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10. 当$x=3$，$y=-\frac{1}{2}$时，代数式$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y$的值是（
A.$1\frac{3}{4}$
B.$2\frac{1}{4}$
C.$2\frac{3}{4}$
D.3
B
）A.$1\frac{3}{4}$
B.$2\frac{1}{4}$
C.$2\frac{3}{4}$
D.3
答案
10.B
解析
【分析】
本题是代数式求值类基础题，解题思路清晰：第一步先将题目给出的x、y的取值准确代入代数式，代入负数时要带上括号避免符号出错；第二步按照有理数运算顺序，先计算乘法，再计算加减法，计算过程中注意正负号的处理，最后将结果和选项对比即可。
【解析】
解：将$x=3$，$y=-\frac{1}{2}$代入代数式$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y$中，得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}×3 - \frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})\\&=2 - (-\frac{1}{4})\\&=2 + \frac{1}{4}\\&=2\frac{1}{4}\end{aligned}$
因此对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于常规基础题，核心考查代数式代入求值的方法，解题的关键是代入负数时注意符号处理，仔细计算分数运算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值类基础题，解题思路清晰：第一步先将题目给出的x、y的取值准确代入代数式，代入负数时要带上括号避免符号出错；第二步按照有理数运算顺序，先计算乘法，再计算加减法，计算过程中注意正负号的处理，最后将结果和选项对比即可。
【解析】
解：将$x=3$，$y=-\frac{1}{2}$代入代数式$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y$中，得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}×3 - \frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})\\&=2 - (-\frac{1}{4})\\&=2 + \frac{1}{4}\\&=2\frac{1}{4}\end{aligned}$
因此对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于常规基础题，核心考查代数式代入求值的方法，解题的关键是代入负数时注意符号处理，仔细计算分数运算即可得分。
【难度系数】
0.9
11. (2024秋澄迈县期末)若$2m^2 + m = -1$，则$4m^2 + 2m +5 =$
3
.答案
11.3
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构，发现所求代数式中的$4m^2+2m$是已知等式左边$2m^2+m$的2倍，因此不需要求出$m$的具体值，采用整体代入的方法即可快速计算结果，具体思路为：先将所求代数式变形为含有已知式$2m^2+m$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
已知$2m^2 + m = -1$，
对所求代数式变形可得：
$4m^2 + 2m +5 = 2(2m^2 + m) +5$
将$2m^2 + m = -1$代入上式：
原式$=2×(-1) +5 = -2 +5 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，解题的核心是发现已知式和所求式之间的倍数关系，利用整体代入法规避复杂计算，是代数运算中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构，发现所求代数式中的$4m^2+2m$是已知等式左边$2m^2+m$的2倍，因此不需要求出$m$的具体值，采用整体代入的方法即可快速计算结果，具体思路为：先将所求代数式变形为含有已知式$2m^2+m$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
已知$2m^2 + m = -1$，
对所求代数式变形可得：
$4m^2 + 2m +5 = 2(2m^2 + m) +5$
将$2m^2 + m = -1$代入上式：
原式$=2×(-1) +5 = -2 +5 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，解题的核心是发现已知式和所求式之间的倍数关系，利用整体代入法规避复杂计算，是代数运算中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
12.学校图书馆的窗户形状如图所示，其上部是半圆形，下部是四个相同的长方形，已知每个长方形的长为$a$ cm，宽为$b$ cm，
(1)列式表示窗户的面积；
(2)若$a=80$，$b=60$，求窗户的面积(计算结果保留$π$)。
(1)列式表示窗户的面积；
(2)若$a=80$，$b=60$，求窗户的面积(计算结果保留$π$)。
答案
12.解:(1)由图知,窗户面积为$(4ab+\frac{1}{2}π b^2)(\mathrm{cm}^2)$.
(2)将$a=80,b=60$代入$4ab+\frac{1}{2}π b^2$中,得$4ab+\frac{1}{2}π b^2=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2=(19\ 200+1\ 800π)(\mathrm{cm}^2)$.
(2)将$a=80,b=60$代入$4ab+\frac{1}{2}π b^2$中,得$4ab+\frac{1}{2}π b^2=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2=(19\ 200+1\ 800π)(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
这是组合图形面积计算类问题，解题思路为将不规则的窗户拆分为4个长方形和1个半圆形两类规则图形，分别计算面积后求和。第一步先根据已知的长方形长、宽计算4个长方形的总面积；第二步观察图形可得半圆形的直径等于下部两个长方形的宽之和，即2b，因此半圆半径为b，再计算半圆的面积；第三步将两部分面积相加得到窗户总面积的代数式；第二问直接把a、b的数值代入第一问得到的代数式按运算顺序求值即可。
【解析】
(1) 计算下部4个长方形的总面积：
单个长方形面积为$a× b=ab$，4个长方形的总面积为$4ab$。
计算上部半圆形的面积：
由图可知半圆的直径为$b+b=2b$，因此半圆的半径$r=b$，半圆面积为整圆面积的一半，即$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π b^2$。
因此窗户的总面积为两部分面积之和：$S=4ab+\frac{1}{2}π b^2$（单位：$\mathrm{cm}^2$）。
(2) 将$a=80$，$b=60$代入代数式$4ab+\frac{1}{2}π b^2$计算：
$\begin{aligned}S&=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2\\&=19200+\frac{1}{2}π×3600\\&=19200+1800π\end{aligned}$
单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{(4ab+\frac{1}{2}π b^2)\mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{(19200+1800π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
组合图形面积计算，代数式求值，圆的面积计算
【点评】
本题核心考查组合图形的拆分计算，解题关键是准确识别组合图形由哪些规则图形构成，明确各规则图形的参数，计算时代入数值要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是组合图形面积计算类问题，解题思路为将不规则的窗户拆分为4个长方形和1个半圆形两类规则图形，分别计算面积后求和。第一步先根据已知的长方形长、宽计算4个长方形的总面积；第二步观察图形可得半圆形的直径等于下部两个长方形的宽之和，即2b，因此半圆半径为b，再计算半圆的面积；第三步将两部分面积相加得到窗户总面积的代数式；第二问直接把a、b的数值代入第一问得到的代数式按运算顺序求值即可。
【解析】
(1) 计算下部4个长方形的总面积：
单个长方形面积为$a× b=ab$，4个长方形的总面积为$4ab$。
计算上部半圆形的面积：
由图可知半圆的直径为$b+b=2b$，因此半圆的半径$r=b$，半圆面积为整圆面积的一半，即$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π b^2$。
因此窗户的总面积为两部分面积之和：$S=4ab+\frac{1}{2}π b^2$（单位：$\mathrm{cm}^2$）。
(2) 将$a=80$，$b=60$代入代数式$4ab+\frac{1}{2}π b^2$计算：
$\begin{aligned}S&=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2\\&=19200+\frac{1}{2}π×3600\\&=19200+1800π\end{aligned}$
单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{(4ab+\frac{1}{2}π b^2)\mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{(19200+1800π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
组合图形面积计算，代数式求值，圆的面积计算
【点评】
本题核心考查组合图形的拆分计算，解题关键是准确识别组合图形由哪些规则图形构成，明确各规则图形的参数，计算时代入数值要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
13. 已知下列一组数:$1,\frac{3}{4},\frac{5}{9},\frac{7}{16},\frac{9}{25},\dots$则第$n$个数为（
A.$\frac{n}{2n-1}$
B.$\frac{n^2 -4}{n^2}$
C.$\frac{2n-1}{n^2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
C
）A.$\frac{n}{2n-1}$
B.$\frac{n^2 -4}{n^2}$
C.$\frac{2n-1}{n^2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
答案
13.C
解析
【分析】
解决这类数列找规律的题目，通常可以分别观察分子、分母的变化规律，也可以采用代入特殊值排除错误选项的方法快速解题。首先我们把数列中每个数对应的序号n（n从1开始）和对应数值的分子、分母对应起来分析：先把第1个数1改写为分数形式$\frac{1}{1}$，再依次列出前5个数的分子、分母，分别找和n的关系即可。
【解析】
方法一：分别找分子、分母规律
将数列改写为如下形式：
第1个数：$\frac{1}{1^2}$，其中分子$1=2×1-1$，分母$1=1^2$
第2个数：$\frac{3}{2^2}$，其中分子$3=2×2-1$，分母$4=2^2$
第3个数：$\frac{5}{3^2}$，其中分子$5=2×3-1$，分母$9=3^2$
第4个数：$\frac{7}{4^2}$，其中分子$7=2×4-1$，分母$16=4^2$
第5个数：$\frac{9}{5^2}$，其中分子$9=2×5-1$，分母$25=5^2$
以此类推，第n个数的分子为$2n-1$，分母为$n^2$，因此第n个数为$\frac{2n-1}{n^2}$。
方法二：代入排除法
取n=1（第1个数应为1）代入选项：
A选项：$\frac{1}{2×1-1}=1$，暂时保留；
B选项：$\frac{1^2-4}{1^2}=-3≠1$，排除；
C选项：$\frac{2×1-1}{1^2}=1$，暂时保留；
D选项：$\frac{2×1+1}{1^2}=3≠1$，排除。
再取n=2（第2个数应为$\frac{3}{4}$）代入剩余A、C选项：
A选项：$\frac{2}{2×2-1}=\frac{2}{3}≠\frac{3}{4}$，排除；
C选项：$\frac{2×2-1}{2^2}=\frac{3}{4}$，符合题意。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
数列规律探究，列代数式
【点评】
本题是数字规律探究类的常见题型，解题核心是将数值的分子、分母和对应序号建立联系，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
解决这类数列找规律的题目，通常可以分别观察分子、分母的变化规律，也可以采用代入特殊值排除错误选项的方法快速解题。首先我们把数列中每个数对应的序号n（n从1开始）和对应数值的分子、分母对应起来分析：先把第1个数1改写为分数形式$\frac{1}{1}$，再依次列出前5个数的分子、分母，分别找和n的关系即可。
【解析】
方法一：分别找分子、分母规律
将数列改写为如下形式：
第1个数：$\frac{1}{1^2}$，其中分子$1=2×1-1$，分母$1=1^2$
第2个数：$\frac{3}{2^2}$，其中分子$3=2×2-1$，分母$4=2^2$
第3个数：$\frac{5}{3^2}$，其中分子$5=2×3-1$，分母$9=3^2$
第4个数：$\frac{7}{4^2}$，其中分子$7=2×4-1$，分母$16=4^2$
第5个数：$\frac{9}{5^2}$，其中分子$9=2×5-1$，分母$25=5^2$
以此类推，第n个数的分子为$2n-1$，分母为$n^2$，因此第n个数为$\frac{2n-1}{n^2}$。
方法二：代入排除法
取n=1（第1个数应为1）代入选项：
A选项：$\frac{1}{2×1-1}=1$，暂时保留；
B选项：$\frac{1^2-4}{1^2}=-3≠1$，排除；
C选项：$\frac{2×1-1}{1^2}=1$，暂时保留；
D选项：$\frac{2×1+1}{1^2}=3≠1$，排除。
再取n=2（第2个数应为$\frac{3}{4}$）代入剩余A、C选项：
A选项：$\frac{2}{2×2-1}=\frac{2}{3}≠\frac{3}{4}$，排除；
C选项：$\frac{2×2-1}{2^2}=\frac{3}{4}$，符合题意。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
数列规律探究，列代数式
【点评】
本题是数字规律探究类的常见题型，解题核心是将数值的分子、分母和对应序号建立联系，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
14. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼
第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成第100个图形，则第100个图形需要的小木棒的数量为（
A.796根
B.798根
C.800根
D.802根
第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成第100个图形，则第100个图形需要的小木棒的数量为（
B
）A.796根
B.798根
C.800根
D.802根
答案
14.B
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题思路如下：首先列出前3个图形对应的小木棒数量，对比相邻两个图形的小木棒数量差，可发现每次增加1个图形，小木棒数量固定增加8根，属于等差变化规律；接着根据前3组数据推导第n个图形的小木棒数量的通用表达式，最后将n=100代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察已知条件可得：
第1个图形小木棒数量：$ 6 = 8 × 1 - 2 $
第2个图形小木棒数量：$ 14 = 8 × 2 - 2 $
第3个图形小木棒数量：$ 22 = 8 × 3 - 2 $
由此可归纳规律：第$ n $个图形需要的小木棒数量为$ 8n - 2 $根。
当$ n=100 $时，代入公式得：
$ 8 × 100 - 2 = 800 - 2 = 798 $（根）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类常考题，解题核心是掌握从特殊个例推导一般规律的方法，找到数量变化的固定差值，再结合已知条件推导通用公式即可求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
这是图形规律探究类题目，解题思路如下：首先列出前3个图形对应的小木棒数量，对比相邻两个图形的小木棒数量差，可发现每次增加1个图形，小木棒数量固定增加8根，属于等差变化规律；接着根据前3组数据推导第n个图形的小木棒数量的通用表达式，最后将n=100代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察已知条件可得：
第1个图形小木棒数量：$ 6 = 8 × 1 - 2 $
第2个图形小木棒数量：$ 14 = 8 × 2 - 2 $
第3个图形小木棒数量：$ 22 = 8 × 3 - 2 $
由此可归纳规律：第$ n $个图形需要的小木棒数量为$ 8n - 2 $根。
当$ n=100 $时，代入公式得：
$ 8 × 100 - 2 = 800 - 2 = 798 $（根）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类常考题，解题核心是掌握从特殊个例推导一般规律的方法，找到数量变化的固定差值，再结合已知条件推导通用公式即可求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
15. 数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要.例如:已知$a^2+2a=2$，则代数式$2a^2+4a+3=2(a^2+2a)+3=2×2+3=7$.
请你根据以上材料解答问题:
(1) 若$x^2-3x=4$，求$1-x^2+3x$的值；
(2) 若当$x=1$时，代数式$px^3+qx-1$的值是5，求当$x=-1$时，代数式$px^3+qx-1$的值.
请你根据以上材料解答问题:
(1) 若$x^2-3x=4$，求$1-x^2+3x$的值；
(2) 若当$x=1$时，代数式$px^3+qx-1$的值是5，求当$x=-1$时，代数式$px^3+qx-1$的值.
答案
15.解:(1) 因为$x^2-3x=4$，
所以$1-x^2+3x=1-(x^2-3x)=1-4=-3$.
(2)因为当$x=1$时,代数式$px^3+qx-1$的值是5，
所以$p×1^3+q×1-1=5$，
所以$p+q-1=5$，
所以$p+q=6$，
所以当$x=-1$时.
$px^3+qx-1=p×(-1)^3+q×(-1)-1=-p-q-1=-(p+q)-1=-6-1=-7$.
所以$1-x^2+3x=1-(x^2-3x)=1-4=-3$.
(2)因为当$x=1$时,代数式$px^3+qx-1$的值是5，
所以$p×1^3+q×1-1=5$，
所以$p+q-1=5$，
所以$p+q=6$，
所以当$x=-1$时.
$px^3+qx-1=p×(-1)^3+q×(-1)-1=-p-q-1=-(p+q)-1=-6-1=-7$.
解析
【分析】
本题运用整体思想求解代数式的值，无需计算未知字母的具体值，按照以下思路解题即可：
(1) 观察所求代数式$1-x^2+3x$，可变形为$1-(x^2-3x)$，刚好包含已知条件$x^2-3x=4$，直接将已知条件作为整体代入就能算出结果。
(2) 先把$x=1$代入代数式$px^3+qx-1$，求出$p+q$的整体值；再把$x=-1$代入代数式，变形后可得到含$p+q$的式子，将$p+q$的整体值代入即可求出结果。
【解析】
(1) 因为$x^2-3x=4$，
所以$1-x^2+3x=1-(x^2-3x)=1-4=-3$。
(2) 因为当$x=1$时，代数式$px^3+qx-1$的值是5，
所以$p×1^3+q×1-1=5$，
所以$p+q-1=5$，
所以$p+q=6$，
所以当$x=-1$时，
$px^3+qx-1=p×(-1)^3+q×(-1)-1=-p-q-1=-(p+q)-1=-6-1=-7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-7}$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，能省去求解未知字母具体值的繁琐步骤，解题关键是对所求代数式进行合理变形，将已知条件作为整体代入计算。
【难度系数】
0.8
本题运用整体思想求解代数式的值，无需计算未知字母的具体值，按照以下思路解题即可：
(1) 观察所求代数式$1-x^2+3x$，可变形为$1-(x^2-3x)$，刚好包含已知条件$x^2-3x=4$，直接将已知条件作为整体代入就能算出结果。
(2) 先把$x=1$代入代数式$px^3+qx-1$，求出$p+q$的整体值；再把$x=-1$代入代数式，变形后可得到含$p+q$的式子，将$p+q$的整体值代入即可求出结果。
【解析】
(1) 因为$x^2-3x=4$，
所以$1-x^2+3x=1-(x^2-3x)=1-4=-3$。
(2) 因为当$x=1$时，代数式$px^3+qx-1$的值是5，
所以$p×1^3+q×1-1=5$，
所以$p+q-1=5$，
所以$p+q=6$，
所以当$x=-1$时，
$px^3+qx-1=p×(-1)^3+q×(-1)-1=-p-q-1=-(p+q)-1=-6-1=-7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-7}$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，能省去求解未知字母具体值的繁琐步骤，解题关键是对所求代数式进行合理变形，将已知条件作为整体代入计算。
【难度系数】
0.8
