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1.二次函数$y=x^2 -2mx +5m$的图象经过点$(1,-2)$，其解析式为
$y=x^2+2x-5$
。答案
$y=x^2+2x-5$
解析
【分析】
要确定含参数m的二次函数解析式，首先利用函数图像上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点(1,-2)的横、纵坐标代入给定的二次函数表达式，得到关于m的一元一次方程，求解得到m的值后，再将m代回原式，即可求出最终的二次函数解析式。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -2mx +5m$的图象经过点$(1,-2)$
∴ 将$x=1$，$y=-2$代入解析式得：
$-2 = 1^2 - 2m × 1 + 5m$
整理方程得：
$-2 = 1 + 3m$
移项计算得：
$3m = -3$
解得：$m = -1$
将$m=-1$代入原解析式，得：
$y = x^2 - 2×(-1)x + 5×(-1) = x^2 + 2x -5$
【答案】
$y=x^2+2x-5$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是利用函数图象上的点满足对应解析式的性质求解未知参数，熟练掌握待定系数法的应用即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要确定含参数m的二次函数解析式，首先利用函数图像上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点(1,-2)的横、纵坐标代入给定的二次函数表达式，得到关于m的一元一次方程，求解得到m的值后，再将m代回原式，即可求出最终的二次函数解析式。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -2mx +5m$的图象经过点$(1,-2)$
∴ 将$x=1$，$y=-2$代入解析式得：
$-2 = 1^2 - 2m × 1 + 5m$
整理方程得：
$-2 = 1 + 3m$
移项计算得：
$3m = -3$
解得：$m = -1$
将$m=-1$代入原解析式，得：
$y = x^2 - 2×(-1)x + 5×(-1) = x^2 + 2x -5$
【答案】
$y=x^2+2x-5$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是利用函数图象上的点满足对应解析式的性质求解未知参数，熟练掌握待定系数法的应用即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.已知抛物线的顶点坐标为(1,2)，与y轴交于点(0,4)，则抛物线对应的函数解析式为
$y=2(x-1)^2+2$
。答案
$y=2(x-1)^2+2$
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来设解析式，可减少计算量。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），本题中顶点坐标$(1,2)$已知，因此只需代入顶点坐标得到含未知参数$a$的解析式，再将抛物线与$y$轴的交点坐标代入，求解得到$a$的值即可确定最终解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点坐标为$(1,2)$
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+2$（$a≠0$）
将点$(0,4)$代入解析式得：
$4=a×(0-1)^2+2$
解得$a=2$
将$a=2$代入所设解析式，得抛物线对应的函数解析式为$y=2(x-1)^2+2$
【答案】
$y=2(x-1)^2+2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据题干给出的已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算过程，同学们要熟练掌握不同已知条件对应的解析式设法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来设解析式，可减少计算量。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），本题中顶点坐标$(1,2)$已知，因此只需代入顶点坐标得到含未知参数$a$的解析式，再将抛物线与$y$轴的交点坐标代入，求解得到$a$的值即可确定最终解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点坐标为$(1,2)$
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+2$（$a≠0$）
将点$(0,4)$代入解析式得：
$4=a×(0-1)^2+2$
解得$a=2$
将$a=2$代入所设解析式，得抛物线对应的函数解析式为$y=2(x-1)^2+2$
【答案】
$y=2(x-1)^2+2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据题干给出的已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算过程，同学们要熟练掌握不同已知条件对应的解析式设法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3.若二次函数的图象与$x$轴交于点$(-3,0)$，$(1,0)$，且经过点$(2,5)$，求二次函数的解析式.
【思考过程】
(1)【设】设二次函数的解析式为$y=a(x+\_\_\_\_\_\_)·(x-\_\_\_\_\_\_)$；
(2)【代】把$(2,5)$代入解析式得________；
(3)【解】解得$a=\_\_\_\_\_\_$；
(4)【写】所以二次函数的解析式为________.
【思考过程】
(1)【设】设二次函数的解析式为$y=a(x+\_\_\_\_\_\_)·(x-\_\_\_\_\_\_)$；
(2)【代】把$(2,5)$代入解析式得________；
(3)【解】解得$a=\_\_\_\_\_\_$；
(4)【写】所以二次函数的解析式为________.
答案
(1)3;1 (2)$5=5a$ (3)1 (4)$y=x^2+2x-3$
解析
【分析】
已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设解析式可降低计算量。首先回忆交点式的形式：若二次函数与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则解析式可设为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），代入两个交点的横坐标即可写出含参数$a$的解析式，再将第三个已知点的坐标代入解析式求出$a$的值，最后化简为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
(1) 二次函数与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$，代入交点式得$x_1=-3$，$x_2=1$，因此解析式设为$y=a(x+3)·(x-1)$，两个空依次填3、1；
(2) 把点$(2,5)$代入上述解析式，将$x=2$、$y=5$代入得$5=a×(2+3)×(2-1)$，整理得$5=5a$；
(3) 解方程$5=5a$，两边同时除以5，得$a=1$；
(4) 将$a=1$代回交点式得$y=(x+3)(x-1)$，展开化简为一般式为$y=x^2+2x-3$。
【答案】
(1)3；1 (2)$5=5a$ (3)1 (4)$y=x^2+2x-3$
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法；整式乘法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，当已知二次函数与x轴的两个交点坐标时，选用交点式求解比一般式更简便，熟练掌握不同解析式的适用场景可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设解析式可降低计算量。首先回忆交点式的形式：若二次函数与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则解析式可设为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），代入两个交点的横坐标即可写出含参数$a$的解析式，再将第三个已知点的坐标代入解析式求出$a$的值，最后化简为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
(1) 二次函数与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$，代入交点式得$x_1=-3$，$x_2=1$，因此解析式设为$y=a(x+3)·(x-1)$，两个空依次填3、1；
(2) 把点$(2,5)$代入上述解析式，将$x=2$、$y=5$代入得$5=a×(2+3)×(2-1)$，整理得$5=5a$；
(3) 解方程$5=5a$，两边同时除以5，得$a=1$；
(4) 将$a=1$代回交点式得$y=(x+3)(x-1)$，展开化简为一般式为$y=x^2+2x-3$。
【答案】
(1)3；1 (2)$5=5a$ (3)1 (4)$y=x^2+2x-3$
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法；整式乘法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，当已知二次函数与x轴的两个交点坐标时，选用交点式求解比一般式更简便，熟练掌握不同解析式的适用场景可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
4.如图,抛物线$y=x^2+bx+c$($b,c$是常数)与$x$轴负半轴、$y$轴负半轴分别交于点$A$和点$B$,$OA=OB=3$.求$b,c$的值.
答案
解：$b=2,c=-3$。
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的OA=OB=3，结合点A、B的位置确定两点的坐标；再根据二次函数图象上的点满足函数解析式，将两点坐标代入抛物线的表达式，得到关于b、c的方程（组），求解即可得到b、c的值。
【解析】
解：
∵ 点A在x轴负半轴，且OA=3，
∴ 点A的坐标为$(-3, 0)$，
∵ 点B在y轴负半轴，且OB=3，
∴ 点B的坐标为$(0, -3)$。
将$B(0, -3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$-3=0^2 + b×0 + c$，解得$c=-3$。
将$A(-3, 0)$、$c=-3$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$0=(-3)^2 + b×(-3) + (-3)$，
即$0=9-3b-3$，
整理得$3b=6$，解得$b=2$。
【答案】
$b=2,c=-3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数系数
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是二次函数基础题，核心考查待定系数法的应用，解题的突破口是结合线段长度和点所在的象限准确写出点的坐标，代入解析式后计算难度低，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的OA=OB=3，结合点A、B的位置确定两点的坐标；再根据二次函数图象上的点满足函数解析式，将两点坐标代入抛物线的表达式，得到关于b、c的方程（组），求解即可得到b、c的值。
【解析】
解：
∵ 点A在x轴负半轴，且OA=3，
∴ 点A的坐标为$(-3, 0)$，
∵ 点B在y轴负半轴，且OB=3，
∴ 点B的坐标为$(0, -3)$。
将$B(0, -3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$-3=0^2 + b×0 + c$，解得$c=-3$。
将$A(-3, 0)$、$c=-3$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$0=(-3)^2 + b×(-3) + (-3)$，
即$0=9-3b-3$，
整理得$3b=6$，解得$b=2$。
【答案】
$b=2,c=-3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数系数
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是二次函数基础题，核心考查待定系数法的应用，解题的突破口是结合线段长度和点所在的象限准确写出点的坐标，代入解析式后计算难度低，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 原创题 已知二次函数的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表：
(1)求二次函数的解析式；
(2)$m$的值为
(1)求二次函数的解析式；
(2)$m$的值为
6
，$n$的值为4
.答案
(1)$y=-x^2+4x+3$ (2)6;4
解析
【分析】
(1)求二次函数解析式可选用待定系数法，设一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，观察表格可知$x=0$时$y=3$，可直接确定常数项$c$的值，再代入另外两组$x、y$的对应值，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a、b$，得到解析式。
(2)求$m$时，只需将$x=3$代入已求出的解析式计算即可得$m$的值；观察表格可知$x=0$和$x=n$时函数值均为3，说明这两个点是二次函数图象上关于对称轴对称的点，先求出二次函数的对称轴，利用对称点横坐标到对称轴的距离相等即可求出$n$，也可令$y=3$解方程得到$x$的两个解，进而得到$n$的值。
【解析】
(1)设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将表格中$(0,3)$、$(1,6)$、$(2,7)$三组对应值代入解析式：
当$x=0$时，$y=c=3$；
当$x=1$时，$a×1^2+b×1+3=6$，整理得$a+b=3$ ①；
当$x=2$时，$a×2^2+b×2+3=7$，整理得$2a+b=2$ ②；
用②式减去①式得：$a=-1$，
将$a=-1$代入①式，得$-1+b=3$，解得$b=4$，
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+4x+3$。
(2)①求$m$的值：
将$x=3$代入$y=-x^2+4x+3$，
得$y=-3^2+4×3+3=-9+12+3=6$，故$m=6$。
②求$n$的值：
二次函数$y=-x^2+4x+3$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，
因为$x=0$和$x=n$时函数值相等，所以这两个点关于对称轴对称，
即$\frac{0+n}{2}=2$，解得$n=4$。
【答案】
(1)$y=-x^2+4x+3$ (2)$6$；$4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查了待定系数法求解析式以及二次函数性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质，利用表格给出的特殊点简化计算过程。
【难度系数】
0.75
(1)求二次函数解析式可选用待定系数法，设一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，观察表格可知$x=0$时$y=3$，可直接确定常数项$c$的值，再代入另外两组$x、y$的对应值，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a、b$，得到解析式。
(2)求$m$时，只需将$x=3$代入已求出的解析式计算即可得$m$的值；观察表格可知$x=0$和$x=n$时函数值均为3，说明这两个点是二次函数图象上关于对称轴对称的点，先求出二次函数的对称轴，利用对称点横坐标到对称轴的距离相等即可求出$n$，也可令$y=3$解方程得到$x$的两个解，进而得到$n$的值。
【解析】
(1)设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将表格中$(0,3)$、$(1,6)$、$(2,7)$三组对应值代入解析式：
当$x=0$时，$y=c=3$；
当$x=1$时，$a×1^2+b×1+3=6$，整理得$a+b=3$ ①；
当$x=2$时，$a×2^2+b×2+3=7$，整理得$2a+b=2$ ②；
用②式减去①式得：$a=-1$，
将$a=-1$代入①式，得$-1+b=3$，解得$b=4$，
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+4x+3$。
(2)①求$m$的值：
将$x=3$代入$y=-x^2+4x+3$，
得$y=-3^2+4×3+3=-9+12+3=6$，故$m=6$。
②求$n$的值：
二次函数$y=-x^2+4x+3$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，
因为$x=0$和$x=n$时函数值相等，所以这两个点关于对称轴对称，
即$\frac{0+n}{2}=2$，解得$n=4$。
【答案】
(1)$y=-x^2+4x+3$ (2)$6$；$4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查了待定系数法求解析式以及二次函数性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质，利用表格给出的特殊点简化计算过程。
【难度系数】
0.75
6.已知抛物线$C_0:y=-x^2+2x+1.$
(1)将$C_0$向右平移3个单位长度,向下平移2个单位长度得到抛物线$C_1$对应的函数解析式为$\_\_\_\_\_\_;$
(2)将$C_0$沿$x$轴翻折得到抛物线$C_2$对应的函数解析式为$\_\_\_\_\_\_;$
(3)将$C_0$沿$y$轴翻折得到抛物线$C_3$对应的函数解析式为$\_\_\_\_\_\_.$
(1)将$C_0$向右平移3个单位长度,向下平移2个单位长度得到抛物线$C_1$对应的函数解析式为$\_\_\_\_\_\_;$
(2)将$C_0$沿$x$轴翻折得到抛物线$C_2$对应的函数解析式为$\_\_\_\_\_\_;$
(3)将$C_0$沿$y$轴翻折得到抛物线$C_3$对应的函数解析式为$\_\_\_\_\_\_.$
答案
(1)$y=-(x-4)^2$ (2)$y=(x-1)^2-2$ (3)$y=-(x+1)^2+2$
解析
【分析】
解决二次函数图象变换问题，首先将原抛物线解析式化为顶点式，明确其顶点坐标和二次项系数，再根据不同变换规则推导新解析式：1.平移遵循“左加右减、上加下减”的规律，仅改变顶点位置，不改变二次项系数；2.沿x轴翻折时，顶点关于x轴对称，二次项系数变为原数的相反数；3.沿y轴翻折时，顶点关于y轴对称，二次项系数不变。先将$C_0$配方为顶点式：$y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$，可得原顶点为$(1,2)$，$a=-1$。
【解析】
(1) 向右平移3个单位，向下平移2个单位：
平移后顶点横坐标为$1+3=4$，纵坐标为$2-2=0$，$a$不变仍为$-1$，
因此$C_1$的解析式为$y=-(x-4)^2$。
(2) 沿x轴翻折：
翻折后顶点与原顶点关于x轴对称，新顶点为$(1,-2)$，二次项系数变为$1$，
因此$C_2$的解析式为$y=(x-1)^2-2$。
(3) 沿y轴翻折：
翻折后顶点与原顶点关于y轴对称，新顶点为$(-1,2)$，$a$不变仍为$-1$，
因此$C_3$的解析式为$y=-(x+1)^2+2$。
【答案】
(1)$y=-(x-4)^2$ (2)$y=(x-1)^2-2$ (3)$y=-(x+1)^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数图象翻折；二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数图象的几何变换，熟练掌握平移、翻折的变换规律，结合顶点式求解十分简便，也可通过坐标替换的方法直接推导解析式。
【难度系数】
0.7
解决二次函数图象变换问题，首先将原抛物线解析式化为顶点式，明确其顶点坐标和二次项系数，再根据不同变换规则推导新解析式：1.平移遵循“左加右减、上加下减”的规律，仅改变顶点位置，不改变二次项系数；2.沿x轴翻折时，顶点关于x轴对称，二次项系数变为原数的相反数；3.沿y轴翻折时，顶点关于y轴对称，二次项系数不变。先将$C_0$配方为顶点式：$y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$，可得原顶点为$(1,2)$，$a=-1$。
【解析】
(1) 向右平移3个单位，向下平移2个单位：
平移后顶点横坐标为$1+3=4$，纵坐标为$2-2=0$，$a$不变仍为$-1$，
因此$C_1$的解析式为$y=-(x-4)^2$。
(2) 沿x轴翻折：
翻折后顶点与原顶点关于x轴对称，新顶点为$(1,-2)$，二次项系数变为$1$，
因此$C_2$的解析式为$y=(x-1)^2-2$。
(3) 沿y轴翻折：
翻折后顶点与原顶点关于y轴对称，新顶点为$(-1,2)$，$a$不变仍为$-1$，
因此$C_3$的解析式为$y=-(x+1)^2+2$。
【答案】
(1)$y=-(x-4)^2$ (2)$y=(x-1)^2-2$ (3)$y=-(x+1)^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数图象翻折；二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数图象的几何变换，熟练掌握平移、翻折的变换规律，结合顶点式求解十分简便，也可通过坐标替换的方法直接推导解析式。
【难度系数】
0.7
7.将抛物线$C_1:y=x^2 - 2x + 3$向左平移1个单位长度，得到抛物线$C_2$，抛物线$C_2$与抛物线$C_3$关于x轴对称，则抛物线$C_3$对应的函数解析式为
$y=-x^2-2$
.答案
$y=-x^2-2$
解析
【分析】解题分两步进行：①先将抛物线$C_1$的一般式通过配方转化为顶点式，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，求出向左平移1个单位后得到的抛物线$C_2$的解析式；②根据关于x轴对称的两个函数的关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数，将$C_2$的解析式中的y替换为-y，整理后即可得到$C_3$的解析式。
【解析】
第一步，将$C_1$的解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2x + 3\\&=(x^2 - 2x + 1) + 2\\&=(x-1)^2 + 2\end{aligned}$
第二步，求平移后抛物线$C_2$的解析式：
将$C_1$向左平移1个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，给自变量x加1，可得：
$\begin{aligned}y&=(x-1 + 1)^2 + 2\\&=x^2 + 2\end{aligned}$
第三步，求关于x轴对称的抛物线$C_3$的解析式：
关于x轴对称的两个函数，相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，因此将$C_2$解析式中的y替换为$-y$，得：
$-y = x^2 + 2$
整理得$y=-x^2 - 2$
【答案】$y=-x^2-2$
【知识点】二次函数图象平移；二次函数对称变换；配方法
【点评】本题考查二次函数图象的变换，解题的关键是熟练掌握平移规律和对称变换的坐标特征，注意平移变换是针对自变量x进行“左加右减”，对称变换要准确对应坐标的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步，将$C_1$的解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2x + 3\\&=(x^2 - 2x + 1) + 2\\&=(x-1)^2 + 2\end{aligned}$
第二步，求平移后抛物线$C_2$的解析式：
将$C_1$向左平移1个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，给自变量x加1，可得：
$\begin{aligned}y&=(x-1 + 1)^2 + 2\\&=x^2 + 2\end{aligned}$
第三步，求关于x轴对称的抛物线$C_3$的解析式：
关于x轴对称的两个函数，相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，因此将$C_2$解析式中的y替换为$-y$，得：
$-y = x^2 + 2$
整理得$y=-x^2 - 2$
【答案】$y=-x^2-2$
【知识点】二次函数图象平移；二次函数对称变换；配方法
【点评】本题考查二次函数图象的变换，解题的关键是熟练掌握平移规律和对称变换的坐标特征，注意平移变换是针对自变量x进行“左加右减”，对称变换要准确对应坐标的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】0.7
