1. 如图，在扇形OAB中，$OA = 3$，$∠ AOB = 120°$，则$\overset{\frown}{AB}$的长为（）


A.$6π$
B.$3π$
C.$2π$
D.$π$

1. C

【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长，首先回忆弧长的计算公式：弧长与扇形的半径、弧所对的圆心角度数相关，公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n是圆心角度数，r是扇形半径）。接下来从题干中提取对应数值：扇形半径$r=OA=3$，弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$n=∠AOB=120°$，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，扇形OAB的半径$r=OA=3$，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$n=∠AOB=120°$。
根据弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数值可得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题是基础计算题，主要考查弧长公式的直接应用，只要熟记弧长公式，准确找到半径和圆心角的数值即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 一个扇形的半径为8，弧长等于$6π$，则扇形的圆心角度数为（）

A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$270°$

2. B

【分析】
解题时首先回忆弧长计算公式，已知扇形的弧长和半径，要求圆心角度数，可直接将已知量代入弧长公式，通过变形求解出圆心角的数值即可。首先明确弧长公式中各字母代表的含义：$l$代表弧长，$n$代表圆心角度数，$r$代表半径，公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，我们需要将公式变形为求$n$的形式，再代入数值计算。
【解析】
设扇形的圆心角度数为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知弧长$l=6π$，半径$r=8$，代入公式得：
$6π=\frac{nπ×8}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$6=\frac{8n}{180}$
交叉相乘解得：
$8n=6×180=1080$
$n=1080÷8=135$
即扇形的圆心角度数为$135°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 弧长公式
2. 公式变形计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值计算时可先约掉公共因数$π$简化运算，降低计算错误的概率。
【难度系数】
0.8

3.如图,车轮的半径$OA=30\ \mathrm{cm}$,车轮边缘上一点$A$绕点$O$转过的角$∠ AOB=80°$,则劣弧$AB$的长为$\mathrm{cm}$(结果保留$π$)。

3. $\frac{40}{3}π$

【分析】
本题要求劣弧AB的长，解题思路是先回忆弧长计算公式，明确公式中各参数的含义：$l=\frac{nπ r}{180}$中，n是弧所对的圆心角度数，r是圆的半径。首先从题干提取已知条件：圆心角$∠ AOB=80°$即n=80，半径OA=30cm即r=30，随后将数值代入公式化简计算即可得到结果。
【解析】
根据弧长计算公式：$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ r}{180}$（其中n为弧所对圆心角的度数，r为圆的半径）
由题可知，$n=80°$，$r=30\mathrm{cm}$，代入公式得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{80×π×30}{180}=\frac{2400π}{180}=\frac{40}{3}π(\mathrm{cm})$
【答案】
$\frac{40}{3}π$
【知识点】
弧长计算；圆的基本概念
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，核心考查对弧长公式的记忆与应用，只要准确找到圆心角度数和半径，代入计算时注意约分即可正确求解。
【难度系数】
0.8

4.已知圆弧的长是$3π$，圆弧的度数为$60°$，那么该圆弧所在圆的半径为。

4. 9

【分析】
解题时首先回忆弧长的计算公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆弧对应的圆心角度数，$ r $为圆的半径）。本题已知弧长和圆心角度数，求半径，只需将已知量代入弧长公式，变形求解关于$ r $的方程即可得到结果。
【解析】
设该圆弧所在圆的半径为$ r $，根据弧长计算公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，已知$ l=3π $，$ n=60° $，代入得：
$ 3π = \frac{60π r}{180} $
化简等式右侧：$ \frac{60π r}{180} = \frac{π r}{3} $
等式两边同时除以$ π $得：$ 3 = \frac{r}{3} $
解得：$ r = 9 $
【答案】
9
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的直接应用，解题时熟记公式，代入数值计算时注意约分化简，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

5.如图,弧AB的半径R为30 m,弓形的高h为15 m。求$\overset{\frown}{AB}$的长。 (第5题)

5. 连结 AO,作 OC ⊥ AB 于点 C,则 CO = 30 - 15 = 15,在△BCO 中,
$\because\cos∠ COB=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$,$\therefore∠ COB=60°$,$\therefore∠ AOB=60°×2=120°$,
$\therefore\frac{120π×30}{180}=20π(\mathrm{m})$,$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $20π\ \mathrm{m}$

【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为圆弧半径），本题中半径$R=30\ \mathrm{m}$为已知条件，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数。我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：连接$OA$，过圆心$O$作$AB$的垂线$OC$，根据垂径定理可知$OC$平分$∠ AOB$；先算出$OC$的长度为$R-h$，再在$\mathrm{Rt}△ COB$中利用特殊角的三角函数值求出半圆心角$∠ COB$的度数，乘2即可得到$∠ AOB$的度数，最后代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
解：连接$AO$，过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，
由题意得$OB=R=30\ \mathrm{m}$，$OC=R-h=30-15=15\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCO$中，$\cos∠ COB=\frac{OC}{OB}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ COB=60°$，
根据垂径定理，$OC$平分$∠ AOB$，$\therefore ∠ AOB=2∠ COB=120°$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长为：$\frac{120π×30}{180}=20π(\mathrm{m})$。
【答案】
$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $20π\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理；特殊角的三角函数值；弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的常规题型，将垂径定理、三角函数、弧长公式三个知识点结合考查，解题思路清晰，核心是通过构造直角三角形求出圆心角度数，是几何基础计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7

6.如图，OA为$\odot O$的半径，分别以点O，A为圆心，大于$\frac{1}{2}OA$长为半径作弧，两段弧相交于点B，C，作直线BC交$\odot O$于D，E两点。若OA=4，则$\overset{\frown}{DE}$的长为（）


A.$\frac{4}{3}π$
B.$2π$
C.$\frac{8}{3}π$
D.$3π$

6. C

【分析】
解题时首先根据尺规作图的特征判断直线BC的性质：分别以O、A为圆心，大于$\frac{1}{2}OA$为半径作弧得到的交点连线BC是OA的垂直平分线。要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，根据弧长公式，需要知道弧对应的圆心角度数和半径，半径已知为4，因此重点求$∠ DOE$的度数：连接OD、OE，在直角三角形中利用边长关系求出$∠ DOM$的度数，同理得到$∠ EOM$的度数，相加得到$∠ DOE$，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接OD、OE，设BC与OA交于点M。
由尺规作图的方法可知，直线BC是线段OA的垂直平分线，
∴ $OM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×4=2$，$∠ OMD=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径，$\therefore OD=OA=4$。
在$Rt△ OMD$中，$OM=\frac{1}{2}OD$，
∴ $∠ ODM=30°$，$∠ DOM=60°$。
同理可得$∠ EOM=60°$，
∴ $∠ DOE=∠ DOM+∠ EOM=60°+60°=120°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=120$，$r=4$：
$\overset{\frown}{DE}$的长$=\frac{120×π×4}{180}=\frac{8}{3}π$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线尺规作图，弧长计算公式，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、圆的基本性质和弧长计算，解题关键是通过作图特征判断出BC是OA的垂直平分线，进而求出弧对应的圆心角，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6