登录
7.如图,已知正八边形ABCDEFGH的边长为4,连结DA,CF交于点O,以点O为圆心,OF的长为半径画弧,得$\overset{\frown}{AF}$,则$\overset{\frown}{AF}$的长为（
A.$(2\sqrt{2}+4)π$
B.$(2\sqrt{2}+2)π$
C.$(\sqrt{2}+2)π$
D.$(\sqrt{2}+1)π$
C
）A.$(2\sqrt{2}+4)π$
B.$(2\sqrt{2}+2)π$
C.$(\sqrt{2}+2)π$
D.$(\sqrt{2}+1)π$
答案
7. C
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{AF}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定两个核心量：①弧所对的圆心角$∠ AOF$的度数；②半径$OF$的长度。首先根据正八边形内角和公式求出每个内角的度数，结合图形特征可判断$DA⊥ CF$，得圆心角为$90°$；再通过正八边形的内角特征得到$△ OCD$为等腰直角三角形，结合边长求出$OC$的长度，进而得到$OF$的长度，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$\frac{1080°}{8}=135°$。
2. 确定圆心角：
由正八边形的对称性可知$DA⊥ CF$，因此$∠ AOF=90°$，即弧$\overset{\frown}{AF}$对应的圆心角$n=90°$。
3. 求半径$OF$的长度：
在$△ OCD$中，$∠ OCD=∠ ODC=135°-90°=45°$，故$△ OCD$为等腰直角三角形。
已知正八边形边长$CD=4$，因此$OC=CD·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
结合图形可得$OF=OC+BC=2\sqrt{2}+4$，即弧的半径$r=2\sqrt{2}+4$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AF}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×(2\sqrt{2}+4)}{180}=(\sqrt{2}+2)π$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；弧长公式；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正多边形性质和弧长公式的应用，解题关键是结合正八边形的内角特征推导出等腰直角三角形，进而求出弧的半径，再结合圆心角度数代入公式求解即可。
【难度系数】
0.6
要求弧$\overset{\frown}{AF}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定两个核心量：①弧所对的圆心角$∠ AOF$的度数；②半径$OF$的长度。首先根据正八边形内角和公式求出每个内角的度数，结合图形特征可判断$DA⊥ CF$，得圆心角为$90°$；再通过正八边形的内角特征得到$△ OCD$为等腰直角三角形，结合边长求出$OC$的长度，进而得到$OF$的长度，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$\frac{1080°}{8}=135°$。
2. 确定圆心角：
由正八边形的对称性可知$DA⊥ CF$，因此$∠ AOF=90°$，即弧$\overset{\frown}{AF}$对应的圆心角$n=90°$。
3. 求半径$OF$的长度：
在$△ OCD$中，$∠ OCD=∠ ODC=135°-90°=45°$，故$△ OCD$为等腰直角三角形。
已知正八边形边长$CD=4$，因此$OC=CD·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
结合图形可得$OF=OC+BC=2\sqrt{2}+4$，即弧的半径$r=2\sqrt{2}+4$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AF}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×(2\sqrt{2}+4)}{180}=(\sqrt{2}+2)π$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；弧长公式；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正多边形性质和弧长公式的应用，解题关键是结合正八边形的内角特征推导出等腰直角三角形，进而求出弧的半径，再结合圆心角度数代入公式求解即可。
【难度系数】
0.6
8. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D。若$AB=4$，则$\overset{\frown}{BD}$的长为
$π$
。答案
8. $π$
解析
【分析】
解题思路可分四步走：①首先利用直径的性质，直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB的度数；②结合角平分线的定义，求出∠BCD的度数；③根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；④最后代入弧长公式计算即可得到弧BD的长度。
【解析】
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵CD平分∠ACB，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为∠BCD=45°，
∴弧BD对应的圆心角$∠ BOD=2×45°=90°$，
∵AB=4，
∴⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=2$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
可得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{90π×2}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，弧长公式，角平分线的定义
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入公式计算，是弧长计算模块的典型考题，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分四步走：①首先利用直径的性质，直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB的度数；②结合角平分线的定义，求出∠BCD的度数；③根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；④最后代入弧长公式计算即可得到弧BD的长度。
【解析】
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵CD平分∠ACB，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为∠BCD=45°，
∴弧BD对应的圆心角$∠ BOD=2×45°=90°$，
∵AB=4，
∴⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=2$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
可得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{90π×2}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，弧长公式，角平分线的定义
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入公式计算，是弧长计算模块的典型考题，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，若半径为3 cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动$150°$（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为
$\frac{5}{2}π$
cm。答案
9. $\frac{5}{2}π$
解析
【分析】
解题的关键是明确重物上升的高度与定滑轮边缘转过的弧长相等：因为绳索与滑轮之间没有滑动，滑轮边缘某点转过的弧长等于绳索移动的长度，也就是重物上升的高度。接下来只需要回忆弧长计算公式，将已知的圆心角度数、滑轮半径代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 绳索与滑轮之间无滑动，
∴ 重物上升的高度等于半径为3cm的圆中，圆心角为150°对应的弧长。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将$n=150$，$r=3$代入得：
$l=\frac{150×π×3}{180}=\frac{5}{2}π\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{5}{2}π$
【知识点】
弧长计算，定滑轮的性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何计算题，核心考查学生对弧长公式的掌握，以及将实际问题转化为数学计算问题的能力，只要找准等量关系，代入公式就能正确求解。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确重物上升的高度与定滑轮边缘转过的弧长相等：因为绳索与滑轮之间没有滑动，滑轮边缘某点转过的弧长等于绳索移动的长度，也就是重物上升的高度。接下来只需要回忆弧长计算公式，将已知的圆心角度数、滑轮半径代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 绳索与滑轮之间无滑动，
∴ 重物上升的高度等于半径为3cm的圆中，圆心角为150°对应的弧长。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将$n=150$，$r=3$代入得：
$l=\frac{150×π×3}{180}=\frac{5}{2}π\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{5}{2}π$
【知识点】
弧长计算，定滑轮的性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何计算题，核心考查学生对弧长公式的掌握，以及将实际问题转化为数学计算问题的能力，只要找准等量关系，代入公式就能正确求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(5,1),把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转90°得到△AEF,点B的对应点为E,点C的对应点为F。
(1)在图中画出△AEF；
(2)求点C的运动路径长。
(1)在图中画出△AEF；
(2)求点C的运动路径长。
答案
10. (1)如图,$△ AEF$ 即为所求
(2)$\because AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$\therefore$ 点 C 的运动路径的长$=\frac{90π×\sqrt{13}}{180}=\frac{\sqrt{13}}{2}π$
解析
【分析】
(1) 要画出旋转后的△AEF，需先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°。先找到点B、C绕点A逆时针旋转90°后的对应点E、F，再顺次连接A、E、F即可得到所求图形。
(2) 点C的运动路径是绕点A旋转90°形成的圆弧，要求路径长需先通过勾股定理求出半径AC的长度，再结合圆心角90°，代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) ① 旋转中心A位置保持不变；
② 确定点B的对应点E：AB为竖直向下、长度为2的线段，绕A逆时针旋转90°后得到水平向右、长度为2的线段AE，可得E点坐标为(4,3)；
③ 确定点C的对应点F：将线段AC绕A逆时针旋转90°得到等长的线段AF，可得F点坐标为(4,6)；
④ 顺次连接A、E、F，△AEF即为所求。
(2) 首先计算AC的长度：已知A(2,3)，C(5,1)，两点横坐标差为$5-2=3$，纵坐标差为$3-1=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
点C绕点A逆时针旋转90°，因此运动路径对应的圆心角为90°，半径为$AC=\sqrt{13}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$l=\frac{90π×\sqrt{13}}{180}=\frac{\sqrt{13}}{2}π$
【答案】
(1) 如图，$△ AEF$ 即为所求
(2) 点C的运动路径长为$\frac{\sqrt{13}}{2}π$
【知识点】
图形的旋转；勾股定理；弧长计算
【点评】
本题考查旋转作图与弧长计算的结合，作图时要抓住旋转三要素准确找对应点，计算路径长时需先明确运动轨迹的形状，找准圆弧的圆心角和半径再代入公式求解，是平面几何的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出旋转后的△AEF，需先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°。先找到点B、C绕点A逆时针旋转90°后的对应点E、F，再顺次连接A、E、F即可得到所求图形。
(2) 点C的运动路径是绕点A旋转90°形成的圆弧，要求路径长需先通过勾股定理求出半径AC的长度，再结合圆心角90°，代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) ① 旋转中心A位置保持不变；
② 确定点B的对应点E：AB为竖直向下、长度为2的线段，绕A逆时针旋转90°后得到水平向右、长度为2的线段AE，可得E点坐标为(4,3)；
③ 确定点C的对应点F：将线段AC绕A逆时针旋转90°得到等长的线段AF，可得F点坐标为(4,6)；
④ 顺次连接A、E、F，△AEF即为所求。
(2) 首先计算AC的长度：已知A(2,3)，C(5,1)，两点横坐标差为$5-2=3$，纵坐标差为$3-1=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
点C绕点A逆时针旋转90°，因此运动路径对应的圆心角为90°，半径为$AC=\sqrt{13}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$l=\frac{90π×\sqrt{13}}{180}=\frac{\sqrt{13}}{2}π$
【答案】
(1) 如图，$△ AEF$ 即为所求
(2) 点C的运动路径长为$\frac{\sqrt{13}}{2}π$
【知识点】
图形的旋转；勾股定理；弧长计算
【点评】
本题考查旋转作图与弧长计算的结合，作图时要抓住旋转三要素准确找对应点，计算路径长时需先明确运动轨迹的形状，找准圆弧的圆心角和半径再代入公式求解，是平面几何的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
