2$，即$a=\pm2$，结合$a-2≠0$得$a≠2$，因此$a=-2$。
将$a=-2$代入原方程得：$-4x+4b=0$，解得$x=b$。
∵ 两个方程解相同，将$x=b$代入$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$得：
$\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$
化简得$\frac{2b+1}{3}=1$，两边同乘3得$2b+1=3$，解得$b=1$。
(2) 把$a=-2$、$b=1$代入方程$|m-1|y+n=a+1+2by$得：
$|m-1|y+n=-2+1+2y$
移项合并同类项得：$(|m-1|-2)y=-n-1$
∵ 该方程有无数解
∴ $\begin{cases}|m-1|-2=0 \\ -n-1=0\end{cases}$
由$|m-1|=2$得$m-1=\pm2$，解得$m=3$或$m=-1$；
由$-n-1=0$解得$n=-1$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=1$；
(2) $m=3$或$m=-1$，$n=-1$
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.同解方程的性质
3.含参方程解的判定
【点评】
本题综合考查一元一次方程的相关概念与应用，解题时要注意一元一次方程系数不为0的隐含条件，处理含参数的方程时要明确不同解的情况对应的参数关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于x的方程$x-\frac{8-ax}{3}=\frac{x}{2}-1$有负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和。
答案
$-6$
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次方程负整数解问题，解题思路可分为三步：第一步，把参数a当作已知常数，按照一元一次方程的常规解法求出x用a表示的代数式；第二步，根据“方程的解是负整数，a是整数”的条件，可知分母必须是10的负约数，据此列出所有可能的情况；第三步，筛选出a为整数的情况，最后将符合条件的a相加即可得到结果。
【解析】
解：先解方程$x-\frac{8-ax}{3}=\frac{x}{2}-1$
1. 去分母，两边同乘6得：
$6x - 2(8 - ax) = 3x - 6$
2. 去括号得：
$6x - 16 + 2ax = 3x - 6$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$6x + 2ax - 3x = 16 - 6$
4. 合并同类项得：
$(3 + 2a)x = 10$
5. 系数化为1得：
$x = \frac{10}{3 + 2a}$
因为方程有负整数解，所以$x＜0$，且a为整数，因此$3+2a$是10的负约数。
10的负约数有：-1、-2、-5、-10，分别代入计算：
① 当$3+2a=-1$时，解得$a=-2$，是整数，符合要求；
② 当$3+2a=-2$时，解得$a=-2.5$，不是整数，舍去；
③ 当$3+2a=-5$时，解得$a=-4$，是整数，符合要求；
④ 当$3+2a=-10$时，解得$a=-6.5$，不是整数，舍去；
则满足条件的整数a为-2、-4，它们的和为：$-2 + (-4) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的定义，整数解问题
【点评】
本题重点考查含参数一元一次方程的整数解求解，解题的核心是先将参数视为已知数求解方程，再结合解的限制条件确定参数的取值范围，筛选时要注意整数要求，避免出现多解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6
本题是含参数的一元一次方程负整数解问题，解题思路可分为三步：第一步，把参数a当作已知常数，按照一元一次方程的常规解法求出x用a表示的代数式；第二步，根据“方程的解是负整数，a是整数”的条件，可知分母必须是10的负约数，据此列出所有可能的情况；第三步，筛选出a为整数的情况，最后将符合条件的a相加即可得到结果。
【解析】
解：先解方程$x-\frac{8-ax}{3}=\frac{x}{2}-1$
1. 去分母，两边同乘6得：
$6x - 2(8 - ax) = 3x - 6$
2. 去括号得：
$6x - 16 + 2ax = 3x - 6$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$6x + 2ax - 3x = 16 - 6$
4. 合并同类项得：
$(3 + 2a)x = 10$
5. 系数化为1得：
$x = \frac{10}{3 + 2a}$
因为方程有负整数解，所以$x＜0$，且a为整数，因此$3+2a$是10的负约数。
10的负约数有：-1、-2、-5、-10，分别代入计算：
① 当$3+2a=-1$时，解得$a=-2$，是整数，符合要求；
② 当$3+2a=-2$时，解得$a=-2.5$，不是整数，舍去；
③ 当$3+2a=-5$时，解得$a=-4$，是整数，符合要求；
④ 当$3+2a=-10$时，解得$a=-6.5$，不是整数，舍去；
则满足条件的整数a为-2、-4，它们的和为：$-2 + (-4) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的定义，整数解问题
【点评】
本题重点考查含参数一元一次方程的整数解求解，解题的核心是先将参数视为已知数求解方程，再结合解的限制条件确定参数的取值范围，筛选时要注意整数要求，避免出现多解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6
1. 已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按如图的方式放置在同一个大长方形ABCD内（两种方式均有重叠）。按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为m；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为n。若AD=18，$n - m = 6$，则正方形甲的边长为（
A.$\frac{21}{5}$
B.7
C.7.5
D.8
B
）。A.$\frac{21}{5}$
B.7
C.7.5
D.8
答案
1. B(解析：设正方形甲的边长为$x$，长方形乙的长为$a$，宽为$b$，$AB=y$. 因为正方形甲和长方形乙的周长相等，所以$a+b=2x$，阴影部分①的周长$=2(18-a+y-x)$，阴影部分②的周长$=2(18-x+y-b)$，所以$m=2(18-a+y-x)+2(18-x+y-b)=72+4y-4x-2(a+b)=72+4y-8x$，$n=$阴影③的周长$+$阴影④的周长$=2(18-x)+4y=36-2x+4y$. 因为$n-m=6$，所以$36-2x+4y-(72+4y-8x)=6$，所以$6x-36=6$，解得$x=7$，所以正方形甲的边长为7.)
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：1. 先设未知数表示各图形的边长，利用正方形甲和长方形乙周长相等的条件，得到二者边长的等量关系；2. 分别表示出图1中两个阴影部分的周长，求和得到$m$，再表示出图2中两个阴影部分的周长，求和得到$n$，化简过程中可以消去长方形乙的长和宽两个未知量；3. 最后根据$n-m=6$列方程，求解过程中大长方形的宽也会被消去，即可求出正方形甲的边长。
【解析】
设正方形甲的边长为$x$，长方形乙的长为$a$，宽为$b$，大长方形的宽$AB=y$。
已知正方形甲和长方形乙周长相等，因此$4x=2(a+b)$，整理得$a+b=2x$。
计算$m$：
阴影①的周长为$2[(18-a)+(y-x)]$，阴影②的周长为$2[(18-x)+(y-b)]$，
则$m=2(18-a+y-x)+2(18-x+y-b)$
$=36-2a+2y-2x+36-2x+2y-2b$
$=72+4y-4x-2(a+b)$
将$a+b=2x$代入上式，得$m=72+4y-4x-4x=72+4y-8x$。
计算$n$：
观察图形可得，阴影③和④的周长之和为$n=2×18+4y-2x=36+4y-2x$。
根据$n-m=6$，代入表达式列方程：
$\begin{aligned}(36+4y-2x)-(72+4y-8x)&=6\\36+4y-2x-72-4y+8x&=6\\6x-36&=6\\6x&=42\\x&=7\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，周长计算，代数式化简
【点评】
本题结合几何周长计算考查方程建模能力，解题核心是通过合理设未知量，转化图形周长消去无关未知量，建立只含目标量的方程求解，对代数式化简能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按以下思路推导：1. 先设未知数表示各图形的边长，利用正方形甲和长方形乙周长相等的条件，得到二者边长的等量关系；2. 分别表示出图1中两个阴影部分的周长，求和得到$m$，再表示出图2中两个阴影部分的周长，求和得到$n$，化简过程中可以消去长方形乙的长和宽两个未知量；3. 最后根据$n-m=6$列方程，求解过程中大长方形的宽也会被消去，即可求出正方形甲的边长。
【解析】
设正方形甲的边长为$x$，长方形乙的长为$a$，宽为$b$，大长方形的宽$AB=y$。
已知正方形甲和长方形乙周长相等，因此$4x=2(a+b)$，整理得$a+b=2x$。
计算$m$：
阴影①的周长为$2[(18-a)+(y-x)]$，阴影②的周长为$2[(18-x)+(y-b)]$，
则$m=2(18-a+y-x)+2(18-x+y-b)$
$=36-2a+2y-2x+36-2x+2y-2b$
$=72+4y-4x-2(a+b)$
将$a+b=2x$代入上式，得$m=72+4y-4x-4x=72+4y-8x$。
计算$n$：
观察图形可得，阴影③和④的周长之和为$n=2×18+4y-2x=36+4y-2x$。
根据$n-m=6$，代入表达式列方程：
$\begin{aligned}(36+4y-2x)-(72+4y-8x)&=6\\36+4y-2x-72-4y+8x&=6\\6x-36&=6\\6x&=42\\x&=7\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，周长计算，代数式化简
【点评】
本题结合几何周长计算考查方程建模能力，解题核心是通过合理设未知量，转化图形周长消去无关未知量，建立只含目标量的方程求解，对代数式化简能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在数轴上点A，B分别表示的数是a，b，且数a，b满足$|a-5| + (b+7)^2 = 0$. 解答下面的问题：
(1)写出与点A相距4个单位长度的点表示的数是
(2)若将数轴折叠，使得点A与−1表示的点重合，则点B与数
(3)在数轴上，若点P从点A出发，沿数轴的正方向做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点B出发也沿数轴的正方向做匀速运动，速度为每秒4个单位长度. 若点P与点Q同时出发，经过多少秒点P与点Q之间相距3个单位长度.
(1)写出与点A相距4个单位长度的点表示的数是
1或9
；(2)若将数轴折叠，使得点A与−1表示的点重合，则点B与数
11
表示的点重合；(3)在数轴上，若点P从点A出发，沿数轴的正方向做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点B出发也沿数轴的正方向做匀速运动，速度为每秒4个单位长度. 若点P与点Q同时出发，经过多少秒点P与点Q之间相距3个单位长度.
答案
2. (1)1或9 (2)11 (3)设两点出发$t$ s后点$P$与点$Q$之间相距3个单位长度，所以点$P$运动后表示的数是$5+t$，点$Q$运动后表示的数是$-7+4t$，可得$|5+t-(-7+4t)|=3$，解得$t=3$或5.
解析
【分析】
首先根据绝对值与平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个数都为0，由此求出a=5，b=-7，再分别求解三个问题：
(1) 求与点A相距4个单位长度的点，需分该点在点A左侧、右侧两种情况，分别列式计算即可；
(2) 折叠后点A与-1重合，先求出两个点的中点即折叠的对称中心，再根据对称中心计算点B的对称点即可；
(3) 先分别用含时间t的式子表示出t秒后点P、点Q对应的数，再根据两点距离为3列绝对值方程，分情况求解即可。
【解析】
解：
∵ |a-5|≥0，(b+7)²≥0，且|a-5|+(b+7)²=0
∴ a-5=0，b+7=0，解得a=5，b=-7
(1) 当所求点在点A左侧时，对应的数为5-4=1；当所求点在点A右侧时，对应的数为5+4=9，故该点表示的数为1或9。
(2) 折叠后点A（5）与-1重合，
∴ 折叠的对称中心对应的数为(5 + (-1))÷2 = 2
设与点B（-7）重合的数为x，可得(-7 + x)÷2 = 2，解得x=11。
(3) 设经过t秒后点P与点Q相距3个单位长度。
t秒后，点P表示的数为5 + t，点Q表示的数为-7 + 4t，根据两点距离公式可得：
|(5 + t) - (-7 + 4t)| = 3
化简得|12 - 3t| = 3
分两种情况：
① 12 - 3t = 3，解得t=3；
② 12 - 3t = -3，解得t=5。
综上，经过3秒或5秒时两点相距3个单位长度。
【答案】
(1) 1或9；(2) 11；(3) 3秒或5秒
【知识点】
非负数的性质，数轴上的点与距离，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合数轴考查多个基础知识点，解题时要注意分类讨论思想的运用，求解动点问题时先准确表示出动点对应的数是解题关键，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先根据绝对值与平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个数都为0，由此求出a=5，b=-7，再分别求解三个问题：
(1) 求与点A相距4个单位长度的点，需分该点在点A左侧、右侧两种情况，分别列式计算即可；
(2) 折叠后点A与-1重合，先求出两个点的中点即折叠的对称中心，再根据对称中心计算点B的对称点即可；
(3) 先分别用含时间t的式子表示出t秒后点P、点Q对应的数，再根据两点距离为3列绝对值方程，分情况求解即可。
【解析】
解：
∵ |a-5|≥0，(b+7)²≥0，且|a-5|+(b+7)²=0
∴ a-5=0，b+7=0，解得a=5，b=-7
(1) 当所求点在点A左侧时，对应的数为5-4=1；当所求点在点A右侧时，对应的数为5+4=9，故该点表示的数为1或9。
(2) 折叠后点A（5）与-1重合，
∴ 折叠的对称中心对应的数为(5 + (-1))÷2 = 2
设与点B（-7）重合的数为x，可得(-7 + x)÷2 = 2，解得x=11。
(3) 设经过t秒后点P与点Q相距3个单位长度。
t秒后，点P表示的数为5 + t，点Q表示的数为-7 + 4t，根据两点距离公式可得：
|(5 + t) - (-7 + 4t)| = 3
化简得|12 - 3t| = 3
分两种情况：
① 12 - 3t = 3，解得t=3；
② 12 - 3t = -3，解得t=5。
综上，经过3秒或5秒时两点相距3个单位长度。
【答案】
(1) 1或9；(2) 11；(3) 3秒或5秒
【知识点】
非负数的性质，数轴上的点与距离，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合数轴考查多个基础知识点，解题时要注意分类讨论思想的运用，求解动点问题时先准确表示出动点对应的数是解题关键，避免漏解。
【难度系数】
0.7
