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【例1】指出下列各单项式的系数和次数：
(1)$-a^2b$；
(2)$\frac{13}{7}mn^3$；
(3)$-\frac{3a^2bc^3}{8}$；
(4)$π R^2$。
规律总结（1）单项式的系数包括正负符号在内；
（2）单独一个字母，它的系数和次数都是1；
（3）数的指数不能相加作为单项式的次数，注意$π$是一个常数。
(1)$-a^2b$；
(2)$\frac{13}{7}mn^3$；
(3)$-\frac{3a^2bc^3}{8}$；
(4)$π R^2$。
规律总结（1）单项式的系数包括正负符号在内；
（2）单独一个字母，它的系数和次数都是1；
（3）数的指数不能相加作为单项式的次数，注意$π$是一个常数。
答案
解:(1)$-a^2b$的系数是$-1$,次数是3.
(2)$\frac{13}{7} mn^3$的系数是$\frac{13}{7}$,次数是4.
(3)$-\frac{3a^2bc^3}{8}$的系数是$-\frac{3}{8}$,次数是6.
(4)$πR^2$的系数是$π$,次数是2.
(2)$\frac{13}{7} mn^3$的系数是$\frac{13}{7}$,次数是4.
(3)$-\frac{3a^2bc^3}{8}$的系数是$-\frac{3}{8}$,次数是6.
(4)$πR^2$的系数是$π$,次数是2.
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，要包含前面的正负号，注意π是常数，属于系数的一部分，不是字母；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，仅计算字母的指数，数字的指数和常数π不算在内，单独的字母的指数默认为1，不要漏加。解题时对每个单项式，先提取数字因数得到系数，再统计所有字母的指数求和得到次数即可。
【解析】
(1) 对于$-a^2b$：数字因数为$-1$，即系数为$-1$；包含字母$a$（指数为2）和$b$（指数为1），次数为$2+1=3$。
(2) 对于$\frac{13}{7}mn^3$：数字因数为$\frac{13}{7}$，即系数为$\frac{13}{7}$；包含字母$m$（指数为1）和$n$（指数为3），次数为$1+3=4$。
(3) 对于$-\frac{3a^2bc^3}{8}$：数字因数为$-\frac{3}{8}$，即系数为$-\frac{3}{8}$；包含字母$a$（指数为2）、$b$（指数为1）、$c$（指数为3），次数为$2+1+3=6$。
(4) 对于$π R^2$：$π$是常数，数字因数为$π$，即系数为$π$；仅包含字母$R$（指数为2），次数为2。
【答案】
(1)$-a^2b$的系数是$-1$,次数是3.
(2)$\frac{13}{7} mn^3$的系数是$\frac{13}{7}$,次数是4.
(3)$-\frac{3a^2bc^3}{8}$的系数是$-\frac{3}{8}$,次数是6.
(4)$πR^2$的系数是$π$,次数是2.
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数，常数的识别
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题的关键是准确掌握系数和次数的定义，注意避开忽略系数符号、漏记字母指数为1、误将π当作字母这几个常见易错点即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，要包含前面的正负号，注意π是常数，属于系数的一部分，不是字母；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，仅计算字母的指数，数字的指数和常数π不算在内，单独的字母的指数默认为1，不要漏加。解题时对每个单项式，先提取数字因数得到系数，再统计所有字母的指数求和得到次数即可。
【解析】
(1) 对于$-a^2b$：数字因数为$-1$，即系数为$-1$；包含字母$a$（指数为2）和$b$（指数为1），次数为$2+1=3$。
(2) 对于$\frac{13}{7}mn^3$：数字因数为$\frac{13}{7}$，即系数为$\frac{13}{7}$；包含字母$m$（指数为1）和$n$（指数为3），次数为$1+3=4$。
(3) 对于$-\frac{3a^2bc^3}{8}$：数字因数为$-\frac{3}{8}$，即系数为$-\frac{3}{8}$；包含字母$a$（指数为2）、$b$（指数为1）、$c$（指数为3），次数为$2+1+3=6$。
(4) 对于$π R^2$：$π$是常数，数字因数为$π$，即系数为$π$；仅包含字母$R$（指数为2），次数为2。
【答案】
(1)$-a^2b$的系数是$-1$,次数是3.
(2)$\frac{13}{7} mn^3$的系数是$\frac{13}{7}$,次数是4.
(3)$-\frac{3a^2bc^3}{8}$的系数是$-\frac{3}{8}$,次数是6.
(4)$πR^2$的系数是$π$,次数是2.
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数，常数的识别
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题的关键是准确掌握系数和次数的定义，注意避开忽略系数符号、漏记字母指数为1、误将π当作字母这几个常见易错点即可正确解答。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2024秋渝中区校级期末)下列各式：
$2a,\frac{3m}{4n},2x(x-1),π r^2,\frac{2x-1}{3},\frac{1}{b},\frac{2}{π},-\frac{1}{2}$中，
是单项式的有 （
A.7个
B.6个
C.5个
D.4个
$2a,\frac{3m}{4n},2x(x-1),π r^2,\frac{2x-1}{3},\frac{1}{b},\frac{2}{π},-\frac{1}{2}$中，
是单项式的有 （
D
）A.7个
B.6个
C.5个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。解题时需要注意两个易错点：一是π是常数，不是字母；二是分母中含有字母的式子、含有加减运算的整式都不属于单项式。我们逐个判断给出的式子是否符合单项式的定义，统计符合的数量即可选出正确答案。
【解析】
首先明确单项式的判定规则：①只含数与字母的乘积运算（不含加减运算）；②分母中不含字母；③单独的数或字母也是单项式。
逐个分析所给式子：
1. $2a$：是数2与字母a的积，符合单项式定义，是单项式；
2. $\frac{3m}{4n}$：分母含有字母n，属于分式，不是单项式；
3. $2x(x-1)$：展开后为$2x^2-2x$，含有减法运算，是多项式，不是单项式；
4. $π r^2$：$π$是常数，属于常数与$r^2$的积，符合单项式定义，是单项式；
5. $\frac{2x-1}{3}$：可变形为$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$，含有减法运算，是多项式，不是单项式；
6. $\frac{1}{b}$：分母含有字母b，属于分式，不是单项式；
7. $\frac{2}{π}$：$π$是常数，该式是单独的常数，符合单项式定义，是单项式；
8. $-\frac{1}{2}$：是单独的常数，符合单项式定义，是单项式。
综上，是单项式的共有4个，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；整式的分类
【点评】
本题考查单项式的判定，解题的核心是准确掌握单项式的定义，尤其要注意π为常数而非字母，不要将分母含字母的式子、含加减运算的整式误判为单项式，避免因概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。解题时需要注意两个易错点：一是π是常数，不是字母；二是分母中含有字母的式子、含有加减运算的整式都不属于单项式。我们逐个判断给出的式子是否符合单项式的定义，统计符合的数量即可选出正确答案。
【解析】
首先明确单项式的判定规则：①只含数与字母的乘积运算（不含加减运算）；②分母中不含字母；③单独的数或字母也是单项式。
逐个分析所给式子：
1. $2a$：是数2与字母a的积，符合单项式定义，是单项式；
2. $\frac{3m}{4n}$：分母含有字母n，属于分式，不是单项式；
3. $2x(x-1)$：展开后为$2x^2-2x$，含有减法运算，是多项式，不是单项式；
4. $π r^2$：$π$是常数，属于常数与$r^2$的积，符合单项式定义，是单项式；
5. $\frac{2x-1}{3}$：可变形为$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$，含有减法运算，是多项式，不是单项式；
6. $\frac{1}{b}$：分母含有字母b，属于分式，不是单项式；
7. $\frac{2}{π}$：$π$是常数，该式是单独的常数，符合单项式定义，是单项式；
8. $-\frac{1}{2}$：是单独的常数，符合单项式定义，是单项式。
综上，是单项式的共有4个，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；整式的分类
【点评】
本题考查单项式的判定，解题的核心是准确掌握单项式的定义，尤其要注意π为常数而非字母，不要将分母含字母的式子、含加减运算的整式误判为单项式，避免因概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.7
【变式2】(2025东兴区校级开学)单项式$-3πx^{2}yz^{3}$的系数是
$-3π$
.次数是$6$
.答案
系数是$-3π$，次数是$6$
解析
【分析】
要解决本题，需先回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，未标注指数的字母，其指数为1。解题时先提取数字因数得到系数，再累加所有字母的指数得到次数即可。
【解析】
首先确定系数：单项式$-3πx^{2}yz^{3}$中，π是固定的常数，因此该单项式的数字因数为$-3π$，即系数为$-3π$。
再确定次数：该单项式包含的字母为x、y、z，其中x的指数是2，y的指数是1（省略不写），z的指数是3，因此所有字母的指数和为$2+1+3=6$，即次数为6。
【答案】
$-3π$；$6$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题时需注意两个易错点：一是π为常数，不能当作字母参与次数的计算；二是指数为1时通常省略不写，计算次数时不要漏加该部分指数。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，未标注指数的字母，其指数为1。解题时先提取数字因数得到系数，再累加所有字母的指数得到次数即可。
【解析】
首先确定系数：单项式$-3πx^{2}yz^{3}$中，π是固定的常数，因此该单项式的数字因数为$-3π$，即系数为$-3π$。
再确定次数：该单项式包含的字母为x、y、z，其中x的指数是2，y的指数是1（省略不写），z的指数是3，因此所有字母的指数和为$2+1+3=6$，即次数为6。
【答案】
$-3π$；$6$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题时需注意两个易错点：一是π为常数，不能当作字母参与次数的计算；二是指数为1时通常省略不写，计算次数时不要漏加该部分指数。
【难度系数】
0.8
【例2】用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数.
(1)王明同学买2本练习册要花n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，则它的表面积是多少？体积呢？
(1)王明同学买2本练习册要花n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，则它的表面积是多少？体积呢？
答案
解:(1)因为买2本练习册要花n元,所以买1本练习册要花$\frac{n}{2}$元,所以买m本练习册要花$\frac{1}{2}mn$元,$\frac{1}{2}mn$的系数是$\frac{1}{2}$,次数是2.
(2)因为正方体的棱长为a,
所以它的表面积是$6a^2$,$6a^2$的系数是6,次数是2.
它的体积是$a^3$,$a^3$的系数是1,次数是3.
(2)因为正方体的棱长为a,
所以它的表面积是$6a^2$,$6a^2$的系数是6,次数是2.
它的体积是$a^3$,$a^3$的系数是1,次数是3.
解析
【分析】
解题分两步推进：①先列符合要求的单项式：第(1)问先利用“总价÷数量=单价”算出1本练习册的价格，再用“单价×购买数量=总花费”求出m本的总费用；第(2)问直接套用正方体表面积、体积的基础公式列式即可。②再判断系数和次数：根据定义，单项式的系数是其中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，逐个对应分析即可。
【解析】
(1) 已知买2本练习册花n元，因此1本练习册的单价为$\frac{n}{2}$元，
买m本的总花费为：$\frac{n}{2} × m = \frac{1}{2}mn$元。
其中$\frac{1}{2}mn$的数字因数是$\frac{1}{2}$，即系数为$\frac{1}{2}$；字母m、n的指数均为1，次数为$1+1=2$。
(2) 正方体的6个面都是面积相等的正方形，单个面的面积为$a^2$，因此表面积为$6a^2$。
$6a^2$的数字因数是6，即系数为6；字母a的指数为2，即次数为2。
正方体体积=棱长×棱长×棱长，因此体积为$a^3$。
$a^3$的数字因数为省略书写的1，即系数为1；字母a的指数为3，即次数为3。
【答案】
(1) 买m本练习册要花$\frac{1}{2}mn$元，系数是$\frac{1}{2}$，次数是2；
(2) 正方体的表面积是$6a^2$，系数是6，次数是2；体积是$a^3$，系数是1，次数是3。
【知识点】
列代数式；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题结合生活场景和几何基础公式考察单项式相关概念，解题关键是先准确梳理数量关系、牢记常用几何公式列出正确的单项式，再对应定义判断系数和次数即可，需注意单独字母的系数为1，计算次数时要累加所有字母的指数。
【难度系数】
0.8
解题分两步推进：①先列符合要求的单项式：第(1)问先利用“总价÷数量=单价”算出1本练习册的价格，再用“单价×购买数量=总花费”求出m本的总费用；第(2)问直接套用正方体表面积、体积的基础公式列式即可。②再判断系数和次数：根据定义，单项式的系数是其中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，逐个对应分析即可。
【解析】
(1) 已知买2本练习册花n元，因此1本练习册的单价为$\frac{n}{2}$元，
买m本的总花费为：$\frac{n}{2} × m = \frac{1}{2}mn$元。
其中$\frac{1}{2}mn$的数字因数是$\frac{1}{2}$，即系数为$\frac{1}{2}$；字母m、n的指数均为1，次数为$1+1=2$。
(2) 正方体的6个面都是面积相等的正方形，单个面的面积为$a^2$，因此表面积为$6a^2$。
$6a^2$的数字因数是6，即系数为6；字母a的指数为2，即次数为2。
正方体体积=棱长×棱长×棱长，因此体积为$a^3$。
$a^3$的数字因数为省略书写的1，即系数为1；字母a的指数为3，即次数为3。
【答案】
(1) 买m本练习册要花$\frac{1}{2}mn$元，系数是$\frac{1}{2}$，次数是2；
(2) 正方体的表面积是$6a^2$，系数是6，次数是2；体积是$a^3$，系数是1，次数是3。
【知识点】
列代数式；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题结合生活场景和几何基础公式考察单项式相关概念，解题关键是先准确梳理数量关系、牢记常用几何公式列出正确的单项式，再对应定义判断系数和次数即可，需注意单独字母的系数为1，计算次数时要累加所有字母的指数。
【难度系数】
0.8
